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1、1,9.2 在直角坐标系下二重积分的计算,何意义来寻求二重积分的计算方法.,设曲顶柱体的曲顶是z=(x,y)(0),底是区域D,z,y,O,x,D,z=(x,y),b,a,D是xy平面上由直线,与曲线,所围成.,x=a, x=b(ab),若直接用二重积分的定义去计算它的值，将是复,杂和困难，甚至是不可能的.下面利用二重积分的几,2,即D为,为了确定曲顶柱体的体积V,在x轴上任取一点x,过该点,x,y,O,a,b,x,D,为了确定积分区域D的范围,在x轴上任取一点x,过该,点作一条垂直于x轴的直线去穿区域,之交点不多于两个,即一进一出.,与D的边界曲线,此区域为X型区域.,3,z,y,O,x,D
2、,z=(x,y),x,S(x),b,a,体积为定积分,则由定积分知:,因对于区间a,b上每一个,固定的x,S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形,的曲边是由方程z=(x,y)确定的关于y的一元函数,而底边是沿着y轴方向从 的线段.,作一个垂直于x轴的平面,去截曲顶柱体;,其截面面积设为S(x),平行切面截面面积已知的立体的,4,z,y,O,z=(x,y),S(x),故由曲边梯形的面积公式得,或称先对y再对x的累次积分.常简写为,上式右端的积分称为二次积分,5,(x,y)中的x看成常数,此时积分的结果为,量x的函数;,再将此函数对x在区间a,b上求定积分.,注2 去掉上面讨论中的限制(x,y
3、)0,等式照样成立.,x,O,D,y,注1 此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积,将(x,y)对y从,作定积分;,函数,=S(x)是变,在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于,y轴的直,交点不多于两个,即一进一出.,与D的边界曲线之,此区域为Y型区域.,注3,线去穿区域,y,6,注4 同理：当被积函数是z=(x,y),积分区域D(Y型,即D为,此时, (x,y)的二重积分为先对x再对y的累次积分.,y=c,y=d(cd)与曲线,x,O,D,d,c,y,区域)是xy平面上由直线,常简写为,所围成,7,注5 若D既不是X型区域也不是Y型区域,(如图),x,y,O,则可将D分成若干个部分,使每
4、个部分不是X型区域,就是Y型区域,再利用二重积分对积分区域的可加性,进行计算.,8,注6 综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y,因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程,作两次定积分的计算.,化二重积分为二次积分的关键是:,“选择积分次序和确定积分上、下限”,如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢?,再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式.,同学们会感觉困难!,9,特殊地,若区域D是一矩形: axb,cyd,x,y,O,d,c,a,b,即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换.,则二重积分,10,这是先对y再对x的 累次积分.同学们一 定要注意,要固定x为常数.,对y
5、积分时,这是先对x再对y的 累次积分.同学们一 定要注意,要固定y为常数.,对x积分时,11,解 先作出区域D的图形：,x,y,O,1,1,1,y=x+1,y=1x,如果按先对y再对x积分,则D应分为,此时对二重积分的计算需计算两个二次积分;如果按,12,x,y,O,1,1,1,x=y1,x=1y,先对x再对y积分,则D可表为,此时对二重积分的计算只需计算一个二次积分.,13,解 (如图)若先对y后对x积分,则有,函数表示,积分难以进行;故不用此法.,x,y,O,y=x,1,1,x,y,O,y=x,1,1,若(如图)先对x后对y积分,则,积分区域D为：,因,的原函数不能用初等,14,并请同学们
6、注意：凡遇,等不能用初初等函数表示,的积分,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须,15,先画出积分区域D的图形,再根据积分次序的要求,重新,写出D的边界方程.,y,x,1,1,o,1,1,16,y,x,1,1,o,1,1,17,x,y,3,1,o,x=32y,18,解 因 的原函数积不出来,按先对y后对x的积分次序,x,y,O,1,1,由题意知其X型区域为：,(Y型区域),无法计算出结果,故须改变积分次序.,另解:利用分部积分公式,令,则有,19,注7 当积分区域D是一矩形:axb,cyd,且,(x,y)=g(x)h(y)时,则二重积分,20,则,21,22,x,y,O,y=x,2,1,2,x,y,1,o, 1,2,23,x,y,1,o, 1,2,