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1、双语国际教育版系统分析的数学工具工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章 线性空间与线性变换 11.1 线性空间 11.2 线性变换及其矩阵 31.3 内积空间 81.4 正交变换及其几何与代数特征 1.5 应用于小波变换的框架理论 15第二章 矩阵的标准形理论2.1 线性变换的特征值和特征向量 292.2 矩阵的相似对角化 322.3 特征矩阵的标准形 342.4 矩阵的标准形 342.5 矩阵的最小多项式第三章 矩阵分解 293.1 消去法与矩阵三角分解 293.2 矩阵的分解 323.3 矩阵的满秩分解 343.4 矩阵的奇异值分解 343
2、.5 矩阵分解的应用第四章 矩阵范数理论及其应用 164.1 范数与赋范线性空间4.2 向量范数及其性质 174.3 矩阵的范数 184.4 范数的应用 19第五章 矩阵分析及其应用 205.1 矩阵序列 205.2 矩阵级数 215.3 矩阵函数 225.4 矩阵的微分和积分 255.5 矩阵函数的一些应用 265.6 梯度分析和最优化 27第六章 特征值估计及极性 386.1 特征值的估计 386.2 广义特征值问题 406.3 对称矩阵特征值的极性 416.4 广义特征值分析的应用 42第七章 广义逆矩阵 437.1 投影矩阵 437.2 广义逆矩阵 467.3 总体最小二乘方法 49第
3、八章 中的矩阵运算简介 508.1 基本矩阵运算 508.2 矩阵分解 528.3 广义逆矩阵和解线性系统 54参考文献 57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。2、章节内容包括：定义，结论，例题，定理，推论，注记。其中，定理和例题均有证明或解答，而结论和推论则不加详述。前言矩阵的概念和理论已被广泛地应用于现代科技的各个领域，有力地推动着现代科学技术的发展。矩阵的思想方法，被广大的科技工作者所掌握和应用(矩阵切换器，线性控制理论)，尤其是计算机科学家和控制科学家爱不释手的重要工具。矩阵的概念脱胎于行列式的形式，是作为表达线性方程组的简单记法而产生的，但其发展的历史却耐人寻味
4、。为了求解线性方程组，1693年莱布尼茨首次使用行列式概念，1750年克拉姆()法则创立，1820年高斯()提出消元法（这是一种基本而又重要的方法，广泛用于线性方程组的求解，更重要的是由此凝炼出了矩阵初等变换的基本方法），但矩阵的概念一直没有形成。虽然，1801年高斯已把一个线性变换的全部系数视作一个整体，而爱森斯坦因()在1844年就讨论了线性变换及其乘积，并强调了乘法次序的重要性。直到1851年，西尔维斯特()首先提出使用二维数表的符号表示线性方程组，才引入了矩阵的概念。将矩阵作为一个独立的数学对象进行的研究，开始于1855年以及其后凯莱()发表的一系列研究矩阵理论的文章。在这些文献中，他
5、引进了关于矩阵的一些直至现代仍通用的定义，如矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、矩阵的乘积（并且注意到：矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且矩阵只能用矩阵去右乘）、矩阵的逆、转置矩阵、对称矩阵等，并借助于行列式定义了方阵的特征方程和特征根。1858年凯莱发表了关于矩阵理论的研究报告，证明了一个重要结果：任何方阵都满足它的特征方程。这个结果现被称为凯莱哈密顿定理。由于正是由于这些奠基性的工作，凯莱被认为是矩阵理论的创始人。当然，在矩阵理论之中，也积淀了其它众多科学家的卓越贡献。埃米特()证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征
6、根性质等。后来，克莱伯施()、布克海姆()等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯()引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯()的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1870年，约当()研究了矩阵化为标准形的问题，建立了著名的约当标准型理论。1892年，梅茨勒()引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而
7、开始的。到19世纪末，矩阵理论已日臻完善，但其应用并不十分广泛，这主要归因于大规模线性方程组求解问题的计算复杂度太大，难以手工进行下去。进入20世纪之后，当人们渐渐以为有限维度的矩阵理论和方法已经终结的时候，计算机技术出现了，这使得矩阵理论获得新生。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质即相互关系，矩阵由最初作为一种工具经过一个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支矩阵理论。而矩阵理论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。这些应用主要集中于线性问题表示、计算与分析，以及非线性
8、问题的线性分析与处理。矩阵理论发展示意图1820年高斯 ()提出消元法1851年西尔维斯特()创立矩阵的概念1855-58年凯莱()创立矩阵基本理论 1870年约当()创立标准形理论1878年弗罗伯纽斯()创立矩阵理论1892年，梅茨勒()创立矩阵函数理论第一章 线性空间与线性变换知识要点：1、线性空间的概念（数域、线性运算封闭性、线性运算公理），结构（线性无关、基、维数，向量在基下的线性表示和坐标），过渡矩阵和向量的坐标变换（可按形式矩阵乘法直接表示）。2、线性空间同构的概念（可自学）。3、线性子空间的概念（定义与充要条件，生成子空间，交空间，和空间，维数定理，直和与直和分解定理）。4、线性
9、变换及其矩阵表示（定义与运算，象空间、核空间和不变子空间，线性变换在基下的表示:变换与矩阵一一对应、不同基下矩阵相似，线性变换下向量的坐标：变换矩阵左乘向量坐标）。5、欧氏空间与酉空间（内积、范数与距离，正交基、正交阵与酉阵，正交补与正交分解）。6、正交变换及其特征（正交变换及其线性性，正交变换的几何特征，正交变换的矩阵特征）。7、应用于小波变换的框架理论（对偶框架，紧框架，基）。1.1线性空间一、线性空间的概念定义1：设非空集合相对于数域具有封闭的加法和数乘运算，并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素，同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。若中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与
10、分配律、乘1不变性，则称为数域上的线性空间。注1：数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集，如有理数集、实数集、复数集等。注2：易证零元素和负元素均是唯一的。例1：数域上的维（列）向量空间。 按维向量的线性运算，构成数域上的线性空间。例2：中的子集。 按中的线性运算，非空子集是封闭的，从而构成数域上的线性空间。例3：数域上的阶矩阵空间。 按阶矩阵的线性运算，构成数域上的线性空间。例4：数域上的多项式空间。 按多项式的线性运算，构成数域上的线性空间。例5：区间上的实值连续函数空间。按函数的线性运算，构成数域上的线性空间。例6：例7：二、线性空间的结构定义2：设为数域上的线性空间中的一组向量，若有中不
11、全为零的一组数，使得，则称线性相关，否则称为线性无关。定义3：设线性空间中有一组向量，满足：（1）线性无关；（2）中任一向量均可由线性表示。则称为的一组基，数称为的维数，记为。结论1：设为数域上线性空间的一组基，则对于任何向量,存在唯一一组数,使得,从而。 将记为，称为在基下的坐标。注：线性空间的基可以理解为空间中的一种参照系，能将所有元素线性表示出来。例6：为中的一组基，；为中的一组基，；为中的一组基，；中任意有限个向量均为中线性无关的向量组，因而不是有限维空间。注：有限维空间的基不是唯一的，但其维数是唯一确定的。三、过渡矩阵和向量的坐标变换定义4：设和为线性空间中的两组基，若则矩阵称为从到
12、的过渡矩阵。 将上述基变换表达式简记为，称之为基变换公式。定理1：线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。证明：设从基到基的过渡矩阵为，则。 对于任何列向量，时，。 由此可得，从而过渡矩阵是可逆的。推论：设为到的过渡矩阵，则到的过渡矩阵为。证明：设到的过渡矩阵为，则由，可得，从而，即。这说明到的过渡矩阵为。定理2：设向量在基和下的坐标分别为和，为到的过渡矩阵，则或。证明：由及得，从而或。注：上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式。例9：验证和 均为中的基，并求前一组基到后一组基的过渡矩阵，以及在后一组基下的坐标。解：考察，即对任何数成立，则由多项式理论可知。因而是线性无关的，并构成的一组基。 由及
13、可逆知， 也构成的一组基，并且到的过渡矩阵为。 由可得，在下的坐标为。注：也可先求出，再计算出。例10：已知的两组基分别为，试求到的过渡矩阵。解：设，则到的过渡矩阵。四、线性子空间的概念定义5：设是线性空间的非空子集，若关于中的加法和数乘也构成线性空间，则称是的一个线性子空间。子空间判别定理：线性空间的非空子集为的子空间的充分必要条件是对中的线性运算封闭。结论2：设、为的子空间，则与的交也是的子空间，称为交空间。例11：设，则。结论3：设、为的子空间，则与的和也是的子空间，称为和空间。例12：设，求、及它们的一组基。解：任取，则，即。解之得，从而，。由此可得，为其一组基。 任取，则，因此。由可
14、知，为的一组基。维数定理：。证明：设，取的一组基，并将其分别扩展为和的基：，。 考察，由可知，右端属于可由线性表示，即有，整理后得到。 由的线性无关性可得，从而。 再由的线性无关性可得，从而向量组线性无关，并构成的一组基。由此可得， ，并且。定义6：设、为的子空间，若中每个向量的分解式是唯一的，则称为与的直和，记为。直和判别定理：。证明：若是直和，假设存在，则，并且，由零向量分解式的唯一性可得，这与假设矛盾，因此而。若，假设中向量的分解式不唯一，即存在，使得。由此可得，从而，即，这与假设矛盾，因此是直和。注1：为直和的充要条件为某一向量（包括0）的分解式唯一。（设分解式是唯一的，则对于0的分解
15、式，由此可得，因此0的分解式唯一）注2：、的基合并在一起构成的充分必要条件是为直和。直和分解定理：设为的子空间，则存在的子空间，使得。证明：取的一组基，将其扩展为的一组基。令，则，因此为和的直和。注1：若为的一组基，则，但远充不满线性空间。注2：直和分解的意义还在于将大规模的线性运算分解成较小规模线性运算的线性组合，这将大大加快线性运算的速度，傅立叶（）变换的快速计算就是建立在这种思想上的。1.2线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算（定义与运算、构成线性空间）线性变换是线性运算和运算具有线性性的共性化的概念，其本质是像的线性运算与原像的线性运算可以互相转换。如维向量的线性变换、函数的微分和积分
16、运算均为线性变换。定义1：设是数域上线性空间到（或另一线性空间）中的映射，若对任何，总成立着，则称是上线性变换。例1：对于结论1：线性变换的加、减、乘、数乘和逆运算仍为线性变换，按线性运算构成线性空间。注：线性变换的研究与其他许多数学对象一样，常常是从运算性质、特殊区域上的表现、运算表达式等方面着手的。二、象空间、核空间和不变子空间定义2：，。定理1：。证明：取的一组基，并将其扩张为的一组基，则对于任何，总有，从而。对于，由可知，从而可由线性表示，即，再由的线性无关性可知，从而线性无关。由此可知，构成的一组基，因此，从而。定义3：若，则称为的不变子空间。注：不变子空间是线性变换的属性在定义空间
17、上的反映，不变子空间中线性变换的性质独立于其它范围中的性质，因此寻找合适的不变子空间是性质分析的重要的内容。由特征向量生成的子空间就是一个不变子空间，特征向量的方向就是线性变换的信号增益通道。结论2：，均为的不变子空间。三、线性变换在基下的矩阵表示定义4：设为线性空间上的线性变换，若的一组基在下的像为，则称为在下的矩阵表示，并将上述表达式记为。注：不一定可逆，但可逆时也构成一组基。结论3：与同构。即中线性变换与中矩阵一一对应，并且保持对应的线性变换。注：这说明除具体形式和符号不同以外，从线性运算的角度看，两者没什么区别。即同一个本质，具有两个不同的表现形式。定理2：设和为线性空间中过渡矩阵为的
18、两组基，线性变换在这两组基下的表示分别为，则，即相似。证明：由，可得，从而。注：定理的意义还在于，可将矩阵的相似化理解为线性变换在不同基（或参照系）下的转换。例2：设线性空间为由基函数生成的实数域上的线性空间，令。（1）证明：也为的一组基；（2）求到的过渡矩阵；（3）求微分算子在基下的矩阵。解：，。由此可得，。（1）由可知， 可逆。因此，线性无关，从而构成的一组基。（2）为到的过渡矩阵。（3），。由此可得，微分算子在基下的矩阵为。四、线性变换下向量的坐标在线性空间中，由于每个向量均能表示成一组基的线性组合，因此向量在线性变换下的像将由基的像来决定。结论4：设为线性空间的一组基，线性变换在基下的
19、矩阵表示为，向量在此基下的坐标为，则的坐标为。例3：1.3内积空间一、内积空间的基本概念定义1：设是实数或复数域上的线性空间，若对任何向量，都存在上的确定数，满足以下条件：（1），等号成立当且仅当；（2）；（3）。则称为与的内积，为内积空间。特别时，称为欧氏空间；时， 称为酉空间。显然，内积空间中具有两种相容的基本运算：线性运算和内积，其中内积运算具有线性性。内积运算虽然不是封闭的，但可视为元素的示性运算。例1：常见的内积空间。结论1：对每一个，令，则为一个实数，并满足：，当且仅当时等号成立，即构成上的一个范数，称为内积诱导的范数，构成赋范线性空间。注：若定义，则具有正定性、对称性并满足三点不
20、等式，从而构成上的一个距离，称为内积诱导的距离，构成一个距离空间。不等式：，等号成立当且仅当与线性相关。证明：不妨设，由可得，从而，并且等号成立当且仅当即与线性相关。二、正交基1、正交向量组与正交化定义2：设是内积空间，若，则称与正交，记为。若中非零向量组两两正交，则称为正交向量组。结论2：正交向量组必是线性无关的，线性无关向量组必可正交化。 对于线性无关向量组，令，.， ，则是与相互等价的正交向量组。例2：试将内积空间中向量正交化。解：设，令， ，则，。2、标准正交基定义3：设为维内积空间中两两正交的单位向量组，则称为的标准正交基。结论3：任何有限维内积空间总有标准正交基，标准正交基下向量的
21、内积为对应坐标在中的内积。结论4：标准正交基之间的过渡矩阵是酉矩阵或正交矩阵，即。推论：酉空间或欧氏空间中标准正交基之间的过渡矩阵为酉矩阵或正交矩阵。注：可通过构造酉矩阵或正交矩阵来建立新的标准正交基。结论5：方阵为酉矩阵（正交矩阵）的充分必要条件是其列向量组构成（）中的标准正交基。三、正交分解定义4：若，有，则称与正交，记为。若，有，则称与正交，记为。定理：设为内积空间的子空间，并且，则是直和。证明：任取，则，。由可得，从而，因此，从而是直和。结论6：为的子空间，称之为的正交补空间。正交分解定理：对于任何的子空间，总有。例3：在欧氏空间中的内积定义为，设，令，求（1）的一个基；（2）将扩展为
22、的一个标准正交基。解：(1)由， 即，解之得。由此可得，。(2) ,。四、最小二乘法定义：定理：最小二乘法定理：设均为维列向量，若使得达到最小，则，其中。证明：由可得，达到最小时，满足。注：的最小值为时，满足；的最小值大于时，由可知，对于任何，总是有解的。例4：设，求的最佳解。1.4正交变换及其特征一、正交变换的概念定义：设是内积空间到中的映射，若对任何，都有，则称是上的正交变换。注：正交变换保持内积运算不变。性质：正交变换必为线性变换；证明：对任何，。由此可得，对任何，。对任何， 由此可得，对任何，。二、正交变换的特征定理1：线性变换为正交变换的充分必要条件是在标准正交基下的矩阵为酉矩阵或正
23、交矩阵。证明：注：标准正交基之间的过渡矩阵为酉矩阵或正交矩阵，因此可利用正交变换来构造新的标准正交基。定理2：线性变换为正交变换的充分必要条件是将标准正交基变为标准正交基。证明：推论：向量在正交变换基下的坐标等于在原标准正交基下的坐标左乘过渡矩阵（也即正交变换系数矩阵）逆矩阵（也即转置矩阵）。注：标准正交基之间的过渡矩阵恰好对应着一个正交变换。定理3：线性变换为正交变换的充分必要条件是保持长度不变。证明：注：保持长度不变的线性变换也保持夹角不变。三、正交变换的几何作用：二维和三维空间中的旋转、反射变换。1、二维空间中的旋转变换对于任何，设，则正交变换是中的旋转变换。事实上，若设，则在下的矩阵为
24、。由此可知，是轴逆时针旋转的正交变换。2、三维空间中的旋转变换对于任何，设则正交变换是中的旋转变换。事实上，若设，则在下的矩阵为。由此可知，是轴旋转、轴旋转、轴旋转的正交变换。3、二维空间中的反射变换对于任何，设，则正交变换是中关于轴的反射变换，基下的矩阵为。设，则正交变换是中关于坐标原点的反射变换，基下的矩阵为。设，则正交变换是中关于对角线的反射变换，基下的矩阵为。4、三维空间中的反射变换对于任何，设，则正交变换是中关于平面的反射变换，基下的矩阵为。注：任何正交变换总可分解为一系列旋转和反射变换的复合。如，对应的正交变换就是对应的旋转和对应的反射的复合。1.5应用于小波变换的框架理论一、框架
25、与对偶框架：二、紧框架：三、基：第二章 矩阵的标准形理论知识要点：1、特征值和特征向量的概念（特征方程，特征子空间，特征值的几何重数与代数重数）2、矩阵的相似对角化（相似对角化的特征，分解定理，正规矩阵及其酉相似对角化，阵与正定矩阵）3、特征矩阵和标准形（秩，行列式因子，不变因子，标准形）4、初等因子和标准形（初等因子，矩阵相似的特征，块和标准形）5、定理和矩阵的最小多项式（矩阵多项式，定理，矩阵的零化多项式与最小多项式）2.1 线性变换的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的基本概念定义1：设是内积空间上的线性变换，若存在数和中非零向量，使得，则称为的特征值，称为属于的特征向量。注：若线性变
26、换由一线性系统来实现，则特征信号可方向不变地通过该系统，所产生的系统增益为对应的特征值。例1：恒等变换的特征值均为，所有非零向量均为其特征向量。 中对角阵对应的线性变换的特征值为，对应的特征向量为齐次线性方程组的所有非零解，。结论1：若在基之下的矩阵为，属于特征值的特征向在该基下的坐标为，则为矩阵的特征值，为属于的特征向量（与基的形式直接相关）。结论2：线性变换的特征值与基的形式无关，但特征向量与基的形式直接相关。结论3：线性变换对应矩阵所有特征值之积等于其行列式的值，所有特征值之和等于其对角线元素之和。结论4：线性变换在不同特征值下的特征向量线性无关。二、特征子空间定义2：设为线性变换的特征
27、值，则集合称为的特征子空间。注：若在的一组基下对应的矩阵为，则同构与，从而。定义3： 特征子空间的维数称为的几何重数，特征方程中的重数称为的代数重数。注：的特征子空间为线性子空间，所有几何重数之和不超过，所有代数重数之和为。结论5：特征值的几何重数不大于代数重数。例2：设线性变换在基之下的矩阵为，求的特征值和特征向量，以及各特征值的几何重数和代数重数。解：由特征方程可得，。对于，由，解得方程组的基础解系为。由此可得，在基之下对应于的特征向量为，其中为非实数。因此，的几何重数和代数重数分别为。对于，由，解得方程组的基础解系为。由此可得，在基之下对应于的特征向量为，其中为非实数。因此，的几何重数和
28、代数重数分别为。2.2 矩阵的酉相似对角化一、线性变换完全解耦及矩阵相似对角化定义1：设上的线性变换存在一组特征向量构成的一组基，为对应的特征向量，则称在基下完全解耦，此时。结论1：线性变换在基下完全解耦的充分必要条件是在基下的表示矩阵为对角阵。定理1：线性变换在基下的表示矩阵与对角阵相似（即可相似对角化）的充分必要条件是存在基，使得在其下完全解耦，即在基下的表示矩阵为对角阵。必要性证明：设在下的矩阵，并且与对角阵相似，则存在可逆矩阵，使得。令，则构成一组基，并且，即在基下矩阵为对角阵，从而在其下完全解耦。充分性证明：由在基下完全解耦可知，在基下的矩阵为对角阵。因此，对于在基下矩阵，必与对角阵
29、相似。结论2：阶矩阵相似对角阵的充分必要条件是具有个线性无关的特征向量。推论：若矩阵具有个互不相同的特征值，则相似于对角阵。结论3：阶矩阵相似对角阵的充分必要条件是各特征值的几何重数与代数重数相等。分解定理：设为阶矩阵的特征值，则存在酉矩阵，使得，其中为上三角阵，并且对角线元素为。若记，则构成的一组标准正交基，并且，称是部分解偶的。此时，均为不变子空间。二、正规矩阵的酉相似对角化定义2：设，则称为正规矩阵。注：正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵、实对称矩阵均为正规矩阵。例1：设为正规矩阵，则，。证明：由可得，从而。比较对应项和可得，。定义3：对于矩阵，若存在酉矩阵，使得，其中，则称与酉相似，称为酉相似
30、变换阵。注：对于复矩阵的对角化问题，一般相似对角化失去意义，常考察其酉相似对角化。结论4：阶矩阵酉相似于对角阵的充分必要条件是为正规矩阵。推论：实对称矩阵正交相似于对角阵。注：正规矩阵与其相似的对角阵具有相同的几何特性。三、阵与正定矩阵定义4：若，则称为阵；对于，称为二次型。注：阵为正规矩阵。定理2：阵的特征值是实数，不同特征值的特征向量相互正交。证明：设，则。由可得，。由可知，即特征值为实数。设，则。由可得，。再由和可得，即与正交。结论5：阵必可酉相似于对角阵。由阵为正规矩阵可知，阵必可酉相似于对角阵。定理3：若为阵，则存在酉矩阵，使得在正交变换下变为标准形。证明：对于阵，存在酉矩阵，使得，
31、其中。 令，则其为正交变换，并且，此即为标准形。定义5：若对任何，则称阵为正定矩阵。定理4：阵为正定矩阵的充分必要条件是其特征值均为正数。定理5：阵为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得。定理6：阵为正定矩阵的充分必要条件是各顺序主子式均大于0。定理7：设，则存在酉矩阵使得，其中，。注：称为的奇异值分解，称为的奇异值，为的秩。推论：的奇异值为或的正特征值的算术根，和的列向量分别为或的单位正交特征向量组。2.3 特征矩阵的标准形在对矩阵化简问题的研究中，由于相似对角化对矩阵有较高的要求条件，不能广泛地解决矩阵的化简问题。矩阵化简的一个首要要求，应该是化简后的矩阵仍能保持原有矩阵的基本性质，
32、通常至少还要求所作的化简应该是可逆的，而最基本的可逆变换就是初等变换。线性代数理论中，一个数值矩阵可通过初等变换将其化为最简形式，但这种最简形式只与矩阵的秩有关，不能全面反映矩阵的性质。即对元素为常数的矩阵进行初等变换，可能会遗失矩阵的一些性质。这一结果启示我们，可将数值矩阵函数化，考察函数矩阵的化简，利用可逆的初等变换对函数矩阵进行化简，将可能保留原矩阵的基本性质。以多项式为元素的矩阵（即矩阵）是最基本的函数矩阵，这类矩阵的概念和性质将不同于数值矩阵，如两个矩阵相等是指对应位置上的多项式恒等，可逆矩阵的充要条件是其行列式为非0常数。一、矩阵的秩、逆与初等变换定义1：以的多项式为元素构成的矩阵
33、称为矩阵，常表示为。显然，每个为矩阵均可表示为矩阵系数的多项式。定义2：矩阵中不恒等于0子式的最高阶数称为的秩，记为。显然，特征矩阵的秩为。定义3：对于矩阵，若存在另一矩阵，使得，则称可逆，为的逆矩阵，并记为。定理1：矩阵可逆的充分必要条件为其行列式为非0常数。必要性证明：由可知，。因此，多项式、均为常数，并且，从而的行列式为非0常数。充分性证明：为非0常数时，也为矩阵，其中 为的伴随矩阵。由可知，可逆。显然，特征矩阵是不可逆的，但是满秩的。定义4：如下变换称为对矩阵的初等变换：1、互换两行（列）；2、某行（列）乘以一个非0常数（相当于一个可逆矩阵）；3、将某行（列）的多项式倍加到另一行（列）
34、上。显然，初等变换是可逆变换，对应的初等矩阵也是可逆的。若经一系列初等变换化成，则称与等价。结论1：初等变换下矩阵的秩不变。二、特征矩阵的行列式因子定义5：特征矩阵中所有阶非零子式的最大首一公因式称为特征矩阵的阶行列式因子，也称为的阶行列式因子。显然，特征矩阵的行列式因子是唯一的，并且。结论2：设，则。结论3：特征矩阵的行列式因子在初等变换下保持不变。三、不变因子与标准形定义6：多项式称为特征矩阵或的不变因子。显然，初等变换下不变因子保持不变，并且，特别，即不变因子是特征多项式一种分解因子。例1：求的不变因子，其中。由，得。由，得，由此可得，的不变因子为。例2：求的不变因子。 先求行列式因子再
35、求不变因子可得，。例3：设，求其特征矩阵的不变因子。对于的特征矩阵，由行列式因子可求得不变因子，其中为的特征多项式。结论4：方阵的特征矩阵等价于对角阵其中为首一多项式，并且，对角阵称为特征矩阵的标准形。显然，特征矩阵的标准形是唯一的，即为的不变因子。注：对于一般矩阵，标准形为，其中为首一多项式，并且，。推论：特征矩阵等价的充分必要条件是不变因子或行列式因子相同。2.4 矩阵的标准形一、初等因子的概念定义1：特征矩阵的所有不变因子中一次因子的方幂（包括各个不变因子中重复的因子），称为的初等因子。性质1：特征矩阵的初等因子由不变因子唯一确定，反之亦然。性质2：每个初等因子是且仅是一个不变因子的因子
36、，无初等因子的不变因子均为。例1：设的全体不变因子为、，试求的初等因子。显然，其初等因子为、。例2：设特征矩阵的全体初等因子为、，试求的不变因子。不变因子与初等因子的转化表 不变因子一次因子由上表可知，的不变因子为，。结论1：对角矩阵中对角线上元素的一次因子的方幂（包括对角线上元素中重复的因子），为其初等因子。结论2：分块对角矩阵上个对角块的初等因子合在一起即为整个矩阵的初等因子。二、矩阵相似的特征定理1：矩阵相似的充分必要条件是存在矩阵，使得。必要性证明：设矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得。令，则对于任何成立着。充分性证明：由可知，因此矩阵相似。结论3：矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等
37、价。结论4：矩阵相似的充分必要条件是不变因子或初等因子相同。三、块与标准形1、约当块的初等因子为。注：对角阵的初等因子为，而不是。2、标准形的初等因子为，。结论5：每个方阵均可相似化为标准形。推论：方阵可相似对角化的充分必要条件是其初等因子均为一次的。3、相似变换矩阵的计算设为的初等因子，为由对应的块构成的标准形，为对应的相似变换矩阵，则由，可得。对于，设，则有。令，可得，由此可解得对应初等因子的向量组。将所有初等因子对应的这些向量按列排成矩阵，便可得到相似变换矩阵。注：的选择可能会影响到的求解；对于特征值相同的不同初等因子，向量的选择应保持与线性无关。例3：设，求其标准形及其相似变换矩阵。解
38、：，初等因子为、，。 设，则。可选中为，并取为。由可知，必须且只须。取、可得，。2.5 定理与矩阵的最小多项式一、矩阵多项式定义1：对于，称为阶矩阵的矩阵多项式，记为。显然，矩阵多项式仍为阶矩阵。性质1：相似矩阵的多项式仍然相似，且具有相同的相似变换阵。证明：设矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得。对于多项式，由，可知，即与相似。性质2：对角阵的多项式仍为对角阵，分块对角阵的多项式仍为分块对角阵。证明：设，则对于对角阵和分块对角阵，。结论1：对于阶矩阵和多项式，必相似于，其中为的各块。二、定理引理：设，则（称为幂零矩阵）。定理1（定理）：设，则。证明：设的初等因子为，则存在可逆矩阵，使得，其中，。由
39、此可得，。由及可知，从而。注：由可知，即的次幂可化为低次幂的矩阵多项式。三、矩阵的零化多项式与最小多项式问题：导致的因素是否是中阶数更低的因子？定义2：对于多项式，若，则称为矩阵的零化多项式。的次数最低的首一零化多项式称为的最小多项式。显然，的特征多项式为其零化多项式，但不一定是最小多项式。结论2：多项式为最小多项式的充分必要条件是能整除的任何零化多项式。结论3：矩阵的最高阶不变因子就是其最小多项式，因而最小多项式是初等因子中各最高幂的乘积。推论1：相似矩阵具有相同的最小多项式。推论2：矩阵最小多项式的根为特征多项式的根，反之亦然，但重数不一定相同。定理2：矩阵可相似对角化的充分必要条件是最小多项式无重根。 事实上，初等因子均为一次式是矩阵可相似对角化的充分必要条件，因而由初等因子中各最高幂的乘积组成的最小多项式无重根。有限维线性空间的自同态就是线性变换，若将线性变换在某