第5章稳恒电流的磁场.doc

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1、第五章稳恒电流的磁场5.1.1 如图所示，AB长度为0.1米，位于A点的电子具有大小为=(米/秒)的速度。试问： （1）.磁感应强度的大小和方向应如何才能使电子沿图中半圆周从A运动到B； （2）.电子从A运动到B需要多长时间？解：（1）由公式要想使电子沿图示轨道作圆周运动必须垂直纸面向里才行。由洛仑滋力公式 = （1） （2）由（1）（2）得： (特)(2)5.2.2 已知地面上空某处地磁场的磁感应强（特），方向向北。若宇宙射线中有一速率（）的 质子竖直向上通过此处，试问：（1） 洛仑滋力的方向；（2） 洛仑滋力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较。解：（1）由公式判断质子所受洛仑滋力方向向

2、西。（2） N N 故重力影响可忽略不计。5.2.3 带电粒子穿过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，过饱和蒸汽使凝结成小液滴，从而可以显示出它的运动轨迹来，这就是云室的原理。今在云室中有（高斯）的均匀磁场，观测到一个质子的径迹是圆弧，半径20厘米，已知这粒子的电荷为库仑，质量为千克，求它的动能。解： J 5.2.4 有一质子，质量是0.5克，带电荷。此质点有一的水平速度，要使它维持在一水平方向运动，问应加最小磁场的大小与方向如何？解：要想使质点沿水平方向运动，必须有一力克服重力对它的影响。若使磁力与重力抵消，必向上才行。由上式知为得到一个向上的，必在水平方向，要使的大小最小，必须在水平方向且与垂直

3、才行。 其大小是：T5.3.1 如图所示实线为载有电流I的导线。导线由三部分组成。AB部分为圆周，圆心为O，半径为a。导线其余部分为伸向无限远的直线。求O点的磁感应强度。 解：设为两半无限长载流导线在O点产生的磁感应强度，是圆弧AB载流导线在O点产生的磁感应强度。由毕-沙定律判断可知此三部分载流导线在O点产生的磁感应强度均垂直纸面向外，故用迭加原理求场强时把求矢量和变成求代数和。的大小为： 5.3.2 电流I若沿图所示方向及导线形状流过时（直线部分伸向无限远）试求O点的磁感应强度。 解：利用迭加原理求。 已知圆形电流在其中心处的 直长导线的磁场公式 则（a） 已知B直的大小为B直= = 方向向

4、外。由毕一沙定律知的方向向量里，其大小为B=2B+2B 由直长导线公式B= B= , B为长为的载流直导线在O点产生的磁感应强度cos=-cos 导线在O产生的磁感应强度。 B B=B-B=的方向垂直纸面向里。 537 电流I=5流过边长的正三角形导线。求电流在此三角形为底的正四面体的顶点处P的磁感应强度 解： AB边流在P点产生的垂直ABP面。由称性知沿oP轴向上。B cos 538 一密饶圆形线圈，直径是40厘米，导线通电流为2.5安，线圈中心处=1.26，问这线圈有多少匝？ 解线圈绕N匝，则 N=539 有一螺线管长20厘米，半径2厘米，密度200匝导线，导线中的电流是5安培，计算螺线管

5、轴线上中点处的磁感应强度B。 解：已知载流螺线管轴线上的场强公式为B=5310 有一螺线管，半径5厘米，长是50厘米，导线通过的电流为10安，要想在其中心产生0.1特斯拉磁感应强度，试问：（1） 这螺线管每单位长度应有多少匝？（2） 所需导线总长为多少？ 解：（1）B= n= (2) 总长L=2 5311 两根导线沿半径方向被引到铁环上B.C 两点。电流方向如图所示。求环中心 O处的磁感应强度是多少？ 解：两载流直线部分的延长线都通过O点由毕一沙定律d，知本题 故二直线在 O点产生强度为0.B1C段电流在 O点产生的磁感应强度 方向垂直纸面向外。B2C段在O点产生的磁感应强度，方向垂直纸面向里

6、。由迭加原理求 ，求矢量和变为求代数和。 dB 同理B B= 1 两条电路为并联 1=将此给果带入B式，故B=05.3.12将半径为R的无限长导体管壁（厚度可忽略），沿轴向割去一宽度为h（hR）的无限长缝后，沿轴向均匀的通有电流，其面密度为i。求轴线上的磁感应强度。解：根据场强的迭加原理，轴线上的磁感应强度,等于截流面密度为的整个管在轴上所产生的与宽度为h的截流面电流密度为-导线在轴上产生的的矢量和。但前者在轴上的=0故，=+=由于hR,可以看成无限长直截流导体线在在o线上产生的场。=BB的方向垂直o与h组成的平面指向纸内。（如图a所示）5.3.13上题中若割去半个管壁时，半个管壁上沿轴割去半

7、个管壁时，半个管壁上沿轴向均匀的磁感应强度B为多大？解：如图所示，过o点，建立坐标系oxy。该载流无限长半圆柱形导体管壁可看做有许多平行的无限长直载流导线所组成。在其横截面上与y轴对称的取两个宽度相等dl1,dl,2,，窄条，它们在O点产生的磁感应强度分别为,d其大小为B1=dB2= .设电流方向垂直与纸面向,方向见图。二者y分量抵消，只有x分量且同fa直只有分量。x=B=2x=5.3.14.电流均匀地流过宽为2a的无限长平面导体薄板，电流强度为Io通过板的中线并与板面垂直的平面上有一点p，p到板的垂直距离为x（见图5.8.14(a)）,设板厚度可略去不计求p点的磁感应强度。解：建立坐标系ox

8、yz如图所示，把薄板沿z方向.分成宽为的无限长细条，每根细条截流为的无限长直导线，根据场的迭加原理，p点的磁感应强度等于所有这些截流细条在P所产生的磁感应强度的矢量和。在y轴上o点两侧对称的取宽为的两直导体条，它们在p点产生的磁感应强度分别为的.d（如图a所示）。根据对称性分析，二者x分量相互抵消，只有y分量。y=cos因此p点B的大小B=2=2=沿y方向。5.3.15.在半径为R的木球上紧密的绕由细导线，相邻线圈可视为互相平行，并以单层盖住半个球面（如图所示）。沿导线流过为I，总杂数为N。求次电流在球心处O产生的磁感应强度。解：设单位弧长电流线圈杂数为n,则 n= 沿弧长取,则内的总电流为。

9、没一个小圆带相当于一个电流环，已知电流环在其轴线上任意一点产生的磁感应强度公式为：B圆=式中a为轴线上一点到圆的距离，r为圆环的半径。有图（a）所示，。Dl宽的圆环上电流为nIdl。半径为r,宽为dl的圆环在球心O点产生的磁,感应强度环环 =B=环=（表示垂直） =5.3.16 有一电介质薄盘，其表面均匀带电，总电量为Q ，盘半径为a 。盘绕垂直于盘面并通过圆心的轴转动，每秒n转，求盘中心处的磁感应强度B 。解：薄盘转动相当于一个载流圆盘，根据圆线圈在其圆心处产生的磁感应强度公式：B=。半径、宽环在中心O点产生的磁场为： 由迭加原理5.3.17 一半径为的非导体球面均匀带电，面密度为，若该球以

10、通过球心的直径为轴用角速度旋转，求在球心的磁感应强度。解：利用圆形电流在轴线上产生的磁场公式： （1） 如图所示台 （2） 台 （3） 将（3）式代入（2）得：台5.5.1 如图所示载流无限长直导线的电流为 I ，试求通过矩形面积的磁通量。（与直线共面）解：已知无限长载流直导线的磁场公式： 的方向垂直纸面向里。将矩形面积分成与平行的矩形小条且取其法向向里为正。 则：5.5.2 二无限长载流直导线与一长方形框架位于同一平面内（如图所示），已知（厘米），（米），（安）。求通过框架的磁通量。解：取框架平面法线方向背离读者同理5.5.3 有一电子在垂直于一均匀磁场方向做一半径为1.2厘米的圆周运动。电

11、子的速度是米/秒。问此圆轨道内所包含的总磁通量是多少？解： 电子质量千克 =韦伯）5.5.4 电缆由一导体圆柱和一同轴导体圆筒构成。使用时，电流从一导体流去，从另一导体流回，电流都是均匀的分布在横截面上。设圆柱的半径,圆筒的半径分别为和（见附图），r为到轴线的垂直距离。求r从0到的范围内，各处的磁感应强度B.解：由于磁场的对称性分布，可用安培环路定理求解。（1）d时,求得的是板外的磁场分布情况。有环路定理 = j2dh. 2 B h= j2dh. B= jdB为常数，与距板远近无关。左右两边分别为匀强磁场。在y0的空间, 的方向指向X轴负方向.在y0的空间的方向指向X轴正方向.(2) 当OAd

12、时,求得是在板内场强的分布 = j2yh y0. 与X轴正方向相反. Y0 与X轴正方向相反同.的大小与XOZ平面的距离y成正比. 5.5.9 在半径为5米的无限长金属圆柱内部挖去一半径为r=1.5(米)的无限长圆柱体.两柱体轴线平行,轴间距离a=2.5(米).今在此空心导体上通以电流5安培,电流沿截面均匀分布.求此导体空心部分轴线上任一点的. 解:由叠加原理可知,空心部分轴线上任一点O的磁感应强度等于半径为R的截流圆柱在O点所产生的磁感应强度与通反向电流半径为r 的圆柱在O点产生的磁感应强度的矢量和 =+ (1)由安培环路定理求:L为半径=a的圆. Bd= Bdl=B2a=1.1（特） 方向

13、：与I成右手螺旋关系。 求：以r为半径的小圆住体以相同电流密度反向通过其上时，由于对称分析其在O产生的=0 5.6.1 有一电子射入磁感应强度为的均匀磁场中，其速度与方向成角。试证它沿螺旋线运动一周后在磁场方向前进l为： l=试中m为电子的质量。 证： l= （1） = 求T=？ EvB=R= T= （2） 将（2）代入（1） l=T=5.6.2 把2.0电子伏特的一个正电子射入磁感应强度为0.1特斯拉的均匀磁场中，其速度矢量与成角，路径成螺旋线，其轴在的方向。试求这螺旋线运动的周期T，螺距h和半径r。5.6.3 解：已知电子动能 =2.68（米/秒） =2。68=4。7（米/秒） v=vsi

14、n=2.6810-70.9998=2.68 (米/秒) T= =3.57 （秒）。 h=r=1.52（米）5.6.3 一迥旋加速器D形电极周围的最大半径R=60（厘米），用它来加速质量为1.67千克，电荷为1.6库仑的质子，要把质子从静止加速到4.0电子伏特的能量。 （1）所需的磁感强度B； （2）设两D形电极间距离为0.1厘米，电压为2.0，其间电场是均匀的，求加速到上述能量所需要的时间。 解： （1）v= = =2.77 （米/秒）B= =0.48（特）(2) 过电场缝的次数n=n=电子转一圈过缝两次，故转圈数=100(圈)T=(秒)t=T=100=1.4(秒) 粒子选择器是由相互正交的匀

15、强电场和匀强磁场组成的。现有一束具有不同速度的带负电粒子，垂直于E和B的方向进入速度选择器。若U=300(伏)，d=10(厘米)，B=300(高斯)。试计算穿过速度选择器的粒子的速度。带电粒子的带电符号及质量大小是否影响选择器对它们速度的选择？解：由洛仑兹力关系,在本题的条件下有F=q（E-vB）。 当F=0时粒子则穿过S上的小孔，由上式得： qE=qvB v=即只有v的大小等于的粒子才能穿过孔，其它速率的粒子则不能穿过小孔，故能达到选择的作用。 v= =(米/秒)粒子带电正负及其质量大小不影响对它的选择。5 一质谱仪的构造原理如附图所示，离子源S，产生质量为M电荷为q的离子，离子产生出来时速

16、度很小，可以看做是静止的。离子产生出来后，经过电压U加速，进入磁感应强度B的均匀磁场，沿着半圆周运动而到达记录它的照相底片P上，测得它在P上的位置到入口处的距离为X。试证明着离子的质量为；M=。证：由qU=Mv 得 v= (1) 又由qvB= 得v= (2)(1)=(2) M=.5 在霍尔效应实验中，宽1.0厘米，长4厘米，厚1.0厘米的导体，沿长度方向载有3安培的电流，当磁感应强度为1.5特斯拉的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0伏的横向霍尔电压（在宽度两端）。试由这些数据求：（1） 载流子的漂移速率；（2） 每立方厘米载流子的数目；（3） 假设载流子是电子，试就一给定的电流和磁场方向，在图

17、中画出霍尔电压的极性。解：（1）v为电子漂移速度。e=evB v= =(2) n=(3) 假设I沿Y的方向，B沿X向，则霍尔电压的极性如图所示。5 高h宽W的铜条内通有电流I（在附图中以号表示）。在这铜片的垂直方向上施加一个磁感应强度为均匀磁场。（1） 试计算铜片中电子的漂移速率v（形成电流的定向速率）；（2） 作用在电子上磁力F的大小和方向；（3） 为了抵消磁场的效应，铜片中应加均匀电场的大小和方向如何？ （4）为了产生此电场，那铜片导体两侧之间电压为多少？电压应加于导体的哪两边？（5）如果外界不加电场，则有些电子将被推到铜片的一边，因而在铜片的高度方向上最终将产生一均匀电场，这个电场的大小

18、和方向如何？ 已知：单位体积内电子的数目=1.110（个/米）， =0.02(米)，=0.1（厘米），=50（安），=2（特）。解：（1）= = =(米/秒)（2）= =（牛） （3）当电力与磁力大小相等方向相反时即电场抵消了磁场的效应。 （伏/米） 外加电场场强的方向应向下。 （4） 电压应加在导体上下两边。上端电位高，下端电位低。（5）= （伏/米）这时电场称霍尔电场，方向也应向下。5.7.1 两根相距15厘米的无限长平行指导线。电流方向相反大小相等=200（安）。求第一根导线上长为1.5米一段所受第二根导线的力。解：由无限长导线的磁场公式得： 方向如图所示.由安培力公式： = =（牛）

19、的方向如图所示。5.7.2 在如图所示的均匀磁场中（垂直纸面向内），试证明：通过相同稳恒电流的直导线与任意曲线所受磁力相等。证：在建立坐标系。在上任一点取电流元，其电流元受力大小方向如图所示。将分解到坐标方向有： 积分得=而载流直线所受的力，又安培公式得5.7.3 如图所示的正方体，每边长0.5米，放在0.6特斯拉的均匀磁场方向平行于轴。线所通过的电流是4安培，方向如图所示。求作用于各段上力的大小和方向。解： =-1.2（牛）。 =-1.2（牛）。 = =1.2（）（牛）。 =-1.2（牛）5.7.4 横截面积2.0（毫米）的铜线，弯成如图所示形式其中OQ和DO段固定在水平方向不动，QBCD段

20、是边长为q的正方形三边，可以绕OO转动。整个导线放在均匀磁场中, 竖直向上。 已知铜的密度（克/厘米），当这铜线中的电流为10Q时，在平衡情况下，QB段和CD段与竖直方向夹角为15。求磁感应强度的大小。解：由安培定律知，载流导线在磁场中要受力。QB边与CD边受力大小相等方向相反，方向与OO轴平行，对OO轴的力矩为零。BC边受磁力为。线框平衡时 二者力矩方向相反。求对OO力矩：（参考侧视图）I平衡时：I=945.7.5一半径R=0.2（米）的圆形线圈，通有电流I=10（安）位于B=1（特）的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直。线圈为刚性，且无其它力作用。试求：（1）线圈a,b,c,d各处一厘米长

21、电流元所受的力。（2）半圆abc所受合力如何？（3）线圈如何运动？解：（1）由安培力公式知，a,b,c,d各点力的方向沿圆周径向方向向外。（2）建坐标系oxy，在abc半圆上任取一小元段，其上受力,如图所示。将分解在坐标xy上。 在abc半圆上由对称性可知其对应元段上的互相抵消，在y方向合力，故合力只有x方向， = 方向与x方向相同。（3）整个线圈受合力为零，和力矩为零，故不动。5.7.6 载由电流的直长导线，旁边有一平面圆形线圈，线圈半径为r ,圆心到直线的距离为l，线圈和直长导线在同一平面内（见附图）。求作用在圆形线圈上的力。解：线圈所在处的方向垂直纸面向里，各电流元受力方向均沿径向向外，

22、其大小由安培力公式得。建坐标系Oxy，由对称性分析可知作用在圆线圈上y方向力的分量互相抵消，故作用在整个线圈上的合力只有x方向的投影，其大小为：=5.7.7如图所示，一半径为R的无线长半圆面导体，其上电流与其轴线上一无线长直导线的电流等值而反向，电流I在半圆柱面上均匀分布。求：（1）轴线上导线单位长度所受的力；（2）若将另一无线长直导线（通有大小方向与半圆柱面相同的电流I）替代圆柱面，产生同样的作用力，改导线应放在何处？解：（1）建坐标系Oxy。首先求半圆柱面导体在O点产生的磁感应强度。如截面图所示，半圆柱面横截面单位长度的电流为取对称的元段则和x轴夹角相等（如图所示）。由对称分析，By=0，

23、故只有x方向分量 = = 由安培力公式得 （即力为斥力） （2）二相互平行放置的无限长直导线通反向电流时，相互作用力斥力。只有将直导线放在坐标原点的左侧才能使位于原点的载流导线受到方向指向y轴的作用力。二直导线相互距离d可通过下式计算： = 既另一导线应放在y=处 5-7-8 将一均匀分布着面电流的无限大栽流面放在均匀磁场中，放入后平面两侧的磁感应强度分别为与（如图所示），求该载流面上单位面积所受的磁场力的大小及方向。 解：一无限大栽流平面产生的有环路定理得： I 为栽流平面的面电流密度。 B=题中图是一个横截面图，当中间平面电流方向垂直纸面背离读者时（图上已画出x轴正方向），在板的右方与x轴

24、方向一致，在板的左方与x轴方向。当外磁场的磁感应强度与x轴方向一致时，则场强迭加结果如题图所示。 由（1），（2）两式得：B B 在载流平面上沿Z轴方向取长dl，沿x轴方向取宽da，则其面积ds=dl*da。则面元ds所受的安培力 所以单位面积所受的力 5-7-9 一电流计的线圈有50匝，其中所包围的面积为6平方厘米。线圈摆动区中的B植为0.01特斯拉，并沿径向分布。弹簧流转常数k=0.10达因厘米/度。若通以1毫米的电流，问此线圈的偏转角是多大？ 解： nISB=ka a=30(度)。 5-7-10 一电流计的线圈所包围的面积是60平方厘米。共200匝，其中通电流1安培，放在0.1特斯拉的均

25、匀磁场中。其所受的最大转矩是多少？ 解：线圈在磁场中受力矩公式为：。 M最大时 M（牛*米）。5-8-1 有一线圈直径8厘米，共12匝，通电流5安培，将次线圈置于磁感应强度为0.6斯特拉的均匀磁场中。 试求：（1） 作用在线圈上的最大转矩；（2） 线圈平面在什么位置是转矩是（1）中的一半？解： （1） （牛*米）。 （2） 既线圈法线与成角时M为的一半5-8-2 将一无限长导线中部折成一个边长a及b的开口矩形（如附图），并使此导线通过强度为I的电流，令在中心O点处 放一检验，要使线圈的法线方向平行与纸面，已测得需加在线圈上的扭力矩M=70（达力厘米）。求检验线圈的磁距。已知I=1.0 （安），

26、a=0.4（米），b=0.3（米）解：由本章第3节6题已知O点的 B=-1B= =PB P=583一半径R=0.10（米）的半圆形闭合线圈，载有电流I=10（安）放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行（见附图）。磁感应强度B=5.0（高斯） 。（1）求线圈所受力矩的大小，（2）在这力矩的作用下线圈转90（即转到线圈平面与垂直）求力矩所做的功。解：（1） =IS显然与垂直。 的方向如图所示，M的大小为：M=I SBsin=ISB=I=10(0.1)=7.9(牛米) （2）设为线圈在力矩作用下转动的角度，为线圈法线与的夹角。 M=IBSsin =IBScosA=IBSsin =IBS=10 =7

27、.9(焦耳)584 边长L为的正方形线圈（如附图所示），载有电流I，轴线上一点P距O点为x，试证当xL时，P点的磁感应强度B的大小为：B=证：由直导线的求磁感应强度的公式得：B=载流线圈一个边在P点产生的场强。B= cos=由对称分析可知，四个边在P点产生的，其垂直分量应为零。故B=4B=4 = sin= r= 当xL时B= 第六章 电磁感应与暂态过程621有一无限长螺线管，每米有线圈800匝，在其中心放置一个圆形小线圈，其匝数为30，半径为1.0厘米，且使其轴线与无限长螺线管轴线平行。若在秒内，使螺线管中电流均匀地从0增到5安培，问圆形小线圈中感应电动势为多大？解：已知螺线管内部产生的磁感应

28、强度为： B= 通过圆形小线圈的磁通匝链数为： =n 感应电动势的大小为：=n=4.74(伏)6.2.2一无限长螺线管每厘米有匝，载有电流.安，螺线管直径为.厘米，在管内放置一个直径为.厘米的密绕匝的线圈，且使其轴线与无限长螺线管的轴线平行。在.秒内使螺线管中的电流匀速降为，然今在中心O点处放一检验线圈，要使线圈的法线方向平行于纸面，已测得需加在线圈上的扭力矩M=70（达因厘米）。求检验线圈的磁矩。已知I=1。0（ 安），a= 0。4（米）， b= 0。3（米）， 解：由本章第3节6题已知O点的 B= B= = （特） M最大=PB P=M最大/B= （安米） 。5-8-3 一半径R=0。10

29、（米）的半圆形闭合线圈，载有电流I=10（安）放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行。磁感应强度B=5。0（高斯）。（1） 求线圈所受力矩的大小和方向，（2） 在这力矩的作用下线圈转90度（即转到线圈平面与 垂直）求力矩所作的功。解：（1） =ISN，显然N与B 垂直。 的方向如图示，M的大小为：M=ISB sin=ISB=I =10 =7.910(牛米) (2) 设为线圈在力矩作用下转动的角度,为线圈法线与B的夹角. M=IBSsin =IBS cos A=| =IBS=10=7.9 （焦耳）。5-8-4 边长为L的正方形线圈（如附图示），载有电流I，轴线上一点P距O点为X，试证当X时，P点的磁感应强度B的大小为： B=证： 由直导线的求磁感应强度的公式得： B=载流线圈一个边在P点产生的场强。 B= cos 由对称分析可知，四个边在P点产生的，其垂直分量应为零。故 B=4B=4 = =sin r= 当x时 , B=