质点动力学.ppt

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1、第二章 质点动力学,第1篇 力 学,2,质点动力学的知识结构,在自然界中，没有不运动的物质，也没有不发生相互作用的物体。在力学中将物体间的相互作用称为力，研究物体在力的作用下运动的规律称为动力学。,3,2-1 牛顿定律,1. 牛顿第一定律(惯性定律) 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态, 直到外力迫使它改变运动状态为止。,一.牛顿三大定律,研究内容：力的瞬时效应,牛顿第一定律包含了几个重要的物理概念： 惯性任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力是使物体改变其运动状态的一种作用, 是使物体获得加速度的原因。 惯性系 牛顿定律成立的参考系。,4,如果物体的质量不随时间而变, 则第二定律

2、可以写成,说明,A .牛顿第二定律给出了力和加速度的定量关系。,B .牛顿第二定律概括了力的瞬时性、独立性和矢量性。,2. 牛顿第二定律,牛顿第二定律中的质量称为物体的惯性质量。,5,满足矢量的合成与分解。, 直角坐标系, 自然坐标系,6,3. 牛顿第三定律(作用力与反作用力定律),4.牛顿定律的适用范围,(1)低速、宏观、实物。 (2)惯性系。,二. 几种常见力,现代物理学已证明物质之间的相互作用只有四种基本形式引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用。后两种力是短程力，只在微观领域起作用，在牛顿力学中所涉及的力只有前两种。,两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方向相反，且在同

3、一直线上。作用力与反作用力分别作用于不同的物体上，不能相互抵消。,7,式中G=6.6710-11 Nm2/kg2 称为引力常数。一般物体间的万有引力非常小，但在天体运动中，引力起主要作用。,地球对物体的引力：,1.万有引力,8,2.弹性力,式中，k是弹簧的劲度系数， x表示弹簧的形变。,任何两个物体相互接触发生形变，都会产生弹性力。,在弹性限度内, 弹性力遵从胡克定律:,物体的重力：,为物体所在处的地理纬度角。,9,0 f sN (最大静摩擦力) 式中，s为静摩擦系数。对于同样的两个物体：ks,f = kN 式中，k为滑动摩擦系数，N为正压力。,静摩擦力两接触物体间虽未发生相对运动, 但存在着

4、相对运动趋势而产生的一对与运动趋势相反的作用力。,3.摩擦力,滑动摩擦力两个相互接触的物体沿接触面发生相对运动时产生的一对与运动方向相反的作用力。,静摩擦力 f 是个变力：,10,4.惯性质量与引力质量,惯性质量-牛顿第二定律中的质量称为物体的惯性质量， 它是物体惯性大小的量度。,引力质量-万有引力定律中的质量称为物体的引力质量， 它是物体所受万有引力强弱的量度。,同一物体的惯性质量与引力质量是否相等？,以M、mA分别表示地球与物体的引力质量，mI表示物体的惯性质量，R表示地球的半径，g0表示地球表面自由落体的加速度，由万有引力定律与牛顿第二定律,11,实验证明，在同一地点一切自由落体的加速度

5、均相同，即同一物体惯性质量与引力质量之比是一个常数。令,令m1I=m2I=1kg，r=1m，实验测得F=6.6710-11N，因此，只需 选取G=6.6710-11Nm2/kg2，可以保证=1。,所以任意两个物体间的万有引力：,结论：惯性质量与引力质量是相等的。,12,三. 牛顿定律的应用,1. 主要类型,(1)已知受力求物体运动状态;,(2)已知物体的运动状态求物体受力;,(3)已知物体部分运动状态和部分力求解未知力和未知运动 状态。,2. 解题步骤,(1)确定研究对象，分析物体受力(隔离法)；(2) 建立坐标，列动力学方程；(3)分析各物体加速度之间的关系，列出补充方程；(4)解算及讨论。

6、,13,例1：质量为m2的楔块放在水平面上，其斜面倾角，斜面上有质量m1的物体经轻绳过一轻滑轮固定到墙上。若所有接触面都是光滑的，试计算楔块和物体的加速度以及绳上的张力。,解：,(1)分析m1和m2的受力，画受力图,14,(2)建立坐标，列方程,式中 是m1对水平面的加速度,m1:,式中 是m2对水平面的加速度，其方向水平向右,m2:,15,又因绳不能伸长，所以,(4)以上七个方程联立求解，得到：,(3)根据约束关系补充方程,设m1相对m2的加速度为 ，则,16,(5)说明：,A. 牛顿方程 中的 必须是相对惯性系的加速度。,B. 建立坐标后，只需列写牛顿方程在各个坐标轴方向的分量式方程。,C

7、. 此题两物体的运动通过绳相互牵连，它们的加速度之间的存在一定关系，可建立补充方程。,17,水平方向：Fcos -fs=0 （匀速） 竖直方向：Fsin +N-mg=0 , fs= N,L=h/sin=2.92m时, 最省力。,F有极小值的条件是：,例2 木箱与地面：=0.6，h=1.5m, 若人匀速前进，绳长L为多长时最省力?,解得：,解：,18,例3：以初速度 竖直上抛的物体，质量为m。设空气阻力不可忽略，其大小与速率成正比，比例系数为 ，求任一时刻物体的速率。,解：,物体受力如图所示，其中空气阻力,建立坐标列方程：,分离变量：,两边积分：,19,最后得到任一时刻物体的速度：,讨论,(1)

8、,这是物体的极限速度，负号表示物体最后的运动方向与X轴正向相反。,(2)若 ，则空气阻力可忽略不计，此时,20,(3)在变力情况下，求质点的速率，牛顿方程一般写成微分形式，这样可得到关于速率的微分方程。,直线运动：,曲线运动：,上式中F是作用在物体上的合力在运动方向上的分力。,21,例4：在光滑的水平面上，平放有一固定半圆形屏障。质量为m滑块以初速度 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为 。求滑块从屏障另一端滑出时的速率。,解：,采用自然坐标系，列写方程,法向：,切向：,(1)代入(2)式得：,滑块在水平面上做圆周运动，受力如图,22,代入上式得：,两边积分：,这就是滑块从屏障另一端

9、滑出时的速率。,(1)代入(2)式得：,23,例5：设一物体在离地面上空高度等于地球半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速度(不计空气阻力和地球的自转)。,解：,以地心为坐标原点，建立坐标系。,物体受到的引力：,式中,建立动力学方程：,24,代入上式得：,积分,得到：,这就是物体在任意高度(离地心r)处的下落速度。,令r=R，即得到物体落到地面时的速度,25,讨论,(1)建立坐标如图(a)所示，求速度。,(2)建立坐标如图(b)所示，求速度。,26,四. 惯性系和非惯性系,对运动学问题参考系的选择是任意的，但在动力学问题中参考系却不能任意选择，因为牛顿定律并不是对所有参考系都成立。,1

10、.惯性系,牛顿定律成立的参考系称作惯性参考系(简称惯性系)，而牛顿定律不成立的参考系称作非惯性系。,显然，相对于惯性系静止或作匀速直线运动的参考系也是惯性系，而相对于惯性系作加速运动或转动的物体就是非惯性系。,27,如果我们选择的参考系是以太阳中心为原点, 以指向某些恒星的直线为坐标轴，则所观察到的天文现象都与牛顿定律和万有引力定律推出的结论相符合。因此, 这样的日心参考系是惯性系。 研究大气层和远程导弹的运动，地心参考系是近似程度相当好的惯性系。 在研究地球表面附近(高度不太高、距离不太远)物体的运动时, 地面就是近似程度相当好的惯性系。,天体运动的研究指出:,实际上严格的惯性系是不存在的，

11、惯性系是参考系中的理想模型，一个参考系可否作为惯性系, 只能由实验确定。,28,2. 非惯性系,(1)加速平动参考系,最常见的非惯性系：加速平动参考系和匀速转动参考系,S系是惯性系，S系相对于S系作加速运动，但坐标轴没有转动， 故S系为加速平动参考系。,有一质量为m的质点，受合外力为 ,在S系和S系的加速度分别为 和 ,则,其中 是S系相对于S系的加速度。,29,S系：,很显然 ，说明牛顿定律在S系不成立。,S系：非惯性系,若假设质点除了受合外力 的作用，还受到一假想力的作用，此力,显然，在S系中加入这个“假想力”，牛顿定律成立。这个“假想力”称为惯性力。,则：,惯性系牛顿定律成立,30,对惯

12、性力的理解：,惯性力是“假想力”，没有施力物体，也没有反作用力，来自于非惯性系的加速效应。,惯性力的方向与非惯性系的加速度 方向相反，大小等于ma0 。,惯性力的普遍公式：,式中 和 分别是质点m在惯性系和非惯性系中的加速度。此式不仅适用于加速平动参考系，还适用于转动参考系。,31,例6： 如图所示，升降机内有一倾角为 的光滑斜面。当升降机以匀加速度a0相对地面上升时，一物体m正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加速度。,物体m受力：真实力mg和N, 惯性力ma0，方向如图。沿斜面方向应用牛顿定律, 有 m(g+a0)sin =ma 解得： a=(g+a0)sin 解题步骤非常简捷！若用地面参

13、考系(惯性系)来解此题就要复杂一些。同学们不妨试试。,解：,以升降机为参考系(非惯性系):,32,例7： 一匀加速运动的车厢内，观察单摆，平衡位置和振动周期如何变化? (车厢加速度 a0 ，摆长 l ，质量 m),解：,周期：,在S系(非惯性系) ：,m受拉力、重力和惯性力的作用，平衡时：,平衡位置：,33,(2)转动参考系,若一参考系相对惯性系没有平动，只有坐标轴的转动，则称为转动参考系，这是另一类非惯性系。,如图所示，一转台绕固定轴匀速转动，台面上有一小球通过轻绳连接到转轴上，并随转台一起作匀速转动。,地面参考系(惯性系)：,小球作匀速圆周运动，其加速度,由绳提供向心力 ：,惯性离心力,3

14、4,转台参考系(非惯性系)：,小球静止，其加速度,小球受力：绳施加的向心力 和惯性力,牛顿定律成立,由于转动参考系中的惯性力沿圆周半径指向外，所以又称为惯性离心力。,科里奥利力：,假设在一光滑转台上，从o点向A点射出一小球，小球的速度为 。,地面参考系：小球沿着直线滚动;,35,此惯性力又称为科里奥利力， 为转动系的角速度矢量， 为物体相对转动系的速度。,因此，相对于转动参考系，小球的行为好像是受到与 垂直的力 的作用：,结论,转台参考系： 小球将沿虚线所描绘的曲线滚动。,36,A 静止在地面上的物体都要受到惯性离心力，因此物体受到的重力实际上是地球引力和惯性离心力的合力。,(3)地球转动系,

15、如图所示：,由于FeFI，所以P与Fe的夹角很小(约10-3rad)，,37,即在物体的重力中已经考虑了惯性离心力的影响。,38,B 在地面上运动的物体还要受到科里奥利力，如下图所示，在北半球运动的物体总要受到从左侧指向右侧的力，而在南半球运动的物体受力则相反，因此北半球河床的右岸受到较厉害的冲刷(在南半球相反)。科里奥利力还使流动的大气形成旋风,沿着赤道的信风也是科里奥利力作用的结果。,39,物体自由下落时，科里奥利力的作用使它们偏离铅垂线而向东偏移，这个力在赤道最大，两极最小。,傅科摆，在北半球总是指向摆锤运动方向的右侧，使其摆动平面沿顺时针方向转动。它显示了地球的自转。,40,例8：水桶

16、以 旋转，求水面形状？,水面 对z 轴旋转对称。 任选水面一小质元m。,解：,设水面的方程为z=z(r)，其斜率：,即水面为一抛物面。,积分,在旋转参考系：质元m静止, 其受力如图所示。,41,1.动量： 质点的质量和速度的乘积,2.冲量： 力的时间累积矢量,设作用于质点上的力为 ，则 在t1到t2这一段时间内的累积矢量为：,说明,一. 动量定理,冲量是矢量，一般 的方向与 的方向不同； 在SI制，冲量的单位是NS; 满足矢量的合成与分解。,2-2 动量定理和动量守恒定律,研究内容：力的时间累积效应,42,3.质点动量定理：,牛顿第二定律的普遍形式：,两边同乘dt得到：,两边积分：,式中 和

17、分别是质点在t1和t2时刻的动量。,上式表明: 质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量-质点动量定理。,(微分形式),(积分形式), 直角坐标系中,43,说明,动量定理,A. 动量定理的矢量性：在实际应用时常采用分量式,在直角坐标系中：,B. 常用于解决碰撞、冲击问题：作用时间短，力大且变化(称为冲力)，而一些常力(如重力、摩擦力)的冲量很小，可以忽略。,平均冲力：,C. 动量定理只在惯性系中成立。,44,例1： 质量m=1kg的物体静止在水平地面上, 假设物体与地面的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数均为0.25，若以沿X方向的水平力F=(1.5+t) (N)作用在物体上，求第2秒末物体的速度。,

18、解：,最大静摩擦力：,由动量定理：,45,例2： 质量为m的质点，经时间t、以不变的速率 越过一水平光滑轨道60的弯角，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。,解：,根据动量定理：,其中 为轨道作用于质点的平均冲力。,平均冲力的大小：,由矢量图可知：,方向如图所示,46,在直角坐标系中：,另一种常见的解法建立直角坐标系,47,例3: 质量为m的小球从高度为y0处沿水平方向以速率v0抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为y0/2，水平速率为v0/2。求碰撞过程中，地面受到的冲量。,解：,碰撞前、后小球的动量,根据动量定理：,48,忽略重力的冲量，地面对小球的冲量,地面受到的冲量,49,质点系(系统)作为

19、研究对象的质点的集合。 内力系统内各质点间的相互作用力。 外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。,设系统有n个物体, 如图所示。,4. 质点系的动量定理,对每一个质点运用动量定理：,mi :,50,这就是质点系的动量定理, 它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。,对所有质点求和，就得:,根据牛顿第三定律, 内力之和,于是,51,质点系的动量定理,说明,(1)系统所受合外力是指系统内各质点所受外力的矢量和，系统的总动量是指系统内各质点的动量的矢量和。,(2)内力只能改变系统内各个质点的动量，但不能改变整个系统的总动量。,(3)适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系。,52,例4

20、：火箭飞行。火箭是依靠燃料燃烧后喷出气体来获得向上的推力。设火箭发射时的质量为m0，燃料烧尽时的质量为m，气体相对于火箭喷出的速率为u。不计空气的阻力，求火箭所能达到的最大速率 。,解：,将火箭和燃气系统作为研究对象。,设t 时刻火箭体的总质量为m，速度为 ，则此时系统的总动量,设在dt时间内火箭排出了质量为(-dm)的燃气，则在t+dt时刻火箭的质量为m+dm，速度为 。,53,在t+dt时刻系统的总动量为：,在dt时间内，系统总动量的增量为：,若用F表示火箭系统受到的外力(重力和空气阻力)，则根据质点系动量定理：,上式称为火箭体的运动方程。,54,若忽略空气阻力，F = -mg，则：,对上

21、式两边积分，从火箭点火（t=0, m=m0, =0）到燃料燃尽(t , m, ),这就是火箭能达到的最大速率。如果重力也可以忽略，则,55,讨论,(1)火箭的最大速度与喷气速度成u正比，还与火箭始末质量比N的自然对数成正比。,(2)目前火箭的喷气速度u=4.1km/s，火箭质量比N=15,实际发射时，火箭要受到地球引力和空气阻力，所以实际最大速度只有7 km/s左右，小于第一宇宙速度。,(3)目前均采用多级火箭技术，火箭最后达到的速度,56,这就是说, 当质点系所受的合外力为零时, 质点系的总动量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律。,质点系的动量定理:,说明,(1)系统动量守恒的条件是系

22、统所受合外力为零，而不是合外力的冲量为零。,二.动量守恒定律,57,动量守恒定律也可用于合外力不为零的系统，有两种特殊情况：,A. 虽然系统所受合外力不为零，但合外力在某方向上的分量为零，这时系统的总动量不守恒，但总动量在该方向的分量守恒.即,Fx =0, 则 miix=常量 Fy =0, 则 miiy=常量 Fz =0 , 则 miiz=常量,B. 虽然系统所受合外力不为零，但系统的内力外力，以致于外力可以忽略不计，此时可认为系统动量守恒。,(3) 动量守恒定律只适用于惯性系。,58,例5: 如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度o滑向车顶。

23、设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？,(M+m): 水平方向不受外力，故动量守恒，即： mo=(M+m) 式中是m相对M静止时的速度。 (1)对物体m应用动量定理，有 - mgt =m -mo 解得,解：,59,物体m的加速度:,(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？,物体m从速度0到 所走过的路程：,这个S是不是车的最小长度?,M相对地面的加速度： a0=mg/M,M相对地面运动的距离：,a= -mg/m = -g ;,60,故车的最小长度为,以车为参考系-非惯性系,m走过的路程即车的最小长度,另法：,

24、61,例6：如图，A、B、C三物体质量均为M，B、C间由一长度为l0的细绳连接，t=0时，B、C距离为0，桌面光滑，滑轮与绳间无摩擦。求：(1)A、B运动后，经多长时间C开始运动？ (2)C刚开始运动时的速度。,解：,(1)设绳中的张力为T,A：,B：,解得：,由：,62,(2) C刚开始运动时的速度,绳拉紧的瞬间相当于物体C与A、B两物体组成的系统相碰撞，绳间的张力远大于重力，因此可以忽略物体A所受的重力。,由动量守恒定律：,其中：,是绳拉紧前A、B的共同速度,V是绳拉紧后A、B、C的共同速度,问题：,对吗？,把物体A、B、C看成一个系统，则,63,运用动量定理求,A：,B和C：,说明,(1

25、)把A、B、C看成是一个系统，直接用动量守恒定律建立方程是错的，因系统的总动量是各质点动量的矢量和。,(2)在对A建立动量定理方程时，忽略物体A所受的重力。当系统内力远远大于外力时，做这样的近似是必要的。,64,例7： 有一门质量为M(含炮弹)的炮车, 在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮车内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为）,解：,关键：炮车在发射炮弹的过程中，系统的动量是否守恒？,以炮车、炮弹为系统，受两个外力的作用： 重力Mg和斜面对炮车的支持力N,显然，系统动量不守恒。,由于内力很大, 重力

26、Mg可以忽略，,所以只有沿斜面方向系统动量守恒！,65,M = mocos (1),认为系统水平方向动量守恒！,由动量守恒定律：,其中是炮车下滑L时的速度：,此题易犯的错误：,M cos = mo,66,例8：光滑水平地面上放有一质量为M的楔形物体(倾角为)，其上又放一质量为m的小楔形体。M的水平直角边的边长为a，m的水平直角边的边长为b。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。,解：,对M与m组成的系统，由于水平方向不受外力作用，故水平方向动量守恒。,在水平方向： x=x - V,由动量守恒： mx - MV=0,67,将 x= x V 代入mx - MV=

27、0得：,(M+m)V= mx 将上式两边对时间积分，有:,最后求得M在水平面上移动的距离：,而 是m相对于M在水平方向移动的距离，可知,显然， 就是M相对水平地面移动的距离；,68,说明,(1)只能在惯性系中建立动量定律方程。,(2)用动量定律求解不需要考虑两斜面之间是否存在摩擦力，即便存在摩擦力，上述结果同样成立。,6. 碰撞问题,(1)特点：内力外力，系统动量守恒。,(2)分类：弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞；,(3)恢复系数：,69,由以上两式解出碰撞后两小球的速度为,形变完全恢复，为弹性碰撞,形变部分恢复，非弹性碰撞,形变完全不能恢复，完全非弹性碰撞,70,例8： 光滑的水平桌面

28、上，有一质量为m、速度为u的小球A沿水平方向飞行，与一静止的小球B碰撞后，A球的速度变为1，其方向与u方向成90，B球的质量为5m，它被撞后以速度2飞行， 2的方向与u成=arcsin(3/5)角，求两小球相碰后速度1、2的大小。,对两小球组成的系统，显然动量守恒:,x方向： mu=5m2cos y方向： 0= -m1+5m2sin 解以上两式得 1=3u/4, 2=u/4,解：,71,“碰撞”：相互靠近，由于斥力而分离的过程散射。,例9：粒子散射中，质量为m的粒子与质量为M的静止氧原子核发生“碰撞”。实验测出碰撞后， 粒子沿与入射方向成 =72角方向运动，而氧原子核沿与粒子入射方向成 = 4

29、1角反冲，如图所示，求 “碰撞”前后粒子速率之比。,对粒子和氧原子核系统，碰撞过程总动量守恒。,解：,建立直角坐标系，如图所示。,72,解得“碰撞”前后粒子速率之比:,直角坐标系中:,73,7. 质心、质心定理,质点系的运动=质心的运动+各质点相对质心的运动,(1)质心,74,在直角坐标系中，质心的坐标,对质量连续分布的物体,显然，对质量均匀分布的物体，质心也就是它的几何中心。,75,2.质心运动定理,质心速度:,由上式可知,即质点系的总动量等于总质量乘以质心的速度。,由质点系的动量定理,质心可视为整个质点系的一个等效质点，质心的运动就代表了系统的整体运动。,76,质心加速度:,质心运动定理,

30、由此可见，若质点系所受合外力为零，质心静止或匀速直线运动。即,这就是质点系的动量守恒定律。,77,例8：光滑水平地面上放有一质量为M的楔形物体(倾角为)，其上又放一质量为m的小楔形体。M的水平直角边的边长为a，m的水平直角边的边长为b。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。,解：,对M与m组成的系统，由于水平方向受外力为零，故系统质心在水平方向无运动，即x坐标不变。即,用质心定理求,x0、X0分别代表初始时刻m、M的质心的坐标,78,由伽利略变换， m的下边缘滑到水平面时：,这就是m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上的位移，负号表示位移方向与x轴正方向相反。

31、,即,(x-x0)-m在水平方向的位移 (X-X0)-M在水平方向的位移,79,一. 质点动能定理,1. 功力的空间累积量,设一质点在力 作用下, 发生一无限小位移 ，力对质点所做的元功,2-3 能量守恒定律,研究内容：力的空间累积效应,80,若质点在恒力 作用下， 位移为 , 则力做的功为,(1)功是标量, 且有正负。,在直角坐标中,说明力 所做的功等于各分力fx、fy、fz 所作的功的代数和。,说明,81,推广：若质点同时受到几个力的作用，则合力做的功等于各分力作的功的代数和。,(2)功是过程量，功是力对空间的累积，功总是和某个运动过程相联系。因此功的值既与质点运动的始末位置有关, 也与运

32、动路径有关。,(3)功是相对量，其大小随所选参考系的不同而不同。,(4)力在单位时间内作的功称为功率，用P表示,82,(5)一对力的功：,和 是一对相互作用力，则,设在某段时间内，m1和m2分别发生了位移 和 ，则这一对力所做的功：,上式说明两质点间的一对相互作用力的元功等于其中一个质点受的力和该质点相对另一质点的元位移的标积。,83,对上式积分可得到两质点从初始位置到终点位置, 一对力做的总功：,结论,A. 一对相互作用力做的总功只取决于两质点间的相对运动,与参考系的选择无关。,B. 如果两质点间无相对运动，或相对运动的方向与相互作用力垂直，则一对力所做的功之和为零，否则，一对力的总功不为零

33、。,84,例：如图所示，物体m放在粗糙斜面M上，而斜面B放在光滑水面上。当m下滑时，M也将运动。试说明在这个过程中，m、M间的一对摩擦力做功之和是正还是负？A、B间的一对正压力做功之和又如何？,A= - fL,在m下滑的过程中，m与M之间的一对摩擦力做的功:,一对正压力做的功:,A=0,85,2.质点动能定理,上式说明: 合力对质点所作的功等于质点动能的增量。这一结论称为质点动能定理。只在惯性系中成立。,功代表力的空间累积，那么力对物体做功会产生什么效果呢？,是质点以速率v运动时具有的动能,86,学习要点：计算变力的功。,解：,例1：一质量为m的质点，在x-y平面上运动，力 作用在质点上，试求

34、质点沿两条不同路径(ODE、OCE)运动时，力所做之功。,力做功与路径有关！,沿OCE：,沿ODE：,87,解：,(1)式积分不能直接求出，由牛顿定律：,代入(1)式：,88,由动能定理：,另法：,冲量,由动量定理：,89,当t=0时，x=a, y=0; 当t= /(2)时，x=0, y=b。,例3： 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为 (SI), 式中a、b、是正值常数，且ab。求：t=0到t=/(2)时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功.,解：,其中: x=acos t, y=bsin t,合外力：,分力：Fx= -m2x, Fy= -m 2y,合外力的功为：,90,分力Fx

35、、Fy的功为：,另法：合外力的功也可由动能定理直接求出。,所以合外力的功：,91,由动能定理得合外力的功为,这样作的优点是：不必求出力，就能求出这个力的功，且更简便。,92,例4：一粗细均匀的柔软绳子，长为L，质量为m，放在桌面上靠边处，并使其一端下垂的长度为a。设绳子与桌面之间的摩擦系数为 ，绳由静止开始运动。求(1)到绳离开桌边的过程中，摩擦力对绳作了多少功？(2)绳离开桌边时的速率是多少？,解：,(1)建立ox坐标如图所示,设某一时刻绳下落的长度为x，桌面上的绳受到的摩擦力:,摩擦力的功：,93,(2)绳离开桌边时的速率是多少？,设绳离开桌边时的速率为v ，根据动能定理,绳在下落过程中，

36、除了摩擦力作功，还有重力作功，即,A=Af+AP,重力作功:,最后得到,94,二. 势能,1. 保守力作功的特点,功是过程量，但有些力的功却与路径无关，只与质点的始末位置有关保守力。,(1)重力的功,设质量为m的质点沿一曲线L从a点运动到b点(高度分别为ha和hb), 重力对质点m作的功为,重力作功只与质点的始末位置有关, 而与质点所经过的实际路径形状无关。,95,当小球由a点运动到b点过程中, 弹性力所作的功为,弹性力作功和重力作功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。,(2)弹性力的功,96,质量为m的质点在质量为M的质点的引力场中, 由a点沿任意路径运动到b点。

37、引力对质点m所做的功为,万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。,(3)万有引力的功,注意到：,97,(4)摩擦力力的功,设一质点在水平面内沿曲线运动，受到滑动摩擦力 的作用,质点从a点到b点，摩擦力作的功：,S是质点从a到b所经过的路程。由此可见，摩擦力作功不仅与始末位置有关，而且还与质点走过的路程有关。,是轨道切线方向上的单位矢量。,98,因为保守力做功只与质点的始末位置有关，而与路径无关, 故保守力沿任意闭合路径L所作的功总为零, 亦即,上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。这也是保守力的一种定义。,结论,保守力做功只与质点的始末位置有关，

38、而与路径形状无关。如重力、弹性力、万有引力等。,非保守力做功不仅与质点的始末位置有关，而且还与路径形状有关。如摩擦力。,99,2. 势能,重力的功,弹性力的功,引力的功,定义：Epa是系统在位置a的势能; Epb是系统在位置b的势能。,保守力的功等于势能增量的负值，这一结论称为势能定理。,100,说明,(1)只有以保守力相互作用的系统才能引入势能。,(2)势能不属于一个质点或物体，势能属于以保守力相互作用的整个系统。势能是一种相互作用能。,(3)势能具有相对意义。要确定系统在任意位置的势能，必须选定势能零点。,上式表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算

39、势能的方法。原则上，势能零点的位置可以任意选择。,101,力学中三种常见的势能：,(1)零势面可任意选择。 (2)重力势能为 Ep=mgh,(1)重力势能,(h是物体相对于零势面的高度),(2)弹性势能,(1)通常规定弹簧无形变时的势能为零。 (2)弹簧伸长(或压缩)x时的弹性势能为,(3)弹性势能总是正值。,102,(4)如选x=xo处为势能零点，则弹性势能,103,(1)通常取无穷远为势能零点。,(3)引力势能总是负值。,(2)M、m相距r时的引力势能:,(3)引力势能,势能曲线,104,设系统有n个物体, 如图所示。,三. 机械能守恒定律,1.系统动能定理,对mi 应用动能定理, 有,这

40、就是系统动能定理：合外力的功与内力的功之和等于系统总动能的增量。,式中：i=1,2,3,n。对上式求和得,105,将上述结果代入动能定理: A内+A外 = Ek- Ek0 移项后，则得：,2.功能原理,内力的功A内也可以写成： A内=A保守内力+A非保守内力,式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。此式表明:系统合外力的功和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理。,A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0)=E-E0,106,Ep+Ek=恒量 这一结论称为机械能守恒定律。,3.机械能守恒定律,说明,(1)机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0，是对

41、惯性系而言的。即机械能守恒定律只适用于惯性系。,(2)在某一惯性系中系统的机械能守恒, 并不能保证在其他惯性系中也守恒，因为 A外与参考系的选择有关。,(3)保守内力作功只能使系统的动能和势能相互转化，并不能改变系统的总能量。,A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0),如果合外力的功与非保守内力的功之和为零 (A外+A非保守内力=0)时, 则,107,判断下列说法的正确性:,A.不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒。 B.所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必 然守恒。 C.不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能 必然同时守恒。 D.外力对一个系

42、统做的功为零，则该系统的机械能和动 量必然同时守恒。,108,(2)对M、m系统，由动能定理,例5: 如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度o滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？,解：,(1)略,109,例6：用一弹簧将质量为m1和m2的上下两块水平木板A和B连接，B放在地面上。试求：(1)若以A在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，写出系统(A、弹簧、地球)的总势能表达式。(2)对A施加多大的向下压力F，才能使该力突然撤去后，A板跳起而

43、刚好拉起B板。,解：,(1)以A的平衡位置为x轴的原点o，则,A板在任意位置x处：,110,系统的弹性势能(以o点为势能零点) ：,系统的重力势能(以o点为势能零点)： Epg= m1gx,总势能：,111,(2)以加力F时为初态，撤去力F弹簧伸长最大时为末态，则根据机械能守恒：,刚好能提起B板的条件：,由此可求出：,112,例7： 如图所示，光滑地面上有一辆质量为M的静止的小车,小车上一长为L的轻绳将小球m悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。,解法一： 以小球为研究对象，它受两个力：绳的张力T，重力mg。因为小球绕o点作圆运动，张力T与运动方向垂直，因此它不作

44、功，只有重力(保守力)作功，所以机械能守恒：,解得：,这个解法对吗？,113,(1)小车是非惯性系(有加速度)，机械能守恒定律是不成立！ (2)在惯性系(地面)上看，小球并不作圆运动，张力T要作功，机械能是不守恒的.,错! 错在那里？,解法二： 是取小车、小球和地球为系统，一对内力(张力T)作功之和为零(为什么?)，只有保守内力重力作功，系统机械能守恒：,(1),114,(1),把小车和小球作为系统，系统动量守恒吗？ 竖直方向的动量显然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)动量守恒 0= MV-m (2) 解式(1)、(2)得小球运动到最低点时的速率为,115,例8： 半径为R 、质量为M且表

45、面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的角位置处，开始脱离球面，试求： (1) 角满足的关系式； (2)分别讨论m/M1时cos 的取值。,解 (1),取地面为惯性系, 以m、M和地球为系统，机械能守恒：,(1),式中的是m脱离球面时相对地面的速度，Vx是M的速度，方向向左。,116,取地面为惯性系, 以m、M为系统, 只有水平方向动量守恒:,(2),Vx,设r是m相对M的速度，,由速度合成公式:,(3),(4),m脱离球面的条件是：,N=0,(5),此时半球为惯性系，则：,对m进行受力分析，如图所示,117,(3),(4),解上述式子得:,(5),(1),(2),118,(2) 当m/Mm时, cos=2/3 这相当于M不动的情况。 当m/M1, 即mM时, 有 cos3 -3cos +2=0 分解因式得 (cos-1)2(cos +2)=0 cos =1 , =0 这表明，这时M一下子滑出，m竖直下落。,