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1、3.3 正交群、幺模群和Euler转动,一、正交群 一个转动可用三个实数表征：转轴的极角和方位角，以及转角。可方便地用33正交矩阵R描述：不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程，这33正交矩阵的9个元素只有3个是独立的。 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群，该群叫SO(3)群。这里S表示特殊，即只考虑了转动，而无反演；O表示正交，即RRT=1；而3表示空间维数。,SO(3)群的基本性质,所有正交矩阵（R）乘法运算的集合满足四要素： 封闭性：两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 2. 结合律： 这是矩阵代数的结果 3. 有单位矩阵（对应于无转动）：R1=1
2、R=R 4. 有逆存在（对应于相反角度的转动）：,二、幺模群,对二分量旋量 ，可用一个22矩阵的作用来表征一个任意转动： U = 该矩阵显然是幺正的（UU+=1），不改变 的模。 幺模矩阵：行列式为1的幺正矩阵。幺模矩阵的一般形式为： 且 U(a,b)的行列式显然为1 ，且是幺正的：,对比U与U(a,b)，知U为幺模矩阵，对应于: 幺模矩阵的集合所构成的群称为SU(2)群。 S：特殊，即模为1；U：幺正。 1）封闭性： 2）逆： 2维幺正矩阵构成U(2)群（有4个独立参数）：,SU(2)与SO(3)的关系,虽然SU(2)与SO(3)均表征转动，但非同构，即SU(2)与SO(3)不是一一对应的。
3、其实，SU(2)与SO(3)的对应是二对一的，即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2对应于-1，转4对应于1，但SO(3)中转2和4都对应于1，把U(a,b)和U(-a,-b)分开看，则可认为SO(3) 与SU(2)局部同构。,三、Euler转动,三维空间的最一般转动也可用三个相继Euler转动表征： 1)将刚体绕z轴转角.空间坐标轴与刚体坐标轴在转动前是重合的,转动后刚体y轴变为y轴 2)使刚体绕y轴转角，刚体z轴变为z轴 3)使刚体绕z轴转角，y轴变为y轴。 用33正交矩阵描述这三个Euler转动，结果为:,y与y差角，绕y转角可等价为：先用Rz
4、(-)将y转回到y，然后绕y转角,再将y转回到y轴，即 上式左右两边对y轴效果自然相同，对zz(z)的操作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。 类似可证： 于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为： 即：,化关于刚体轴y、z的操作为关于空间固定轴的操作,对应于Euler转动的转动算符,与正交矩阵的乘积对应，存在相应转动算符的乘积： 对自旋1/2体系为 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 上式的exp(-i2)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。,是转动算符D(,)的j=1/2的不可约表示，其矩阵元记为,3.4 密度算符与混合系综,一、极化与非极化粒子束 前述量子力学理论形式可描述由完全相
5、同的粒子组成的系综的统计预言，系综粒子均由态矢|表征。 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子，其自旋朝向是随机的。 按前描述任意态的方法， 所描述的态有特定自旋方向，其极角和方位角由 决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综。,二、分数分布,自旋朝向无规的系综可看作由50%|+和50%|-的粒子组成，可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可看作由50%|Sx+和50%|Sx-组成。 2）几率权重( w+，w-)是实数，没有关于不同态的相对相位的信息，用于描述不同态的
6、非相干混合态。 3）不能混淆w+ (w-)和|c+|2 (|c-|2)， |c+|2 (|c-|2)包含了重要的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如 ，该相干叠加的结果是Sx+态。 w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。,三、非极化、部分极化和完全极化,SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子，原子束被称为是非极化的，自旋无特定方向。 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的，自旋有特定朝向。 完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如一混合系统中有70%的态由|描述，而30%由|描述，则称为部分极化的。这里|和|不一定要正交。例如， |是|Sx+，而|是|
7、Sz- 。 非纯系综必须用分数分布数描述（分布数一般不唯一，但要满足描述系综总体性质的要求）,四、系综平均,混合系综可看作纯系综|(i)的混合叠加。 分数分布要满足归一条件: 不同态|(i)不必正交 i的数目可大于态空间的维数。例如一系综可由40% |Sz+ 、30% |Sx-和30%|Sy-组成. 对混合系综测量A，测量的统计结果是A的系综平均 这里|a是A的本征矢。由于是A在态|(i)的期望值，系综平均要对期望值作权重平均，即几率概念出现两次:一是在态|(i)找到A本征态的量子力学几率，二是|(i)在系综的几率权重。,五、密度算符,利用一般基求A的系综平均： 对b或b的求和项数是态矢空间的
8、维数，而i的项数则与混合系统被看作由怎样的纯态混合而成有关。 定义与特定观测量A无关的系综密度算符： 其矩阵表示即密度矩阵的矩阵元为 密度算符包含了所讨论系综的所有物理信息。,观测量的系综平均 由于迹与表象无关，可在任意方便的基中计算，因而上式是非常有用的。,六、密度算符的基本性质,1）厄米性：+ = 2）满足归一化条件： 由于厄米性及归一条件，对自旋1/2的体系，密度算符的矩阵表示由3个独立参量描述，这是因为厄米矩阵由四实数表述，而归一性将独立参数数降为3。所需三个参数是Sx, Sy和Sz。,七、纯态系综的密度算符,纯系综由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述，对应的密度算符为： 纯系综
9、的具有等幂性: 2 = (故Tr(2)=1), (-1)=0 对角化时有ii (ii-1)=0，即ii =1或ii =0，具有形式： 由于 纯系综的Tr(2)=1为极大，任何混合系统的Tr(2)1 。,八、密度算符在给定基下的矩阵表示,上式其实给出了密度矩阵的算法。下面以自旋1/2体系在Sz表象为例。 1）对纯Sz+系综： 2）纯Sx系综：,3）对完全非极化系综，将其看作50%|+和50%|-的非相干组合，则 ： 4）由75%|Sz+与25%|Sx+组成的部分极化系综 容易求得： 注：给定，其对纯态的分解可以是多样化的（可从矢量模型理解） 。,S=0,九、系综的时间演化,对 ，若系综不受干扰，
10、则wi不变，系综的时间演化由态矢|(i)的时间演化决定， 这方程形式与Heisenberg运动方程反号。但这并不矛盾，因不是Heisenberg绘景中的动力学观测量。其实，是由Schrdinger绘景中的态矢组成的，而态矢则是按Schrdinger方程演化的。 的时间演化方程的经典对应正是统计力学中关于相空间态密度时间演化的刘维方程。,十、连续谱空间中的密度算符,对应于连续本征谱的态矢，则 此时密度矩阵实际上是x和x的函数，即 i(x)是对应于|(i)的波函数。 的对角元素是几率密度的权重和。 混合态系综分解也是不唯一的（如不同平面波或波包的叠加）,十一、密度算符与量子统计力学,对完全随机的系
11、综，密度矩阵在任何表象中均有： 该与纯系综的很不相同。 为定量表征不同系综的，定义为： 在本征态为基矢时,关于算符函数矩阵的运算,若X为对角矩阵， , 则X函数的矩阵亦对角 例如： 若 , 则 例,十二、熵,由于 ，是半正定的（0）。 对完全随机系综 对纯系综， =0 可见可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是的最大值。 在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与的关系为，S=k，k为Boltzmann常数。 S=k可看作是量子统计力学中熵的定义。,十三、热平衡系综的密度矩阵,对具有确定H的系综,热平衡时 取极大
12、: =0. 因/ t=0, 与H可同时对角化,可用H的本征态为基. 粒子的平均内能：H=Tr(H)=U 由约束条件 用Lagranger乘子法可得 其解为， 利用归一化条件有 对应于能量本征态Ek的几率分布。 上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定,若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任意k）：kk=1/N 对应于完全随机的系综，与-0（即T）的正则系综分布相同,十四、配分函数,kk的分母为 是统计力学中的配分函数，可写为 在能量本征态基中可写为 据此可得体系的所有性质， 对A=H，有 与统计力学的对应知=1/kT.,应用举例：均匀磁场中的电子系综,Brillouin磁化率公式： 负温度（如晶格排列磁矩体系）： (温度序列：0+，正温，正无穷，负无穷，负温，0-),作业,3.5、3.9、3.10、3.11、3.12,