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1、运筹学 与最优化方法,吴祈宗等编制,主要内容,第一章 运筹学思想与运筹学建模 第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划 第四章 最优化搜索算法的结构与一维搜索 第五章 无约束最优化方法 第六章 约束最优化方法 第七章 目标规划 第八章 整数规划 第九章 层次分析法 第十章 智能优化计算简介,第 一 章,运筹学思想 与 运筹学建模,第一章 运筹学思想与运筹学建模,运筹学简称 OR （美）Operations Research （英）Operational Research “运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” 三个来源：军事、管理、经济 三个组成部分： 运用分析理论、竞争理论、随机服务理论,一
2、、什么是运筹学,为决策机构在对其控制下的业务活动进行决策时，提供一门量化为基础的科学方法。 或是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术，否则的话，问题的结果会更坏。,二、运筹学的应用原则,合伙原则：应善于同各有关人员合作 催化原则：善于引导人们改变一些常规看法 互相渗透原则：多部门彼此渗透地考虑 独立原则：不应受某些特殊情况所左右 宽容原则：思路宽、方法多，不局限在某一特定方法上 平衡原则：考虑各种矛盾的平衡、关系的平衡,三、运筹学解决问题的工作步骤,1 ）提出问题：目标、约束、决策
3、变量、参数 2 ）建立模型：变量、参数、目标之间的关系表示 3 ）模型求解：数学方法及其他方法 4 ）解的检验：制定检验准则、讨论与现实的一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决,四、运筹学模型的构造思路及评价,直 接 分 析 法 类 比 方 法 模 拟 方 法 数 据 分 析 法 试 验 分 析 法 构 想 法 模型评价: 易于理解、易于探查错误、易于计算等,优化模型的一般形式,Opt. f ( xi, yj, k ) s.t. gh ( xi, yj, k ) , 0 h = 1,2, ,m 其中： xi 为决策变
4、量（可控制） yj 为已知参数 k 为随机因素 f , gh 为（一般或广义）函数 建模举例（略） 自看,五、基本概念和符号,1、向量和子空间投影定理 (1) n维欧氏空间：Rn 点（向量）：x Rn, x = (x1 ,x2 ,xn)T 分量 xi R (实数集) 方向（自由向量）：d Rn, d 0 d =(d1 ,d2 ,dn)T 表示从0指向d 的方向 实用中，常用 x + d 表示从x 点出发沿d 方向移动d 长度得到的点,d,0,x,x+(1/2)d,五、基本概念和符号（续）,1、向量和子空间投影定理 (2) 向量运算：x , y Rn n x , y 的内积：xTy = xiyi
5、 = x1y1+ x2y2+ + xnyn i =1 x , y 的距离： x-y = (x-y)T(x-y)(1/2) x 的长度： x= xTx (1/2) 三角不等式： x + y xy 点列的收敛：设点列x(k) Rn , x Rn 点列x(k)收敛到 x ，记 lim x(k) = x limx(k)- x = 0 lim xi(k) = xi ,i k k k,x+y,y,x,五、基本概念和符号（续）,1、向量和子空间投影定理 (3) 子空间：设 d (1) , d (2) , , d (m) Rn, d (k) 0 m 记 L( d (1) , d (2) , , d (m) )
6、= x = j d (j) jR j =1 为由向量d (1) , d (2) , , d (m) 生成的子空间，简记为L。 正交子空间：设 L 为Rn的子空间，其正交子空间为 L x Rn xTy=0 , y L 子空间投影定理：设 L 为Rn的子空间。那么 x Rn， 唯一 x L , y L, 使 z=x+y , 且 x 为问题 min z - u s.t. u L 的唯一解，最优值为y。 特别， L Rn 时，正交子空间 L 0 （零空间）,五、基本概念和符号（续）,规定：x , y Rn，x y xi yi ，i 类似规定 x y，x = y，x y . 一个有用的定理 设 xRn，
7、R，L为Rn 的线性子空间， (1)若 xTy , yRn 且 y 0， 则 x 0， 0 . (2)若 xTy , y L Rn ， 则 x L， 0 .(特别, LRn时,x =0) 定理的其他形式： “若 xTy , yRn 且 y 0，则 x 0， 0 .” “若 xTy , yRn 且 y 0，则 x 0， 0 .” “若 xTy , yRn 且 y 0，则 x 0， 0 .” “若 xTy , y L Rn ， 则 x L， 0 .”,五、基本概念和符号（续）,2、多元函数及其导数 (1) n元函数：f (x): Rn R 线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi
8、+ b 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b = (1/2)i j aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm 其中 A为 mn矩阵，d为m维向量 F(x)=( f1(x), f2(x), , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，fi (x) = aiTx,五、基本概念和符号（续）,2、多元函数及其导数 (2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)( f / x1 , f / x2 , , f / xn )TRn . 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c 二次函数：f (x)
9、= (1/2) xTQx + cTx + b f (x) = Qx + c 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm F / x = AT,五、基本概念和符号（续）,2、多元函数及其导数 (3) Hesse 阵（二阶偏导数矩阵）： 2f /x1 2 2f /x2 x1 2f /xn x1 2f (x)= 2f /x1 x2 2f /x22 2f /xn x2 2f /x1 xn 2f /x2 xn 2f /xn2 线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b, 2f (x)=Q,五、基本概念和符号
10、（续）,2、多元函数及其导数 (4)n元函数的Taylor展开式及中值公式： 设 f (x): Rn R ，二阶可导。在x* 的邻域内 一阶Taylor展开式： f (x) = f (x*)+ f T(x*)(x-x*) + ox-x* 二阶Taylor展开式： f (x) = f (x*)+ f T(x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T 2f (x*)(x-x*) + ox-x*2 一阶中值公式：对x, , 使 f (x) = f (x*)+ f (x*+(x-x*)T(x-x*) Lagrange余项：对x, , 记xx*+ (x-x*) f (x) = f (x*)+ f T(x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T 2f (x )(x-x*),第一章 其它基础知识,复习下列知识： 线性代数的有关概念：向量与矩阵的运算、向量的线性相关和线性无关，矩阵的秩，正定、半正定矩阵，线性空间等； 集合的有关概念：开集、闭集，集合运算，内点、边界点等。,