2021届高考数学压轴题系列训练含答案.docx

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1、2021届高考数学压轴题系列训练含答案2021届高考数学压轴题系列训练含答案 1（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（）求这三条曲线的方程；（）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l 被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.解：（）设抛物线方程为()220y px p =，将()1,2M 代入方程得2p =24y x = 抛物线方程为: （1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F

2、 F - c=1（2分）对于椭圆，1222a MF MF =+(222222211321a ab ac =+=+=+=-=+= 椭圆方程为：（4分）对于双曲线，1222a MF MF =-= 2222221321a a b c a =-=-= 双曲线方程为：（6分）（）设AP 的中点为C ，l 的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l 于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,22x y A x y + C （7分）()1112312322DC AP x CH a x a =+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y

3、x a a x a a a DH DE DH l x =-=-+-+=-+=-+= 当时,为定值;此时的方程为：（12分）2（14分）已知正项数列n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（）求数列,n n a b 的通项公式；（）若()()()n n a f n b =, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数n，不等式1120111111n n n ab b

4、b +-+ 成立，求正数a 的取值范围.解：（）将点(n n A a 代入21y x =+中得 ()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n +=+-=+-=+=+=+ 直线（4分）（）()()()521n f n n +=+, n 为奇数, n 为偶数（5分） ()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k +=+=+=+=+=当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。（8分）（）由1120111111n

5、 n n a b b b +-+ ()()()()12121211111111231111112311111111125123123241232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n f n b n n n + +=+ +=+ +=+= +即记()()()()()22min 2523416161416151,4451,35450n n n n n n f n f n f n f n f a +=+=（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C

6、1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .解: (1)设点)y ,x (P , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知=,y 2y ,x x (2分) 又,4y x 22=+1y 4x 4y 4x 2222=+=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x 22=+.(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 ,当直线l 与x 轴重合时, 线段AB

7、的中点N 就是原点O,不合题意,舍去; (5分)设直线l: ,3my x += 由=+=4y 4x 3my x 22消去x, 得01my 32y )4m (22=-+ ,4m m 3y 20+-=(6分) 4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=+-=+=, 点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .(8分) 若2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m 32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)4m (m 12)4m (4822222=+, 即,032m 4m 24=- 4m (8m 22-= 舍去). 由方程得,14m 1m 4

8、4m 16m 4m 12|y y |2222221=+=+=- 又|,)y y (m |m y m y |x x |212121-=-=- 3|y y |1m |AB |212=-+= .(10分)若3|AB |= , 由得,34m )1m (422=+ .8m 2= 点N 的坐标为)66,33( , 射线ON 方程为: )0x (x 22y = , 由=+=4y 4x )0x (x 22y 22 解得=36y 332x 点E 的坐标为),36,332( 2=.综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .(12分)4.（本小题满分14分）已知函数241)x (f x +=)R x (

9、 (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称; (2) 若数列a n 的通项公式为)m ,2,1n ,N m ()mn (f a n =+, 求数列a n 的前m 项和;S m (3) 设数列b n 满足: 31b 1=, n 2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n += . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S 1,21( 的对称点为)y ,x (P . 由=+=+412y y 212x x 00 得-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00- .(2分)由点

10、)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=. ,)24(244244241)x 1(f 00000x x x x x 10+=+=+=- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + 点P )y 21,x 1(00- 在函数)x (f 的图象上. 函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. (4分)(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -=-+ , 即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+=-+- (6分) 由m

11、 1m 321m a a a a a S +=- , 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +=- 由, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=+-=+-= ).1m 3(121S m -=(8分) (3) ,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, 对任意的0b ,N n n + . 由、, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. 1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1

12、T +-=-=-+-+-= .(10分) ,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n =-+ 数列b n 是单调递增数列.n T 关于n 递增. 当2n , 且+N n 时, 2n T T . ,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+=+= .5275b 13T T 12n =-=(12分) ,5275S m 4639238m =B 两点.（1）当AE AF 时，求AEF 的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF 的最大值. 解：（1）2241282AEF m n S mn m n +=+= （2）因484AE AF

13、AB AF BF BE BF +=+=+=，则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t ()tan EPF tan EPM FPM =-221(166t t t t t t -=-+=+，当t =30tan EPF EPF =6（14分）已知数列n a 中，113a =，当2n 时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，（2）求n S 的表达式及2lim n n na S 的值；（3）求数列n a 的通项公式；（4）设n b =n N 且2n 时，n n a b 解：（1）2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a

14、 S S S S S S n S S S -=-=-=-=- 所以1n S 是等差数列.则121n S n =+. 222lim lim 2212lim 1n n n n n n n a S S S =-. （2）当2n 时，12112212141n n n a S S n n n -=-=-=+-，综上，()()21132214n n a n n=-. （3）令a b =2n 时，有0b a 112121n n -+.当2n时，0令()23,0f x x x x =-)233232(1)2(12(10222f x x x x x x x =-=-=-，则()fx 在递增.又0所以33()

15、),2121g g n n 11()()2121(21)(21)n n a b b a b a n n n n -=-=-+-+- 22()()a b a b ab a b =-+- （2）22()()()22ab ab a b a a b b =-+-+- ()(1)(1)22b a a b a a b b =-+-+- （3）因3311111022223a b a b a +-法3：令()22g b a b ab a b =+-，则()12102a g b b a b -=+-=所以()()()220,32g b max g g a max a a a a =-因0,3a b a b

16、ab a b =+-由（1）（2）（5）知n n a b 7 (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a 0, b 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|-OP |2 =|-OQ -OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y = ab (x a ), 解得：-OR = (b ak ab -,b ak

17、kab -), 同理可得-OQ = (b ak ab +,b ak kab +),|-OQ -OR | =|b ak ab -b ak ab +b ak kab -b ak kab +| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分设-OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222ka b b a k -, |-OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222k a b )k 1(b a -+ , 点P

18、在双曲线上，b 2 a 2k 2 0 .无论P 点在什么位置，总有|-OP |2 = |-OQ -OR | . 4分（2）由条件得：222222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分即k 2 = 22a 4ab ab b 4+- 0 , 4b a, 得e 417 2分 2021届高考数学压轴题系列训练含答案 1. (本小题满分12分)已知常数a 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x 的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 解:

19、 (1) f n ( x ) = nx n 1 n ( x + a)n 1 = n x n 1 ( x + a)n 1 ,a 0 , x 0, f n ( x ) （2）由上知：当x a0时, f n ( x ) = x n ( x + a)n 是关于x 的减函数, 当n a 时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n . 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) x n ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n ( n + 1 )f n (n)

20、 ( n + 1 )nn n 1 ( n + a)n 1 = ( n + 1 )n n n( n + a)n 1 , 2分( n + a ) n ,f n + 1 ( n + 1 ) 2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为1，1，且满足：f (1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v 1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,1,01,0,1x x x x +-，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v 1，1， |p(u) p (v)| = | u

21、 2 v 2 |=| (u + v )(u v) |，取u = 431，1，v = 211，1, 则 |p (u) p (v)| = | (u + v )(u v) | =45| u v | | u v |，所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若u ,v 0，1，则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 若u 1，0，v 0，1，则：|g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = |

22、 u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若u 0，1，v 1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =1x x +(x 1)的图象上，且有t 2 c 2at + 4c 2 = 0 ( c 0 ). (1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.证：(1) t R, t 1, = (c 2a)2 16c 2 = c 4a 2 16c 2 0

23、， c 0, c 2a 2 16 , | ac | 4.(2) 由 f ( x ) = 1 1x 1+, 法1. 设1 1x 12+1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221+-. 1 f (x 2) f ( x 1) 法2. 由f ( x ) = 2)1x (1+ 0 得x 1, x 1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）f ( x )在x 1时单调递增，| c | |a |4 0 , f (| c | ) f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a |a |+ 4|a |4

24、 4|a |a |+4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =+（其中i a R ，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（1）求f (x)的表达式；（2）试在函数 f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（3）若+21,N )2n n n n x y n -=，求证：4()().3n n f x f y -f x x

25、 x =-5分（2）()0,0,或()0,0,. 10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -15分 5（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y 则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y -1分221122

26、221,(1)124 1.(2)124x y x y +=+=3分由（1）（2）可得1.3MN QN k k =-6分又MN MQ ，111,MN MQ MN x k k k y =-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-10分从而得1111,.22x x y y =-所以112,2.x x y y =- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=此即为所求的轨迹方程.13分 6（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0

27、1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数使得0)(2=+？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A 由,42y x =得：2x y =2,221x k x k PB PA = 4,021-=x x PB PA 3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= 由得：-=+=),(,142212121R x x x x y x x x 点P 的轨迹方程是).(1R x y

28、6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+x x P 4),2,2(2121-=-+=x x x x FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +-=-+= 10分 2444)()(22212212+=+=x x x x 所以0)(2=+故存在=1使得0)(2=+12分解法（二）：（1）直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA 设PA 的直线方程是)0,(+=k R m k m kx y由=+=yx m kx y 42得：0442=-m

29、kx x 016162=+=m k 即2k m -=3分即直线PA 的方程是：2k kx y -=同理可得直线PB 的方程是：211kx k y -= 由-=-=2211k x k y k kx y 得：-=-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y -=6分（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),2(22-kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22-=-=kk FB k k FA )2,1(-=kk FP )1(2)11)(1(42222kk k k +-=-+-=10分 )1(24)1()(2222kk k k +=+-= 故存在=1使得0)

30、2=+12分7（本小题满分14分）设函数x axx x f ln 1)(+-=在),1+上是增函数. （1）求正实数a 的取值范围；（2）设1,0a b ，求证：.ln 1b b a b b a b a +-=ax ax x f 对),1+x 恒成立， x a 1对),1+x 恒成立又11x1a 为所求.4分（2）取b b a x +=，1,0,1+bb a b a ，一方面，由（1）知x axx x f ln 1)(+-=在),1+上是增函数， 0)1()(=+f bb a f 0ln 1+-b b a b b a a b b a即ba b b a +1ln 8分另一方面，

31、设函数)1(ln )(-=x x x x G)1(0111)(-=-=x xx x x G )(x G 在),1(+上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(=G当1x 时，0)1()(G x Gx x ln 即bb a b b a +ln 综上所述，.ln 1b b a b b a b a +如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C =，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC的周长为12若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点(1) 求双曲线E 的方程；相交(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l

32、与双曲线E于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN =，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN -？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a = 222|16,|124,|2.AB AC a AB AC a AB AC a -=+=-=（3分）解之得1a =，2,c b =双曲线E 的方程为2213y x -= （5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G

33、 t ，使()BC GM GN -xx设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y 由MP PN =，得120y y += 即12y y =- （6分） (4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y -=-+-，()BC GM GN -12()x t x t -=-即12()ky m t ky m t +-=+- （8分）把代入，得12122()()0ky y m t y y +-+= （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得 222(31)63(1)0k y kmy m -+-=其中2310k -且0，即2

34、13k 且2231k m + 212122263(1),3131km m y y y y k k -+=- （10分）代入，得2226(1)6()03131k m km m t k k -=-，化简得 kmt k = 当1t m=时，上式恒成立因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN - （12分） 9(本小题满分14分)已知数列n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n n n n a a a f n S +=(1) 求n a ；x

35、2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n N ）； (3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -+-+- -，（*n N ）解：(1) (1)n n p S p pa -=-， 11(1)n n p S p pa +-=- ，得11(1)n n n p a pa pa +-=-+，即1n n a pa += （3分）在中令1n =，可得1a p =n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =（4分） (2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p

36、 -=- 12121C C C n n n n n a a a +1221C C C (1)(1)n n n n n n n p p p p p =+=+=+ 12121C C C ()2n n n n n n n a a a f n S +=1(1)2(1)n n n p p p p -+=-，（5分） (1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +-+=- 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +-+=-，且1p ， 1110n n p p p +-，10p - (1)f n +(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，

37、1)f n +p p -+2111112n p p p p -+=- -，（10分）（当且仅当1n =时取等号）另一方面，当2n ，1,2,21k n =-时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p -+-=+- 2221(1)(1)22(1)2(1)k n kk k n k n k p p p p p p -+-212(1)12(1)(1)nnk n k p p p p p -+=- 2212(1)121nn n k n k p p p p p p -+=-+ 22k n k n p p p -+，22

38、22121(1)n k n k n n n p p p p p p -+-+=- 12(1)()(2)2()2(1)n n n p p f k f n k f n p p -+-=-，（当且仅当k n =时取等号）（13分） 2121211111()()(2)()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n -=+-=-（当且仅当1n =时取等号）综上所述，2121111(21)()()112n n k p p n f n f k p p -=+- -，（*n N ）（14分）1（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222=+b a b y a x

39、的左、右焦点分别是F 1（c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2|1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0|,022=TF TF （）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a F +=|1；（）求点T 的轨迹C 的方程；（）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（）证法一：设点P 的坐标为).,(y

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