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1、张量分析及其应用,第一章 张量代数 第二章 张量分析 第三章 张量应用,1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标,第一章 张量代数,显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： 每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。 于是,是违约的，求和时要保留求和号,n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题,双重求和,简写成,展开式（9项）,三重求和（27项）,1.1.2 自由指标,例如,指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。 一个自由指标每次可取整数
2、1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：,i 为自由指标，j 为哑标,表示,i 为自由指标，j 为哑标,表示,i ，j为自由指标，k 为哑标,表示9个方程：,例外：,出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。,规定：,这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。,又如，方程,用指标法表示，可写成,i 不参与求和，只在数值上等于 i,1.2 Kronecker 符号,在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：,其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 可确定一单
3、位矩阵：,若,是相互垂直的单位矢量，则,，但,而,，故,注意：,是一个数值，即,的作用：1）换指标；2）选择求和。,例1：,思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示,例2：,例3：,个数，,项的和。,求,特别地，,1.3 置换符号,i, j, k, 为1，2，3的偶排列,i, j, k, 为1，2，3的奇排列,i, j, k, 不是1，2，3的排列,例如：,可见：,也称为三维空间的排列符号。,若,是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量,则,常见的恒等式,( i ),( ii ),( iii ),( iv ),证明：,令,即得（ i ），将（ i ）作相应
4、的指标替换，展开化简，将得其余三式。,指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零,二维置换符号,其中,从三维退化得到,有下列恒等式,关键公式：,二维关键公式：,1.4 指标记法的运算,1.4.1 代入,设,(1),(2),把（2） 代入（1）,m,n or else,3个方程，右边为9项之和,1.4 指标记法的运算,1.4.2 乘积,设,则,不符合求和约定,1.4 指标记法的运算,1.4.3 因式分解,考虑,第一步用,表示,有换指标的作用,所以,即,1.4 指标记法的运算,1.4.4 缩并,使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同
5、性材料应力应变关系,缩并,哑标与求和无关，可用任意字母代替,为平均应力应变之间的关系,1.4 指标记法的运算,1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换,求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程：,其普通记法,或,1.4 指标记法的运算,1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换,不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：,写出其普通记法,1.4 指标记法的运算,1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换,弹性力学平衡方程方程：,写出其指标记法,1.5 张量的定义,1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）,旧坐标系：,新旧基矢量夹角的方向余弦：,
6、单位基矢量：,新坐标系：,单位基矢量：,1.5.1 坐标系的变换关系,图解（二维）：,在解析式中记：,1.5.1 坐标系的变换关系,从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量,（对 i 求和，i为自由指标）,1.5.2 标量（纯量 Scalar）,在坐标变换时其值保持不变，即满足,如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？,1.5.3 矢量（Vector）,设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为,即,（对 i 求和）,（对 i 求和）,满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量,1.5.3 矢量（Vector）,哑标换成 k,比较上式两边，得,即该变换是正交的,1.5.4
7、张量（Tensor）,对于直角坐标系,，有九个量,按照关系,变换成,中的九个量,则此九个量定义一个二阶张量。,将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）,1.6 张量的分量,设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是,对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即,称为二阶张量T的分量,令,可理解为矢量Tej在ei上的分量，即,因此，有下面三种等价的表达式：,其中,称为在基矢量组e1, e2, e3下二阶张量 T 的矩阵。 注意：矢量 a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组e1, e2, e3与坐标系相关。,
8、1.7.1 张量的加法和减法,设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示：,仍为二阶张量。,若a为一矢量，则,其分量为：,其矩阵形式为：,1.7.2 张量和标量的乘积,设T为二阶张量， 为一标量，它们的乘积记为 ，则,仍为二阶张量。,因为根据坐标变换，有,可见， 为二阶张量。,1.7.3 并矢积、并矢记法、基张量,矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换：,二阶张量 一阶 零阶,关于是二阶张量的证明：,即证明 满足张量的定义： 是一个线性变换。,设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义,可见： 满足张量的定义。,关于基矢量组 的分量：,有些文献把 写成,矩阵形式：,基矢量 的并矢积：,于是，二阶张量 可以表示成 ：,即,这种并矢记法可以推广到任意阶张量，例如三阶张量 ：,一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量,可用上述并矢记法表示基张量：,一阶张量 二阶张量 n 阶张量,于是，有,等号右边称为广义标量记法。,到此为止，我们已有四种张量记法：,不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法,