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1、,直线与平面平行的判定和性质,高二数学,复习目标： 掌握直线和平面位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念，掌握三垂线定理及其 定理，能运用上述直线和平面平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题,直线与平面的位置关系,1定义：一条直线与一个平面没有公共点就说这条直线与这个平面平行。 即如果与a没有公共点，则a （a=）,直线与平面平行,2直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行那麽这条直线和这个平面平行。 已知：a，b，ab 求证：a,3直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那麽这条
2、直线就和交线平行. 已知: a a =b 求证:ab,1定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直就说这条直线和这个平面垂直。 直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面； 垂线和平面的交点叫垂足。,2两个重要性质: （1）过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。 （2）过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。,直线和平面垂直.,n,l,B,m,m，n， mn=B l lm，ln,3直线和平面垂直的判定定理 判定定理1:如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直那麽这条直线垂直于这个平面.,b,a,判定定理2:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面那麽另一条也垂直于这个平面.,ab a b,4直线和
3、平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 已知：a，b 求证: ab,a,b,b1,O,一、直线和平面的距离 1点到平面的距离: 从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离, 就是点到平面的距离.,2直线和平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离.,性质: 垂线段最短 线上各点到面的距离相等,线面距离可能转化为点面距离.,二、斜线、垂线、射影 1斜线、垂线、射影 垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段,斜线 ： 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线
4、叫做这个平面的斜线。 斜线和平面的交点叫斜足； 斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。,射影：过斜线上斜足外的一点间平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。 垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。,结论： 直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线。 直线与平面垂直射影是点。 斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。,2射影长相等定理: 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长。 相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 垂线段比任何一条斜线段都短。,OB=OCAB=AC OBOCABA
5、C AB=ACOB=OC ABACOBOC OAAB，OAAC,直线和平面所成角 1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角。 一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角 范围： 0 ，900,2定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。,O,C,D,B,A,l,l1,1三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那麽它也和这条斜线垂直。 2三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。,重要结论： 1如果一
6、个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那麽这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。 2经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线。,例1如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内。 已知：a，A，Ab且ab 求证：b,证明：假设b过A点和a确定平面为，=b1，b1，Ab1 a ab1 由ab而b，b1都过点A 这样，在平面内过A有两条直线b和b1都平行于a这是不可能的。 b,例2已知：a，b是两条异面直线，a，b，=l，AB是a，b共垂线，交a于A，交b于B 求证：ABl,A,b,
7、B,a,证明（一）：（利用线面垂直的性质定理） 过A作b1b，则a，b1可确定一平面 AB是异面垂线的公垂线， 即ABa，ABb ABb1 AB a，b，=l la，lb lb1 lr ABl,证明（二）： AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面，=ma am 又aAB，AB mAB 又过AB作平面g，g=n 同理：nABmn，于是有m 又=l mlABl,例3正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN平面BEC 分析：证线面平行线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线。,证明（一）：作NKAB交BE于K，作MHAB交B
8、C于H MHNK ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形 它们是全等正方形 AM=FN CM=BN 又HCM=KBN，HMC=KNB HCMKBN MH=NK MHKN是平行四边形 MNHK HK平面BEC MN平面BEC MN平面BEC,证明（二）： 分析：利用面面平行线面平行 过N作NPBE，连MP，NPAF FN/FB=AP/AB AM=FN，AC=BF FN/FB=AM/AC AP/AB=AM/AC MPBC 平面MNP平面BCE MN平面BCE 解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。,例4在
9、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是ABC的垂心 求证：PH底面ABC ABC是锐角三角形,证明：PAPB PAPC且PBPC=PPA侧面PBC 又BC平面PBD PABC H是ABC的垂心 AHBC PAAH=A BC截面PAH 又PH平面PAH BCPH 同理可证：ABPH 又ABBC=B PH面ABC,设AH与直线BC的交点为E，连接PE 由知PH底面ABC AE为PE在平面ABC的射影 由三垂线定理：PEBC PBPC即BPC是直角三角形， BC为斜边 E在BC边上 由于AEBC， 故BC都是锐角 同理可证：A也是锐角 ABC为锐角三角形,例5正三棱柱ABC-A1
10、B1C1的侧面三条对角线AB1，BC1，CA1中，AB1BC1 求证：AB1CA1 证明：取AB，A1B1中点D，D1连接CD，C1D1及A1D， 由三棱柱可知，面A1B1C1面AB1 在正A1B1C1中，C1D1A1B1 C1D1面AB1 (同理CD面AB1) BD1是BC1在平面AB1内的射影 AB1BC1 AB1BD1 BD1AD1 AB1A1D 且AD1是A1C在平面AB1内的射影 AB1A1C,例6在正四棱柱AC1中，底面边长为1，侧棱长为2， 求D1B1与平面A1BCD1所成的角 求B1到平面A1BC1的距离,B1,C1,A1,D1,D,A,B,C,分析：按定义需作B1D1在平面A
11、1BCD1上的射影，那麽在此平面上射影的位置该落何处，这就是要考虑垂足的定位问题。 常用方法： 过B1作A1B的垂线B1EB1E平面A1BCD1 过B1作平面A1BCD1的垂线B1E平面A1BCD1EA1B (3) 在垂面内做垂线,解： BCAB , BCBB1 BC面A1B面A1C面A1B过B1作B1BA1B=E B1E平面A1BCD1 连D1E，则D1E是B1D1在平面A1BCD1上的射影故 B1D1E即B1D1与平面A1BCD1所成的角且在Rt B1ED1中，B1E=A1B1*B1B/A1B= Sin B1D1E=,B1,C1,A1,D1,D,A,B,C,E,(2)解一：正方形A1B1C
12、1D1中 , 等腰BA1C1中A1C1 B1D1 ,BO A1C1 A1C1面B1BO 面A1C1B面B1BO 过B1作高线BO垂线 B1 H BO于H 则B1 H面A1C1B 连A1C1，过B1作平面A1BC1的垂线，垂足为H，则B1H的长即点B1到平面A1BC1的距离， 由正棱柱性质:B1A1，B1C1，B1B两两垂直 H是A1BC1的垂心, 连BO则BOA1C1 HBOB1B底面A1C1 B1BB1O，B1HBO B1H= 即顶点B1到截面A1BC1的距离为 。,B1,C1,A1,D1,D,A,B,C,O,H,解二：（利用等积法） 考察四面体B1A1BC1 设顶点B1到A1BC1的距离为h 则为三棱柱B1-A1BC1的高 VB1-A1BC1=VB-ABC1 SA1BC1*h=SA1BC1*B1B A1C1BO A1C1*BO*h=A1B1*B1C1*BB1 B到平面A1BC1的距离为 。,直线和平面,直线和平面,B1,C1,A1,D1,D,A,B,C,O,