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1、第十七讲 同角三角函数的基本关系 式及诱导公式,回归课本,1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin2+cos2=1; 商数关系:tan=,2.相关角的表示 (1)终边与角的终边关于原点对称的角可以表示为+; (2)终边与角的终边关于x轴对称的角可以表示为-(或2-); (3)终边与角的终边关于y轴对称的角可以表示为-; (4)终边与角的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -.,3.诱导公式 (1)公式一 sin(+k2)=sin,cos(+k2)=cos,tan(+k2)=tan,其中kZ. (2)公式二 sin(+)=-sin,cos(+)=-cos, tan(+)=tan.,(3)公
2、式三 sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan. (4)公式四 sin(-)=sin,cos(-)=-cos, tan(-)=-tan.,(5)公式五,(6)公式六,即+k2(kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号; 的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.,总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇偶”是指“k (kZ)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角看作锐角时原函数值的符号.,考点陪练,1.(2010全国)cos300=( ) 解析:cos300=cos(360-6
3、0)=cos60= ,故选C. 答案:C,答案:A,答案:B,4.点P(tan2008,cos2008)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:2008=6360-152, tan2008=-tan152=tan280, cos2008=cos1520,点P在第四象限. 答案:C,答案:B,类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值 解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确灵活,尤其是利用平方关系sin2+cos2=1及其变形形式sin2=1-cos2或cos2=1-sin2进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且
4、没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值.,【典例1】 (1)已知sin= ,且为第二象限角,求tan; (2)已知sin= ,求tan; (3)已知sin=m(m0,m1),求tan.,(3)sin=m(m0,m1), cos= = (当为第一四象限角时取正号,当为第二三象限角时取负号), 所以当为第一四象限角时,tan= ; 当为第二三象限角时,tan=,反思感悟 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌握住“先平方,后作商”的原则,先求与sin的平方关系相联系的cos,再由公式求tan.在(3)中,为第四象限角,但tan= ,原因是m此时小于0,所以形
5、式上tan的表达式前面仍不带负号.,类型二 诱导公式及其应用 解题准备:诱导公式起着变名变角变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正化大为小锐角求值”.,分析 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.,(3)-1860=-2190+30, f(-1860)=-cos(-1860) =-cos(-2190+30) =-sin30= .,反思感悟 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设=- 且
6、为锐角,则如图所示,可知可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数. cos=cos(-3 +)=-sin.,类型三 sincos与sincos关系的应用 解题准备:利用sin2+cos2=1,可以得出如下结论: (sin+cos)2=1+2sincos; (sin-cos)2=1-2sincos; (sin+cos)2+(sin-cos)2=2; (sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos. 对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.,【典例3】 已知sinx+cosx= ,求下列各式的值: (1)
7、sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.,反思感悟 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.,类型四 关于sin与cos的二次齐次式的求值问题 解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定角所在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用“1”的代换,将所求值的式子的分子分母同除以cosn,用tann表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟
8、练掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法.,反思感悟 形如asin+bcos和asin2+bsincos+ccos2的式子分别称为关于sincos的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.,错源一 忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错,A.m3,9 B.m(-,5)3,+) C.m=0,或m=8 D.m=8,错解 由已知有 解得m-5或m3,选B. 剖析 条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要受到正余弦的平方关系“sin2+cos2=1”的限制,而上述解法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错.,答案 D,评
9、析 如果在题设条件中出现了正余弦,则要注意利用它们之间的平方关系.,错源二 忽视角的范围,造成多解而致错,评析 解答关于含有“sincos,sincos”的问题时,一般都要利用平方关系sin2+cos2=1,但必须注意对所求得的结果进行检验,否则会造成多解.,技法一 整体换元 【典例1】 已知sin+3cos=2,求 的值.,技法二 快速解法(求根法) 【典例2】 已知(0,),且sin,cos是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3+cos3和tan-cot的值.,解题切入点 由根与系数的关系入手,sin+cos= ,sincos= ,将sin3+cos3与tan-cot用sin+
10、cos,sincos表示.,分析思维过程 欲求sin3+cos3的值需先分解因式,出现sin+cos和sincos的形式后,即可代入 和 求出值来.而tan-cot化为正弦、余弦之比后,同样可求出值来.,方法与技巧 由题目的形式得知,很明确要利用根与系数的关系,将所求式表示成sin+cossincos的形式,求tan-cot时,必须化为“弦”,否则用不上已求得的值. 由于sin,cos是方程的根,一般地,很自然的想到根与系数的关系.其实此题直接求出两根更简单.,得分主要步骤 只要求出两根的和与积,分解因式后代入即可.在求sin-cos的步骤中,sin-cos0一定要说明.同样,快解法中,得出sin= ,cos= 也是由(0,)确定的.,易丢分原因 求sin-cos的过程中,若不考虑(0,),将sin-cos变为 是不行的. 求方程的根时,若不考虑(0,),会求得sin= ,cos= ,其结果也是两个值.,