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1、第三章 数列,考纲要求 1理解数列的概念，了解通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项 2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能解决简单的实际问题 3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，并能解决简单的实际问题,考情分析 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右 从各地高考试卷中来看，高考关于数列方面的命题主要有以下两个方面：(1)数列本身的有关知识，考查等差数列与
2、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式(2)数列与其他知识的整合，其中包括数列与函数、方程、不等式、三角函数、几何的整合，这也体现了高考在“知识点的交汇处”命题的理念数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法基本数学方法其中高考的热点探索性问题也出现在今年高考的数列解答题中,第十三讲 数列的概念,回归课本 1.按一定次序排成的一列数叫数列，数列中的每一个数都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是定义域为N*(或它的子集)的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(
3、1)、f(2)、f(n)、.通常用an代替f(n)，故数列的一般形式为：a1，a2，a3，an，简记为an，其中an是数列的第n项 2如果数列an的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式anf(n)来表示，那么anf(n)叫做数列的通项公式但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的,3如已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或后一项an1)间的关系可以用一个公式表示，此公式叫做数列的递推公式数列常用表示法有三：解析法(通项公式或递推公式)、列表法、图象法 4数列按项数来分，分为有穷数列、无穷数列；按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列递增数列a
4、n1an；递减数列an1an；常数列an1an；递增数列与递减数列通称为单调数列 按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分，可分为有界数列和无界数列,答案：C,2已知数列an的前n项的乘积为Tn3n2，nN*，则a100( ) A3198 B3199 C3200 D3201,答案：B,答案：D,4设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.,5(2011济宁)已知数列an满足a16，a28，an1an1an(n2且nN*)，则a2006_. 解析：a16，a28，则a3a2a12，a4a3a2286，a5a4a38，a6a5a42，a7a6a56，a8a7a68，易知an以6为周期，故
5、a2006a33462a28. 答案：8,类型一 观察法求通项公式 解题准备：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： 1符号用(1)n与(1)n1(或(1)n1)来调解，这是因为n和n1奇偶交错 2分式形式的数列，分子找通项、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系 3对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面将复习到)和其它方法来解决 4此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法,分析 本题主要考查数列通项的有关基础知识，考查观察、分析、归纳、综合解决问题的能力,(4)
6、考虑数列an1an a2a12，a3a24，a4a38， anan12n1. 将这n1个式子累加，得 ana1222232n12n2 ana12n212n22n1. 当n1时，此式仍成立，故所求通项公式为an2n1. 注意 第(4)小题的解答易忽视n1时的检验,点评 由已知数列的前几项的值，写数列的通项公式时，要通过观察、对比、转化、归纳、猜想等手段，联想常见的数列通项的特点，探求项与项数的构成规律，同时应考虑：(1)借助(1)n或(1)n1来解决项的符号问题 (2)项为分式的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系 (3)对较复杂的数列通项公式地探求，可借助熟知
7、的数列，如n2， ，2n，n2，(1)n等以及等差数列、等比数列和其他方法来解决,2此类问题常常因为忽略了n2的条件而出错即由anSnSn1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时，Sn1S0，与前n项和定义矛盾可见anSnSn1不一定是数列an的通项公式，只有验证n1时，a1S1适合an时，an才是通项公式 3由Sn求an时，要注意分n1和n2两种情况分类讨论，再检验n1时，a1是否适合“an式”，若适合，则合并为一个式子表示，若不适合，需用分段函数来表示,【典例2】 已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式； (1)Sn2n23n； (2)Sn3nb. 解析 (1)a1
8、S1231， 当n2时，anSnSn1 (2n23n)2(n1)23(n1) 4n5， 由于a1也适合此等式，an4n5.,类型三 递推数列求通项 解题准备：1.已知数列的递推关系式，求数列的通项公式的方法大致分为两类：一类是根据前n项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式用代数技巧整理变形为基本数列，再求通项公式 2累加法、累乘法或构造新数列的方法是解决此类问题最常用的方法,(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2为公比的等比数列所以bnb12n1(a11)2n12n1，所以anbn12n11(nN*) (4)由已知，a
9、n0，在递推关系式两边取对数，有lgan12lganlg3.令bnlgan，则bn12bnlg3.所以bn1lg32(bnlg3)，所以bnlg3是等比数列所以bnlg32n12lg32nlg3.所以bn2nlg3lg3(2n1)lg3lgan.所以an32n1. (5)设an1an(anan1)(n2)，则an1()anan10.,下面我们取其中一组2，3来求an.原已知递推式变为an12an3(an2an1)(n2) 即数列an12an是等比数列，公比为3，首项为a22a13，所以an12an33n13n，所以an12an3n.以下解法同第(3)题略，结果为an3n2n(nN*),点评 (
10、1)数列递推关系形如an1anf(n)，其中f(n)的前有限项可求和此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法(2)数列递推关系形如an1g(n)an，其中g(n)的前n项的乘积简易化简此数列求通项公式一般采用累乘法(3)数列递推关系形如an1cand(c、d为常数)求通项公式常用构造新数列法(4)数列的递推关系形如an1panr(p，r为常数，且p0，an0)，求an时一般采用递推关系式两边取对数的方法(5)数列的递推关系形如xan1yanzan10(x，y，z为常数)，求通项公式时常采用待定系数法,类型四 数列基本性质的应用 解题准备：1.数列的单调性是高考中经常考查的内容，有关数列的最大(小)项、数列的有界性等问题，都可以借助于数列的单调性来研究，必须牢固掌握这类问题的解决方法这些方法主要有 (1)作差法； (2)作商法； (3)利用数列或函数的单调性等方法,快速解题,名师作业练全能,点击进入word,