《20192013届高考数学考点回归总复习《第二十九讲等比数列》课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20192013届高考数学考点回归总复习《第二十九讲等比数列》课件.ppt（50页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二十九讲等比数列,回归课本,1.等比数列的定义及等比中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示. (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系为aman=apaq,如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G= (ab0).,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为an=a1qn-1(a10,q0);其前n项和公式为:,3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新
2、数列仍然是等比数列. (2)若an是等比数列,则an|an|皆为等比数列,公比分别为q和|q|(为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂. (4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列.,(5)若数列an与bn均为等比数列,则manbn与 仍为等比数列,其中m是不为零的常数. (6)当q0,q1时,Sn=k-kqn(k0)是an成等比数列的充要条件,这时,4.等比数列的判定方法 (1)定义法: (q是不为0的常数,nN*)an是等比数列. (2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*)an是等比数列. (3)中项公式
3、法:a2n+1=anan+2(anan+1an+20,nN*)an 是等比数列. (4)前n项和公式法:Sn= qn- =kqn-k(k= 是常数,且q0,q1)an是等比数列.,考点陪练,1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列an( ) A.是等比数列 B.当a1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列,解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当a1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n2),数列从第二项起
4、成等差数列. 答案:D,2.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81 C.128 D.243 解析:an是等比数列, 又a1+a1q=3,a1=1,a7=a1q6=126=64. 答案:A,答案:C,4.(2010辽宁)设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案:B,5.(2010重庆)在等比数列an中,a2010=8a2007,则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:依题意得 =q3=8,q=2,选A. 答案:A,类型一 等比数列的判断与证明 解
5、题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是利用等比数列的定义,即证明 =q(q0,nN*),二是利用等比中项法,即证明a2n+1=anan+20(nN*).在解题中,要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.,【典例1】数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,),求证: (1)数列 是等比数列; (2)Sn+1=4an.,反思感悟(1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确. (2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互
6、为相反数.,类型二 等比数列的基本量运算 解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解.,【典例2】设数列an为等比数列,且a10,它的前n项和为80,且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的通项公式.,将qn=81代入得,a1=q-1. 又a10,q1.数列an是递增数列. 从而,a1qn-1=54, a1qn=54q,81a1=54q. 联立,解得q=3,a1=2. an=a1qn-1=23n-1.,反思感悟因为前n项和与前2
7、n项和已知,这为建立方程提供了条件,由此可求得首项a1与公比q之间的关系,进而确定an. 求解本题时,有两个易错点:一是不判断q1而直接利用公式Sn= ;二是不借助a10导出q1,进而判断数列an的单调性得出最大项为an,而是想当然地认为an为最大项.,类型三 等比数列性质的应用 解题准备:1.等比数列的单调性 (1)若a10,q1或a10,01,则数列an是递减数列. (3)若q=1,则数列an是常数列. (4)若q0,则数列an是摆动数列且各项的正负号间隔.,2.等比数列的简单性质 已知等比数列an的前n项和为Sn. (1)数列can(c0),|an|,anbn(bn也是等比数列),a2n
8、, 等也是等比数列. (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列. (3)若m+n=p+q,则aman=apaq, 特别地,若m+n=2p,则aman=a2p.,(4)a1an=a2an-1=aman-m+1. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m.仍是等比数列(此时an的公比q-1). (6)当n是偶数时,S偶=S奇q. 当n是奇数时,S奇=a1+S偶q.,【典例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和. 解解法一:利用等比数列的性质. 由已知a1+a2+an=2, an+1+an+2+a2n+a2n+1+a2n+2+a3n=12.
9、 注意到(a1+a2+an),(an+1+an+2+a2n),(a2n+1+a2n+2+a3n),(a3n+1+a3n+2+a4n),也成等比数列,其公比为qn,于是,问题转化为已知:,A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值. 由A1=2,A1qn+A1q2n=12, 得q2n+qn-6=0,则qn=2,或qn=-3. 故A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2q3n7=14q3n,解法二:利用求和公式. 如果公比q=1,则由于a1+a2+an=2,可知an+1+a3n=4,与已知不符, q1.由求和公式,得 又 式除以
10、式得qn(1+qn)=6, q2n+qn=6.解得qn=2,或qn=-3.,反思感悟由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确定q1,否则不可断定用q1时的公式.,类型四 等比数列前n项和及其性质 解题准备:1.等比数列的前n项和公式:,2.等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1,q,an,n,Sn.使用公式时,必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q可能等于1,则需分
11、q=1和q1两种情况进行讨论.,【典例4】设正项等比数列an的首项a1= 前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0. (1)求an的通项; (2)求nSn的前n项和Tn.,分析(1)利用S2n-SnS3n-S2n的关系化简210S30-(210+1)S20+S10=0. (2)利用错位相减法求和. 解(1)由210S30-(210+1)S20+S10=0得 210(S30-S20)=S20-S10, 即210(a21+a22+a30)=a11+a12+a20, 可得210q10(a11+a12+a20)=a11+a12+a20.,因为an0,所以210q10=1, 解得
12、q= ,因而an=a1qn-1= (nN*).,错源一 对公比q的范围、取值考虑不周全 【典例1】已知三角形的三边构成公比为q的等比数列,则q的取值范围( ),错解设三角形的三边分别为a,aq,aq2,且a0,q0.由三角形的两边之和大于第三边,得a+aqaq2,即 1+qq2,解得00,当q1时数列是递增的,aq2是最大边;而当0q1时,数列是递减的,此时a是最大边.,答案D,错源二 题意理解不透、忽视隐含条件 【典例2】一个数列an,当n为奇数时,an=5n+1,当n为偶数时,an= ,则这个数列的前2m项和为_.,错解当n为奇数时,由an+1-an=5(n+1)+1-(5n+1)=5,知
13、an是以a1=6,d=5的等差数列.,剖析将原数列分成奇数项和偶数项两个数列来处理的思路是正确的,但分析是由a1,a3,a5,构成等差数列,由a2,a4,a6,构成等比数列,并不是相邻的两项.,正解当n为奇数时,由an+2-an=5(n+2)+1-(5n+1)=10,知an是以a1=6,d=10的等差数列. 当n为偶数时,由 =2,知an是以a1=2,q=2的等比数列. 所以S2m=6m+ =5m2+m+2m+1-2. 答案5m2+m+2m+1-2,技法一 巧用公式 【典例1】设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为_. 解析由题设知,Sn-Sn+1=Sn+2-Sn, 即-an+1=an+1+an+2, 故2an+1+an+2=0,即 答案-2,技法二 巧用等比数列中部分项的性质 “若数列an是公比为q的等比数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成首项为ak,公比为qm的等比数列.”,【典例2】若等比数列an中,公比q=2,且a1+a2+a99=30,则a3+a6+a9+a99=_.,