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1、连续介质力学 地震科学系：盛书中 E-mail: ,各章节内容提要 例题详解,复 习,弹性力学，外力，体力，面力，线应变，切应变，位移，连续性，完全弹性，均匀性，各项同性，理想弹性体，平面应力问题，平面应变问题，主应力，应力主面，应力主向，圣维南原理及其内含，逆解法，半逆解法，主要边界，次要边界，轴对称，完全接触，光滑接触，摩擦接触，局部脱离，孔口应力集中，差分法，泛函，变分法，位移变分/虚位移，体应变，体积力，挠度,剪切强度，脆性破裂的最大剪切应力理论（库伦霍普金斯理论），安德逊理论。,1、弹性力学的内容弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2
2、、弹性力学中的几个基本物理量： 体力分布在物体体积内的力、记号为 、 、 ，量纲为L-2MT-2，以坐标 正向为正。,第一章 内容提要,第一章 内容提要,面力 分布在物体表面上的力，记号为 。量纲为L-1MT-2 ，以坐 标正向为正。,应力 单位截面面积上的内力，记号 ，量纲为L-1MT-2，以正 面正向为正，负面负向为正；反之 为负。,第一章 内容提要,解法：在弹性体区域V 内， 根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。 在弹性体边界s上， 根据面力条件，建立应力边界条件， 根据约束条件，建立位
3、移边界条件。 然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。,第一章 内容提要,1、平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是： 平面应力问题， （1） 只有平面应力 存在； （2）应力和应变均只是x,y的函数。,第二章 内容提要,平面应变问题， （1） 只有平面应变 存在； （2） 应力、应变和位移只是x,y的函数。,平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板，而平面应变问题对应的弹性体通常为常截面长柱体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全相同，只有物理方程的系数不同。,如果将平面应力问题的物理方程作 的变换，便可得到平面应变问题的物理方
4、程。,2、平面问题的基本方程和边界条件（平面 应力问题） 平面问题中共有八个未知函数，即 。它们必须满足区域内的基本方程： （1）平衡微分方程,（2）几何方程 （3）物理方程,和边界条件： （1）应力边界条件 （2）位移边界条件,（在 上）,3、按位移求解平面问题（平面应力问题） 位移分量u和v必须满足下列全部条件： （1）用位移表示的平衡微分方程,（2）用位移表示的应力边界条件,（在 上）,（3）位移边界条件,4、按应力求解平面问题（平面应力问题）， 应力分量 必须满足下列全部条件： （1）平衡微分方程,（2）相容方程,（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条 件， ）,（在 上）,（4）若
5、为多连体，还须满足位移单值条件。,5、在常体力情况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数 求解。 必须满足下列全部条件： （1）相容方程 （2）应力边界条件（假设全部为应力边界 条件， ）。,（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 求出应力函数 后，可以按下式求出应力分量，,（在 上）,求主应力及其方向的公式（p14：2-6、b） 最大剪切应力公式 相容方程公式 （2-23） 由应力函数求应力（2-24） 几何方程（2-8） 物理方程（2-12、2-16、2-17） 边界条件（2-15） &2-8节实例要求重点掌握,按应力函数 求解时， 必须满足： (1) 区域A内的相容方程，（2） 上的应
6、力边界条件（假设全部为应力边界条件）（3）多连体的位移单值条件。 在半逆解法中寻找应力函数 时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式 （1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力情况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。,第三章 内容提要,3. 在校核应力边界条件时，必须注意以 下几点（见（四）。,4. 学习本章的重点，是掌握弹性力学问 题按应力求解的方法。要求读者在掌 握这些基本理论之后，能阅读和理解 弹性力学文献，并将已有的解答应用 到工程实践中去。,5. 对于工程实际问题，由于边界形状和受 力、约束条件较为复杂，难以得出微分方 程的函数式解答。因此，并不要求读者去求解新的解答，只
7、要求能掌握基本理论，并能应用弹性力学近似解法（见后面几章）去解决工程实际问题。,1.极坐标中的基本方程和边界条件,（1）平衡微分方程,第四章 内容提要,（2）几何方程,（3）物理方程（平面应力问题）,当物体的边界面为 面或 面时，位移或应力边界条件都非常简单。,2.从直角坐标系到极坐标系的物理量的变换 式,变量转换： 函数转换： 矢量转换：,导数转换：一阶导数（二阶和高阶导 数可以类推）：,拉普拉斯算子,应力转换：,3.极坐标中按应力函数 求解， 应满足：,（1）区域内的相容方程,（2）边界上的应力边界条件（假设全部为 应力边界条件）。,（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 当不记体力时，
8、应力分量的表达式为,记 参考习题4-8复习,4.轴对称应力和相应的位移,应力函数：,应力：,位移（平面应力问题）：,1.导数的差分公式 抛物线差分公式, 线性向前差分公式, 线性向后差分公式,第五章 内容提要,&5-3节内容重点掌握！,边界条件,2.应力函数 的差分解法 相容方程,应力公式,3.变分法是研究泛函及其极值的求解方法。 弹性力学中的位移变分法，是取位 移函数为宗量，由总势能处于极小值的 条件来导出变分方程，然后进行求解的。 以下列出平面应力问题的有关变分公式 及方程。,4.弹性体的功和能 总势能 外力功 外力势能 形变(内力)势能,5.在虚位移上弹性体的功和能 虚位移(位移变分)
9、,是在约束条件允许下，在平衡状态附近的微小位移增量。 虚位移状态 其中u，v为实际平衡状态下的位移。,当虚位移发生时， 外力的虚功 外力势能的变分 形变势能的变分,6.变分方程 在封闭系统中，假定没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中，形变势能的增加应等于外力势能的减少，即 上式也可以改用下列各形式表示和解释。 位移变分方程,虚功方程 最小势能原理 其中 。或者表示为，,位移变分方程的又一形式,7.位移变分法 瑞利里茨法：设定位移试函数， 预先满足 上的约束边界条件，再满足瑞利里茨变分方程，,伽辽金法：设定位移势函数预先满足 上的约束边界条件和 上的应力边界条
10、 件，再满足伽辽金变分方程，,1. 直角坐标系(x,y,z)中的一般空间问题，其基本方程及边界条件具有对等性，可将下标、导数和物理量等按（ x,y,z ）轮换的方式得出其余表达式。,平衡微分方程，,几何方程，,第七章 内容提要,物理方程：（1）应变用应力表示，,（2）应力用应变表示，,。,应力边界条件，,（在 上 ）,位移边界条件，,。,（在 上 ）,2. 一点的应力状态,斜面应力，,3. 柱坐标系（ ）中的空间轴对称问题（ 不具有对称性）,平衡微分方程，,几何方程,物理方程：（1）应变用应力表示，,（2）应变用应力表示，,例：表示出下图中正的面力和体力,第二节 弹性力学中的几个基本概念,（5
11、）位移变分方程的又一形式 式(l) 中 可化为,位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件！,应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。,在 上，虚位移 ， 对 其余几项进行同样的转换，并代入式( ) ,可得又一形式的位移变分方程：,例如，对第一项计算，,(s),因 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须,（在A中）(v),（在 上）(w),由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。,例题2 用差分法计算图中A和B点的应力分量。,F,a,B,x,y,3
12、,a,a,a,A,.,7,1,（Z向厚度 ）,F,6,5,2,4,2,3,4,解：为反映对称性，取A为基点。令 边界点的应力函数值： 边界点的导数值： 由上式及 求出边界外一行虚结点的 值：,对1点列差分方程： 代入各 值，解出 。 再求出应力分量：,例题4 试证明，在同样的应变分量 ， 和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。,例题,对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为,解：平面应力情况下，单位厚度的形变 势能是：,例题,(a),代入，得 显然，方括号内 将式中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，,例题,(c),从式可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第一、二、三项均大于平面应力情况下的值，而第四项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U 。,例题,