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1、第六章 弯曲变形,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的微分方程,6-3 用积分法求弯曲变形,6-4 用叠加法求弯曲变形,6-5 简单超静定梁,6-6 提高梁刚度的措施,目录,目录,目录,6-1 工程中的弯曲变形问题,目录,目录,目录,目录,6-2 挠曲线的微分方程,一.基本概念,1、挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,4、挠度转角关系为：,2、挠度：截面形心在y方向的位移, 向上为正,3、转角：截面绕中性轴转过的角度。,逆时针为正,6-2,目录,二、挠曲线的近似微分方程,力学公式,数学公式,以上两式消去 ，得：,目录,小挠度情形下：,弯曲变形/挠曲线的近似微分方
2、程,目录,y,符号规定：,因此,（挠曲线的近似微分方程）,弯曲变形/挠曲线的近似微分方程,目录,由挠曲线的近似微分方程,积分一次：,（转角方程）,积分二次：,（挠度方程）,式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,悬臂梁：,A,B,梁的边界条件,简支梁：,目录,梁的连续条件：,目录,例如：写出下图的边界条件、连续性条件：,讨论：挠曲线分段处,（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；,（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；,（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；,目录,（4）凡分段点处应列出连续条
3、件，根据梁的变形的连 续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转 角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯 一的。,目录,例6-1悬臂梁受力如图所示。求 和 。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的弯矩方程,2、,积分一次：,积分二次：,（1）,（2）,目录,3、确定常数C、D.,由边界条件：,代入（1）得：,代入（2）得：,代入（1）（2）得：,目录,（与C比较知： ）,（与D比较知： ）,常数C表示起始截面的转角刚度(EI),因此,常数D表示起始截面的挠度刚度(EI),目录,例6-2 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,解：,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,BC段,AC段,
4、B,目录,BC段,AC段,3、确定常数,由边界条件：,（1）,（2）,由光滑连续条件：,（3）,（4）,可解得：,目录,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC段,AC段,4、求转角,代入得：,代入得：,目录,5、求 。,求得 的位置值x。,则由,解得：,目录,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,目录,一、叠加法前提,小变形,力与位移之间的线性关系,挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系,轴向位移忽略不计。,6-4 用叠加法求弯曲变形,目录,叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的
5、挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。,例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B,第一类叠加法, 应用于多个载荷作用的情形,目录,目录,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,目录,目录,例6-5 怎样用叠加法确定C和yC ?,目录,目录,目录,目录,第二类叠加法逐段分析法,将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形 在需求位移处引起的位移（挠度和转角），然后计算 其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分 析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研 究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。,例6-6 ：,怎样用叠加法确定yC ?,目录,例6-6 ：
6、,F,+,1）考虑AB段(BC段看作刚体),F作用在支座上，不产生变形。,Fa使AB梁产生向上凸的变形。,查表得：,则,怎样用叠加法确定wC ?,目录,2）考虑BC段(AB段看作刚体),所以,目录,刚度条件：,y许用挠度，许用转角,工程中， y常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,目录,静不定梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目， 仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或 静不定问题）。,静不定次数=未知力的数目-独立平衡方程数,4个约束反力，,3个平衡方程，,静不定次数=1,6-5 简
7、单超静定梁,目录,用力法求解静不定问题的步骤：,1、确定静不定次数。,2、选择基本静定梁。,静定梁(基本静定基) 将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。,多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。,多余约束的数目=超静定次数,多余约束的数目=1,目录,静定梁(基本静定基)选取,(2)解除A端阻止转动的支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。,A,(1)解除B支座的约束,以 代替，即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,目录,(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。
8、一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。,基本静定基选取可遵循的原则：,(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；,目录,A,3、列出变形协调条件。,比较原静不定梁和静定基在解除约 束处的变形，根据基本静定梁的一 切情况要与原超静定梁完全相同的 要求，得到变形协调条件。,目录,本例： (1),4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。,仅有q作用，B点挠度为：,仅有 作用，B点挠度为：,因此,解得:,目录,5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,本例： (1),目录,因此,6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,目
9、录,解,例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,4）由物理关系，列出补充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,目录,例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,目录,代入得补充方程：,确定A 端约束力,目录,确定C 端约束力,目录,A、B 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,目录,梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：,材料梁的变形与弹性模量E成反比；,截面梁的变形与截面的惯性矩 成反比；,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比,6-6 提高梁刚度的措施,目录,1）选择合理的截面形状,目录,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,目录,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,目录,3）采用超静定结构,目录,3）采用超静定结构,目录,