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1、什么是格波的色散关系?,格波的 (频率)与 q(波矢) 之间的关系,什么是布里渊区?,对于格波来说, aq 相差 2整数倍就原子的振动来看是相同的波, 可以将 aq 限制在一定范围之内,q 的取值范围 称为布里渊区,q = 9/2a 的波与 q =/2a 的格波等价吗?,等价, aq 相差 2整数倍的格波就原子的振动来看是相同的波,q 在布里渊区是怎样分布的?,按照玻恩卡曼边界条件(即周期性边界条件), q 在布里渊区均匀分布,h 为N/2 到 N/2 的整数, 共 N 个,什么是长波极限?,格波的波数满足 q a,此时 正比于 q，类似于连续介质波的情况,2. 简正坐标,上述根据牛顿定理用直
2、接求解运动方程的方法, 求链的振动模, 与根据分析力学原理, 引入简正坐标是等效的。这里讨论二者之间的关系,前面得到的本征解,表示第 q 个格波引起第 n 个原子的位移,原子的总位移为所有格波的叠加,变换一下形式,因此 Q(q) 就是简正坐标, 它表示了格波的振幅, 而线性变换（因为是复数解的形式, 线性变换为么正变换）系数为,Q(q) 是否确实是简正坐标，需要证明经过变换后，动能和势能都具有平方和的形式,证明需要利用两个关系式,第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到,写成,取复共轭,n 是实数,可知,第二个关系式实际上是线性变换系数的正交条件,q = q时, 式子两边都等于 1, 显然是
3、正确的,q q 时, 令 qq = s, 注意到 , h 为整数,利用这二个关系式化简系统动能和势能的表达式,动能,势能,因此 Q(q) 确实是系统复数形式的简正坐标,a(q) 和 b(q) 分别表示其实部和虚部,也可以写出实数形式的简正坐标，令,代回到动能和势能的表达式中得,可见 a(q)，b(q) 即为实数形式的简正坐标,3. 声子 (phonon),一旦找出简正坐标, 直接可以过渡到量子理论。每个简正坐标, 对应一个谐振子方程, 波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数, 能量本征值为,由 N 个原子组成的一维单原子链 其振动模为 N 个格波, 在简谐近似下格波是相互独立的 格波的振幅对应
4、着系统的简正坐标 按量子理论每种简正振动的能级是量子化的，能量激发的单元是 q,以上的结论，可以用声子的“语言”来表述,声子是指格波的量子, 它的能量等于 q,当这种振动模处于 本征态时, 称有 nq 个声子, nq 为声子数,一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子,当电子(或光子)与晶格振动相互作用, 交换能量以 q 为单元, 若电子从晶格获得 q 能量, 称为吸收一个声子, 若电子给晶格 q 能量, 称为发射一个声子,利用声子的“语言”来描述晶格振动不仅可以使表述简化, 而且有深刻的理论意义,声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元,多体系统集体运动的
5、激发单元，常称为元激发,在固体中有很多种类型的元激发, 处理这些元激发的理论方法是相类似的, 声子是一种典型的元激发,色散关系 格波、布里渊区 玻恩卡曼（周期性）边界条件 长波极限 简正坐标与格波振幅 声子, 格波的量子,3-2 一维单原子链 小 结,3-3 一维双原子链 声学波和光学波,一维双原子链可以看作最简单的复式晶格： 每个原胞含 2 个不同的原子 P 和 Q,平衡时相邻原子间的距离 a, P、Q 的质量分别用 m 和 M 表示,1. 运动方程及格波解,m,M,原子限制在沿链的方向运动, 偏离格点的位移用 , 2n,2n+1, 表示, 仍假设只有相邻原子间存在相互作用, 互作用能取简谐
6、近似,P 原子Q原子,这是两个典型的运动方程。 当原子链包含 N 个原胞 (即有 N 个 P 原子和 N 个 Q 原子),它实际代表 2N 个方程的联立方程组,类比一维单原子链的情况, 可以得到原子的运动方程,这个方程组有下列形式的格波解,代入到运动方程得到,方程与 n 无关, 表明所有联立方程对于格波形式的解都归结为同一对方程,可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程,它的有解条件是,可以看成是决定 2 的方程, 从而得到两个 2 值,带回到方程组，可求出相应的 A 和 B 的解,由格波解可知相邻原胞之间(原胞大小为 2a )的位相差为 2aq, 所谓相邻原胞之间的位相差应理解为相邻原胞
7、 P 原子( Q 原子) 之间的位相差,范围内,这个范围就是一维双原子链的布里渊区,同样, 如果把 2aq 改变 2 的整数倍, 所有原子的振动实际上完全没有任何不同, 这表明 q 的取值只需限制在,和一般波的解一样, 格波解可以有任意的振幅和位相, 但是两种原子振动的振幅比和位相差是确定的,这个范围内任意 q 有两个格波解, 它们的频率为 和 ,仍采用周期性边界条件,即,由于 q 的取值范围是由 /2a 到 /2a , 所以上面的 h 只能取由N/2 到 N/2, 一共有 N 个不同取值,所以， 由 N 个原胞组成的一维双原子链 q 可以取 N 个不同的值， 每个 q 对应两个解， 加起来共
8、有 2N 个不同的格波， 数目正好等于链的自由度, 这表明已得到链的全部振动模,2. 声学波和光学波,属于 的格波称为光学波,属于 的格波称为光学波,q0 的长波在许多实际问题中具有特别重要的作用 光学波和声学波的命名也主要是由于它们在长波极限的性质,先讨论声学波 在长波极限的情形, 当 q0时, 0. 当 q 很小时,将根式对 q 展开,或,表明对于声学波频率正比于波数, 长声学波就是把一维链看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么称 支为声学波的原因,对于长声学波, 当 q0 时, 0. 当 q 很小时, 因此,表明在长声学波时，原胞中两种原子的运动是完全一致的，振幅和位相都没有差别,得到
9、,对于长光学波, 当 q0时, 频率趋于下列有限值,当 q0时, 同一种原子具有相同的位相, 所以每一种原子( P 原子和 Q 原子)形成的格子象一个刚体一样整体地振动 对于光学波, 两种原子振动有完全相反的位相, 长光学波的极限实际上是 P 和 Q 两个格子的相对振动, 振动中保持他们的质心不变,光学波的长波极限,横声学波示意图,横光学波示意图,具体分析证明对于单声子过程的一级谱，电磁波只和波数相同的格波相互作用，如果它们具有相同的频率就可以发生共振,离子晶体中的长光学波有特别重要的作用,因为，不同离子间的相对振动产生一定的电偶极矩, 从而可以和电磁波相互作用,与光波共振的将是 q0 的长光
10、学波, 实际晶体的长光学波频率在 的范围, 对应于远红外的光波,离子晶体中的光学波的共振能够对远红外光在+ 附近的强烈吸收, 是远红外光谱中一个重要的效应,正是由于长光学波的这种特点, + 的格波支被称为光学波,交点对应于共振,色散关系分为两支, 一个 q 对应两个 ,周期性边界条件下 N 个 q 在布里渊区均匀分布,一维双原子链的布里渊区,根据长波极限的行为, 两支格波分别称声学波和光学波,3-3 一维双原子链 小结,考虑一个全同原子组成的平面方格子, 设原子质量为 M, 晶格常数为 a, 最近邻原子间相互作用的力常数为 c, 假定原子垂直于格子平面作振动, （1）导出格波色散关系 （2）说明长波极限下色散关系与弹性波在连续介质中传播的色散关系相同, 并求出声速。,解：（1）格子中第 (i，j) 个原子有四个最近邻 (i1，j)、 (i+1，j)、 (i，j1)、 (i，j+1), 以 uij 表示它的横向位移, 它所受到的力为:,例,运动方程为,令格波解,得到,因此色散关系为,(2)在长波极限下 (qa1) 将余弦函数展开到二阶得到,即,声速为,与弹性波在连续介质中传播的色散关系相同,