《2018版高中数学第一章三角函数章末分层突破学案新人教A版必修4201707241100.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第一章三角函数章末分层突破学案新人教A版必修4201707241100.doc（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章 三角函数180|RlR相等1周期性奇偶性单调性定义域值域 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.函数ylg(2sin x1)的定义域为_.【精彩点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.【规范解答】要使函数有意义，必须有即解得(kZ)2kx2k(kZ).故所求函数的定义域为.【答案】再练一题1.求函数f(x)的定义域. 【导学号：00680030】【解】要使函数f(x)有意义，则即如图所示，结合三角函数线知2k
2、x2k(kZ).故f(x)的定义域为(kZ).三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.求函数f(x)cos2xsin x1的最小值.【精彩点拨】本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x的二次函数，然后再求最小值.【规范解答】f(x)cos2xsin x11sin2xsin x1sin2xsin x22，又x，所以sin x.故当sin x时，f(x)取最小值.再练一题2.求函数y
3、cos2xsin x，x的值域.【解】ysin2xsin x1，令tsin x.x，t.原函数可化为yt2t12，当t时，有ymax；当t时，有ymin.故原函数值域为.三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.如图11是函数yAsin(x)k的一段图象.图11(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过ysin x变换得来的？【精彩点拨】(1)先确定A，k，再根据周期求，最后确定.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.【规范解答】
4、(1)由图象知A，k1，T2，2，ysin(2x)1.当x时，2，所求函数解析式为ysin1.(2)把ysin x向左平移个单位得到ysin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到ysin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到ysin，最后把函数ysin的图象向下平移1个单位，得到ysin1的图象.再练一题3.已知函数ycos x|cos x|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出这个函数的单调增区间.【解】(1)ycos x|cos x|函数图象如图所示.(2)该函数是周期函数，且由图象可知函数的最小正周期是2.(3)由图象可知函数
5、的单调增区间为(kZ).三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握ysin x，ycos x，ytan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数yAsin(x)，yAcos(x)及yAtan(x)的相关性质.在研究其相关性质时，将x看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.已知函数f(x)2sina1(其中a为常数).(1)求f(x)的单调区间；(2)若x时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求f(x)取最大值时x的取值集合.【精彩点拨】(1)将2x看成一个整体，利用ysin x的单调区间求解.(2)先求x时2x的范围，再根据最值求a的值.(3)先求f(x
6、)取最大值时2x的值，再求x的值.【规范解答】(1)由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调增区间为(kZ)，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调减区间为(kZ).(2)0x，2x，sin1，f(x)的最大值为2a14，a1.(3)当f(x)取最大值时，2x2k，2x2k，xk，kZ，当f(x)取最大值时，x的取值集合是 .再练一题4.已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解】(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xc
7、os 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取得最大值1；当2x，即x时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何
8、背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影.函数y的最小值为_，最大值为_.【精彩点拨】根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题.【规范解答】如图所示，y可看做定点A(3,2)与动点B(cos x，sin x)连线的斜率，而动点(cos x，sin x)是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题.根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，解得ymin，ymax.【答案】再练一题5.求函数y的值域.【解】将y看成是单位圆上的点(cos x，sin x)到点(2，1)的斜率，即求斜率的范围.如图所示，由解析几何知识可求得
9、过点(2，1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k，即y.转化与化归的思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数yAsin(x)化归为简单的ysin x来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.求函数ysin的单调区间.【精彩点拨】求三角函数yAsin(x)的单调区间，需先保证x的系数为正值，如果0，那么应先进行转化，将x的系数化为正数，再求解.【规范解答】将原函数化为ysin.由2kx2k(kZ)，得3kx3k(kZ)，此时函数单调递减；由2kx2k(kZ)，得3kx3k(kZ)，此时函
10、数单调递增.故原函数的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ).再练一题6.求函数y2sin的单调递增区间.【解】y2sin2sin.令zx，则y2sin z.z是x的一次函数，要取y2sin z的递增区间，即取sin z的递减区间，即2kz2k(kZ)，2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)，函数y2sin的递增区间为(kZ).1.将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()A.y2sinB.y2sinC.y2sin D.y2sin【解析】函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.【答案
11、】D2.函数yAsin(x)的部分图象如图12所示，则()图12A.y2sinB.y2sinC.y2sinD.y2sin【解析】由图象知，故T，因此2.又图象的一个最高点坐标为，所以A2，且22k(kZ)，故2k(kZ)，结合选项可知y2sin.故选A.【答案】A3.函数f(x)cos(x)的部分图象如图13所示，则f(x)的单调递减区间为()图13A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ【解析】由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.【答案】D4.设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)si
12、n x.当0x时，f(x)0，则f()A.B.C.0 D.【解析】f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x).f(x)是以2为周期的周期函数.又fff.ffsin，ff.当0x0，在函数y2sin x与y2cos x的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_. 【解析】由得sin xcos x，tan x1，xk(kZ).0，x(kZ).设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，则|x2x1|.又结合图形知|y2y1|2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，2(2)212，.【答案】11