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1、第二章 平面向量 自我校对 加法 减法 实数与向量的积 向量的数量积 垂直 平行 长度 夹角 平行 垂直 合成与分解 1 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注 意大小、方向两个方面. 3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关 键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题. 4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等. 如图 21，在ABC 中，点 M 是 AB 边的中点，E 是中线 CM 的中
2、点，AE 的延长线交 BC 于 F.MHAF 交 BC 于 H.求证：HFBHFC. 图 21 【精彩点拨】 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF，BH与FC即可证得. 【规范解答】 设BMa a，MHb b，则BHa ab b， HFHBBAAFBH2BM2MH a ab b2a a2b ba ab b， 1 FCFEEC HMME 2 1 MHMAAE 2 1 b bBMAFEF 2 1 1 b ba a2MH MH 2 2 1 1 b ba a2b b b ba ab b. 2 2 综上，得HFBHFC. 再练一题 2 1 1.如图 22，平行四边形 ABCD 中，点 M 在
3、 AB 的延长线上，且 BM AB，点 N 在 BC 上，且 BN 2 1 BC，求证：M，N，D 三点共线. 【导学号：00680063】 3 图 22 【证明】 设ABe e1 1，ADe e2 2， 则BCADe e2 2. 1 1 1 BN e e2 2，BM AB e e1 1， 3 2 2 1 1 1 MNBNBM e e2 2 e e1 1. 3 2 2 3 3 又MDADAMe e2 2 e e1 1 2 2 1 1 1 3( 3 ， e e2 2 e e1 1) MN 3 2 2 向量MN与MD共线， 又 M 是公共点， 故 M，N，D 三点共线. 平面向量的数量积 平面向量
4、的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根 据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与 任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查 向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度. 非零向量 a a，b b 满足(a ab b)(2a ab b)，(a a2b b)(2a ab b)，求 a a，b b 的夹角的余弦 值. 【精彩点拨】 由a ab b 2a ab b，a a2b b 2a ab b列出方程组 求出|a a|2，|b b|2，a ab b的关系利用夹角公
5、式可求 【规范解答】 由Error! 解得Error!所以|a a|b b| 10a ab b， a ab b 10 所以 cos . |a a|b b| 10 3 再练一题 2.如图 23 所示，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP3，则APAC _. 图 23 【解析】 APACAP(ABBC) APABAPBC APABAP(BDDC) APBD2APAB. APBD，APBD0. APAB|AP|AB|cosBAP|AP|2， APAC2|AP|22918. 【答案】 18 向量的坐标运算 1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算
6、完全化 为代数运算，实现数与形的统一. 2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨 论、数形结合等思想方法的具体体现. 3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问 题. 已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4). (1)求证：ABAD； (2)若四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值. 【精彩点拨】 (1)证明ABAD0. (2)利用ABDC求点 C 的坐标，利用坐标形式的夹角公式求两对角线所夹锐角的余弦值. 【自主解答】 (1)证明：A(2,1)，B(3,2
7、)，D(1,4)， AB(1,1)，AD(3,3). 4 ABAD1(3)130， ABAD，即 ABAD. (2)ABAD，四边形 ABCD 为矩形，ABDC.设 C 点坐标为(x，y)， 则DC(x1，y4)， Error!解得Error! 点 C 坐标为(0,5). 从而AC(2,4)，BD(4,2)，且|AC|2 5，|BD|2 5，ACBD8816，设AC与 ACBD 16 4 BD的夹角为 ，则 cos ， 20 5 |AC|BD| 4 矩形 ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为 . 5 再练一题 3.设 a a(1,2)，b b(2，3)，又 c c2a ab b，d da
8、amb b，若 c c 与 d d 的夹角为 45，求 实数 m 的值. 【解】 a a(1,2)，b b(2，3)， c c2a ab b2(1,2)(2，3)(0,1)， d da amb b(1,2)m(2，3)(12m,23m)， c cd d0(12m)1(23m)23m. 又|c c|1， |d d| 12m223m2， c cd d cos 45 |c c|d d| 23m 2 ， 12m223m2 2 3 化简得 5m28m30，解得 m1 或 m . 5 平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运 算和线段平行之间、数量积
9、运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以 解决平面几何中的相关问题. 2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程. 5 3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题. 如图 24 所示，P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，四边形 PECF 是矩形，求证： 图 24 (1)PAEF； (2)PAEF. 【精彩点拨】 可分别以 BC，BA 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系后，用坐标法 来证明. 【规范解答】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 1，|BP|， 2 2 2 2 则 A(0,1)，P( )，
10、E(1， )，F( ，0)， ， 2 2 2 2 2 2 ，1 ， PA ( ) 2 2 2 2 1， EF ). ( 2 2 2 2 因为|PA|2( ) 2(1 ) 22 21， 2 2 2 2 |EF|2( 1)2( ) 22 21， 2 2 所以|PA|2|EF|2，故 PAEF. (2)因为PAEF 2 2 ( )( 1)(1 2 2 2 )( 2 2 ) 2 0， 所以PAEF，故 PAEF. 再练一题 4.已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4). (1)求证：ABAD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD 的两对角线所夹的锐角的
11、余 6 弦值. 【解】 (1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)， AB(1,1)，AD(3,3)， ABAD1(3)130， ABAD，即 ABAD. (2)四边形 ABCD 为矩形， ABAD，ABDC. 设 C 点的坐标为(x，y)， 则AB(1,1)，DC(x1，y4)， Error!解得Error!C 点的坐标为(0,5). 从而AC(2,4)，BD(4,2)， |AC| 2 5， |BD| 2 5， ACBD 8 8 16.设 AC与 BD的 夹 角 为 ， 则 cos ACBD 16 4 4 ，矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 . 20 5 5 |AC
12、|BD| 数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合 思想.向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起.运用数形 结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题. 如图 25 所示，以ABC 的两边 AB，AC 为边向外作正方形 ABGF，ACDE，M 为 BC 的中点，求证：AMEF. 图 25 【精彩点拨】 要证 AMEF，只需证明AMEF0.先将AM用AB，AC表示，将EF用AE，AF表 示，然后通过向量运算得出AMEF0. 【规范解答】 因为 M 是 BC 的中点， 7 1
13、所以AM (ABAC)，又EFAFAE， 2 1 所以AMEF (ABAC)(AFAE) 2 1 (ABAFACAFABAEACAE) 2 1 (0ACAFABAE0) 2 1 (ACAFABAE) 2 1 |AC|AB|cos(90BAC) 2 |AB|AC|cos(90BAC)0， 所以AMEF，即 AMEF. 再练一题 5.如图 26，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一 点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为 _. 图 26 2 【解析】 设 A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧P
14、A长为 2，ABP 2. 1 设 P(x，y)，则 x21cos(2 2)2sin 2，y11sin(2 2)1cos 2， OP的坐标为(2sin 2,1cos 2). 【答案】 (2sin 2,1cos 2) 8 1 3 3 1 1.已知向量BA ， ， ， ，则ABC( ) ( 2) BC ( 2) 2 2 A.30 B.45 C.60 D.120 1 3 3 1 3 3 3 【解析】 因为BA ， ， ， ，所以 BC .又因为BABC| ( 2) BC ( 2) BA 2 2 4 4 2 3 BA|BC|cosABC11cosABC，所以 cosABC .又 0ABC180，所以AB
15、C 2 30.故选 A. 【答案】 A 2.已知向量 a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，则 m( ) A.8 B.6 C.6 D.8 【解析】 法一：因为 a a(1，m)，b b(3，2)，所以 a ab b(4，m2). 因为(a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，所以 122(m2)0，解得 m8. 法二：因为(a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，即 ababb b232m32(2)2162m 0，解得 m8. 【答案】 D 1 3.已知非零向量 m m，n n 满足 4|m m|3|n n|，cosm m，n n ，若 n n(tm mn n)，则实数 t 的值 3 为( ) A.4 B.4 9 9 C. D. 4 4 【解析】 n n(tm mn n)，n n(tm mn n)0，即 tm mn n|n n|20， t|m m|n n|cosm m，n n|n n|20. 3 1 又 4|m m|3|n n|，t |n n|2 |n n|20， 4 3 解得 t4.故选 B. 【答案】 B 9