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1、误差理论与测量平差基础,测绘工程学院 鲍建宽,第十章 误差椭圆,10-1 概述 10-2 点位误差 10-3 误差曲线 10-4 误差椭圆 10-5 相对误差椭圆 10-6 点位落入误差椭圆内的概率 10-7 综合练习题,10.1 概述,控制点平面位置是用一对平面直角坐标来确定的。坐标是由观测值的平差值计算所得，因此不可避免地带有误差。在图中，A 为已知点，假设它的坐标是不带有误差的数值，P为待定点的真位置，P为由观测值通过平差所求得的最或然点位，在待定点P的这对坐标之间存在着误差，由图知,由于 的存在而产生的距离 称为点P的点位真误差，简称为真位差。由图知,对上式两边了取数学期望，得,据方差
2、的定义，上式即为,即为P点的点位方差,如果再将P点的真位差 投影于AP方向和垂直AP的方向上，则得 此时有 依方差定义可以写出 式中 称纵向误差， 称横向误差，通过纵横向误差求定点位置，这在测量工作中也,是一种常用的方法。,上述的 和 分别为P点在纵横坐标 方向上的中误差，或称为 方向上的位差，同样， 和 是P点在AP边的纵向和横向上的位差。,可见，点位方差总是等于两个相互垂直的方向上方差分量之和。为了衡量待定点的精度，一般是求出其点的中误差 。为此，可求出它在两相互垂直方向上的中误差。例如， 和 或 和 就可以计算点位中误差。,从以上的讨论中可以看出，点位中误差 虽然可以用来评定待定点的点位
3、精度，但是它却不能代表该点在某一任间方向上的位差大小。而上提到的 ， ， 和 等等，也只能代表待定点在x和y轴上以及在AP边的纵向、横向上的位差。,但在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小，此外还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在哪一个方向上的位差最小。,10.2 点位误差的计算,条件平差法与间接平差法。,待定点的纵横坐标的方差是按下式计算的：,据点位方差的定义式即可求得点位中误差，即,关于Qxx，Qyy的计算问题，不同的平差法有不同的计算方法。,为了求定P点在某一任意方向 上的位差，需先找出待定点P在方向 上的真误差 与纵横坐标的真误差的函数关系，然后求出位差。P点在
4、方向上的位置真误差，实际上就是P点点位真误差在 方向上的投影值。如图所示，可以看出,10.3 任意方向 的位差,根据协因数传播律得,其方差为,此式即为P点在给定方向(方位角为 )上的位差计算式。,10.4 位差的极大值E和极小值F,由,令,得,其解为,把,代入 计算公式， 大者为极大值E，其对,应的方向为极大值方向 。,极值及极值方向的另一套计算公式,和 两方向之差为90。,10.4 以E和F表示的表示任意方向 上的位差,如图所示，若以极大值方向 为起始方向，任意方向的方向角用 表示。,则任意方向上的位差：,用和角公式展开，并顾及E、F的计算式子，得,10.5 误差椭圆,一. 误差曲线的概念,
5、以不同的 和 为极坐标的点的轨迹为一闭合曲线，其形状如图所示(8字形，且关于轴和轴对称)，这条曲线称之为点位误差曲线。,显然，任意方向 上的向经 就是该方向的位差 。,A,即可以利用图解方法求点位中误差、任意方向上的位差等。,二、误差曲线的用途,1待定点在任一方向上的位差。例如:,2确定点位中误差。例如,3待定点至已知点边长的中误差(即方向的纵向误差)。,例如：PA边边长 中误差为,4待定点至已知点的方位角的中误差(引起该边的横向误差),例如：PA边的方位角 的中误差为,误差椭圆与误差曲线的关系如下图；,点位误差曲线不是一种典型曲线，作图也不方便。但其形状与以 E、F为长半轴和短半轴的椭圆类似
6、，此椭圆称为点位的误差椭圆 。,1、点位误差椭圆的参数,、E、F,2、误差椭圆与误差曲线的关系,自椭圆作 方向线的正交切线PD，P为切点，D为垂足。则D为误差曲线上的点。即,误差曲线也叫垂足曲线,三、误差椭圆,作垂足,3、误差椭圆的用途,同误差曲线,4、用法,10.5 相对误差椭圆,平面控制网中，不仅需要研究待定点点位相相对于起始点的精度，还要了解两个待定点之间相对位置的精度情况。,设两个待定点为Pj 和Pk，这两点的相对位置可通过其坐标差来表示，即,根据协因素传播定律有,据此可计算Pj 和Pk点间相对误差椭圆的三个参数：,相对误差椭圆的绘制方法同绘制误差椭圆的方法，相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心。根据相对误差椭圆,便可图解出所需要的任意方向上的位差大小。,