12命题及其关系、充分条件与必要条件.ppt

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1、要点梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,能够_ _的陈述句叫做命题.其中_的语句叫真命 题, _的语句叫假命题.,1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,基础知识 自主学习,判断真,假,判断为真,判断为假,2.四种命题及其关系 (1)四种命题 (2)四种命题间的逆否关系,若q,则p,(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有_的真假性; 两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假 性_. 3.充分条件与必要条件 (1)如果pq,则p是q的_,q是p的_; (2)如果pq,qp,则p是q的_. 4.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否 定命题的结论;而

2、命题的否定是只否定命题的结论.,相同,没有关系,充分条件,必要条件,充要条件,基础自测 1.有下列四个命题: “若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题; “若ab,则a2b2”的逆否命题; “若x-3,则x2+x-60”的否命题; “若ab是无理数,则a、b是无理数”的逆命题. 其中真命题是_. 解析 正确,错,错, 在中,令 则ab=2是有理数,故错.,2.（2009靖江调研）“x1”是“x2x”的 _条件. 解析 x1x2x,x2x x1. 3.(2009苏、锡、常、镇四市模拟)已知集合A= x|x5,集合B=x|xa,若命题“xA”是命题 “xB”的充分不必要条件,则实数a的取值范围

3、是 _. 解析 由题意可得A是B的真子集,故a5为所求.,a5,充分不必要,4.(2010南通模拟)已知a,b为不共线的向量，设 条件M:b(a-b);条件N:对一切xR，不等式|a- xb|a-b|恒成立.则M是N的_条件.(填“充 分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不 充分又不必要”) 解析 构造直角三角形OAB,ABOB,其中a= , b= ,xb= ,则a-b= ，当点D与点B不重合 时,由斜边大于直角边得|a-xb|a-b|,当点D与点 B重合时|a-xb|=|a-b|,反之也成立.,充要,【例1】(2010宿迁调研)判断命题“若a0,则x2+ x-a=0有实根”的逆否命题的

4、真假. 可先写出该命题的逆否命题,再判断其真假 性;也可以利用命题间的关系,证明其等价命题间的 真假性；还可以利用充要条件与集合的包含关系、 相等关系解决. 解 方法一 写出逆否命题,再判断其真假. 原命题:若a0,则x2+x-a=0有实根, 逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a0,典型例题 深度剖析,分析,判断如下: x2+x-a=0无实根,=1+4a0, 方程x2+x-a=0的判别式=4a+10, 方程x2+x-a=0有实根, 故原命题“若a0,则x2+x-a=0有实根”为真命题. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若a0，则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真 命题.,方法三 利

5、用充要条件与集合的包含、相等关系判断. 命题p:a0,q:x2+x-a=0有实根, p:A=aR|a0, q:B=aR|方程x2+x-a=0有实根 =aR|a . 即AB,“若p则q”为真, “若p,则q”的逆否命题“ ”为真. “若a0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.,方法四 设p:a0,q:x2+x-a=0有实根, 则 p:a0, q:x2+x-a=0无实根, p:A=aR|a0, q:B=aR|方程x2+x-a=0无实根=aR|a . BA, “ ”为真, 即“若方程x2+x-a=0无实根,则a0”为真. “若a0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.,跟踪练习1 (2

6、008广东改编)命题:“若函数f(x)= logax(a0且a1)在其定义域内是减函数,则loga2 0”的逆否命题是_ _.,若loga20,则函数f(x)=logax,(a0且a1)在定义域内不是减函数,【例2】指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分 不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1)在ABC中,p:A=B,q:sin A=sin B; (2)对于实数x、y,p:x+y8,q:x2或y6; (3)非空集合A、B中,p:xAB,q:xB; (4)已知x、yR,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=

7、0. 首先分清条件和结论,然后根据充要条件的 定义进行判断.,分析,解 (1)在ABC中,A=Bsin A=sin B, 反之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三 角形三个内角和为180), 所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 的充分不必要条件,由原命题和逆否 命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有x AB,所以p是q的必要不充分条件. (4)由已知得p:x=1且y=2,q:x=1或y=2, 所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件.,跟踪练习2 (2010扬州模拟)

8、指出下列各组命题中, p是q的什么条件？ (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0. (2)p:四边形的对角线相等; q:四边形是平行四边形. 解 (1)(x-2)(x-3)=0 x-2=0, x-2=0(x-2)(x-3)=0, p是q的必要不充分条件. (2)四边形的对角线相等 四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等. p是q的既不充分又不必要条件.,【例3】(2009江苏)设和为不重合的两个平面, 给出下列命题: 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直 线,则平行于; 若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和 平行; 设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于

9、 l,则和垂直; 直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条 直线垂直.,上面命题中,真命题的序号_(写出所有真命题的 序号). 解析 命题是两个平面平行的判定定理，正确;命 题是直线与平面平行的判定定理,正确；命题中 在内可以作无数条直线与l垂直,但与只是相交 关系,不一定垂直,错误;命题中直线l与垂直可推 出l与内两条直线垂直，但l与内的两条直线垂直 推不出直线l与垂直，所以直线l与垂直的必要不 充分条件是l与内两条直线垂直.,跟踪练习3 (2009广东改编)给定下列四个命题: 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行; 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个

10、平面相互垂直; 垂直于同一直线的两条直线相互平行; 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线 不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是_.,解析 当两个平面相交时,一个平面内的两条直线 可以平行于另一个平面,故不对;由平面与平面垂 直的判定可知正确;空间中垂直于同一条直线的 两条直线可以相交也可以异面,故不对;若两个平 面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直 线才与另一个平面垂直,故正确. 答案 ,【例4】(14分)已知抛物线C:y=-x2+mx-1和点A(3,0), B(0,3).求证:抛物线C与线段AB有两个不同交点的 充要条件是3m 此类问题的证明应从两方面进行,即

11、证明充 分性与必要性. 解 必要性 由已知得线段AB的方程为y=-x+3(0x3). 由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点, 所以方程组 (*) 有两个不同的 实数解. 2分,分析,消元得x2-(m+1)x+4=0(0x3). 设f(x)=x2-(m+1)x+4,则有 解之得3m 6分 充分性 当3m 时,8分 所以方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2, 且0x1x23,方程组(*)有两组不同的实数解. 综上,抛物线y=-x2+mx-1与线段AB有两个不同交点的 充要条件是3m 14分,跟踪练习4 已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0

12、. 证明 先证必要性. a+b=1,即b=1-a, a3+b3+ab-a2-b2 =a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0. 再证充分性. a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0, (a+b-1)(a2-ab+b2)=0. ab0,即a0且b0, a2-ab+b2= a+b=1. 综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.,高考中以考查充要条件的判断为重点,兼顾考查命题 的四种形式及命题的等价性;考查命题转换、逻辑推 理能

13、力和分析问题、解决问题的能力;有时以充要条 件为载体. 通常以填空题的形式出现.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必 须保留大前提,也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中 一个(或n个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命 题与定理是有区别的；命题有真假之分,而定理都 是真的.,方法规律总结,3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法:即利用 的等价关系,对于条件 或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判

14、断:若AB，则A是B 的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的 充要条件.,一、填空题 1.(2008湖北)若非空集合A、B、C满足AB =C,且B不是A的子集,则下列说法中正确的是_ (填序号). “xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 “xC”是“xA”的充要条件 “xC”既不是“xA”的充分条件也不是 “xA”的必要条件,定时检测,解析 由题意知,A、B、C的关系用图 来表示. 若xC,不一定有xA,而xA, 则必有xC, 因此“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件. 答案 ,2.(2009重庆改编)命题“若一个数是负数,则它

15、的 平方是正数”的逆命题是_ _. 解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正 数,则它是负数. 3.(2009苏州调研)命题“若ab，则ac2bc2 (a,b R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命 题的个数为_个. 解析 若ab,c2=0,则ac2=bc2.原命题为假. 若ac2bc2,则c20且c20,则ab.逆命题为真. 又逆命题与否命题等价,否命题也为真. 又逆否命题与原命题等价,逆否命题为假.,若一个数的平方是正数,则它是负数,2,4.(2009天津改编)设xR,则“x=1”是“x3=x”的 _条件. 解析 当x=1时,x3=x成立. 若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-

16、1,0,1;不一定得到x=1. 5.(2010徐州模拟)已知命题p:关于x的方程x2-ax +4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在3, +)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题, 则实数a的取值范围是_. 解析 命题p等价于=a2-160,a-4或a4; 命题q等价于 a-12. p或q是真命题,p且q是假命题,则命题p和q一真一假. 实数a的取值范围为(-4,4)(-,-12).,充分不必要,(-4,4)(-,-12),6.(2009安徽改编)“a+cb+d”是“ab且cd”的 _条件. 解析 由于ab,且cd a+cb+d, 而a+cb+d ab且cd, 所以“

17、a+cb+d”是“ab且cd”的必要不充分条件.,必要不充分,7.(2010青岛模拟)“a0, 由韦达定理知x1x2= 0, 故此一元二次方程有一个正根和一个负根,符合题意; 当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时, a可以为0,因为当a=0时,该方程仅有一根为 , 所以a不一定小于0. 由上述推理可知,“a0”是方程“ax2+2x+1=0至少 有一个负数根”的充分不必要条件.,充分不必要,8.(2009广东汕头二模)已知命题p：方程a2x2+ax-2 =0在-1,1上有解;命题q:只有一个实数x满足不 等式 x2+2ax+2a0.若命题“p或q”是假命题,则a 的取值范围是_. 解析 由a

18、2x2+ax-2=0, 得(ax+2)(ax-1)=0, 显然a0, x-1,1, 故,|a|1. 只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a0, 即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点, =4a2-8a=0, a=0或a=2. 命题“p或q”为真命题时,|a|1或a=0. 命题“p或q”为假命题, a的取值范围为a|-1a0或0a1. 答案 -1a0或0a1,9.(2010山东聊城模拟)设f(x)=x3+ , 则对任意实数a、b,“a+b0”是“f(a)+f(b)0” 的_条件. 解析 显然f(x)=x3+ 为奇函数, 且单调递增. 于是若a+b0,则a-b,有f(a)f(-b),

19、 即f(a)-f(b),从而有f(a)+f(b)0. 反之,若f(a)+f(b)0,则f(a)-f(b)=f(-b), 则a-b,即a+b0.故为充要条件.,充要,二、解答题 10.(2010镇江模拟)分别写出下列命题的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断真假. (1)当cbc,则abc”真命题. 否命题 “当c0时,若acbc,则ab” 真命题. 逆否命题 “当c0时,若ab,则acbc” 真命题. (2)逆命题 “若a=0或b=0,则ab=0” 真命题. 否命题 “若ab0,则a0且b0” 真命题. 逆否命题 “若a0且b0,则ab0” 真命题.,11.(2009江苏省华罗庚中学第一次教学质

20、量检测) 已知a0,a1,设p:函数y=loga(x+1)在(0，+)上 单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的 两点.如果p且q为假命题,p或q为真命题,求a的取值 范围. 解 若p为真,则00即(2a-3)2-40 解得 p且q为假,p或q为真, p与q中有且只有一个为真命题.(a0且a1),综上所述a的取值范围为,12.(2009江苏省徐州六县一区联考)已知mR,设 p:不等式|m2-5m-3|3;q:函数f(x)=x3+mx2+(m+ )x+6在(-,+)上有极值.求使p且q为真命题的 m的取值范围. 解 由已知不等式得 m2-5m-3-3 或m2-5m-33 不等式的解为0m5; 不等式的解为m-1或m6. 所以,当m-1或0m5或m6时,p为真命题.,对函数f(x)=x3+mx2+(m+ )x+6求导得, f(x)=3x2+2mx+m+ 令f(x)=0,即3x2+2mx+m+ =0, 当且仅当0时,函数f(x)在(-,+)上有极值. 由=4m2-12m-160得m4, 所以,当m4时,q为真命题. 综上所述,使p且q为真命题时,实数m的取值范围为 (-,-1)(4,56,+).,返回,