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1、19.4.3角平分线,角平分线的性质是什么 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,？,角平分线的这条性质是怎样得到的呢？,开启智慧,定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等.,如图,已知:OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).,C,证明: 因为PDOA，PEOB（已知）， 所以 PDOPEO90（垂直的定义）,PDOPEO (A.A.S),PD=PE,于是就有定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,四
2、问答 ：1、如图，在RtABC 中，,角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。,A,B,C,BD是B 的平分线 ，,DEAB，垂足为E，,E,DE与DC 相等吗？,答：,DE=DC。, BD是ABC的平分线 （D在ABC的平分线上）,又 DEBA，垂足为E，, DE=DC。,为什么？,DCBC，垂足为C，,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,PDOA，PEOB， 点D、E为垂足，PDPE 求证：点P在AOB的平分线上,证明： PDOA，PEOB，点D、E为垂足，,在Rt PDO 与Rt PEO中,PDO= PEO=Rt ,PD
3、=PE（已知）,OP=OP（公共边）,RtPDOPDO,1=2 即点P在AOB的平分线上,于是就有定理： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上,命题:三角形三个角的平分线相交于一点.,如图,设ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABC的三条角平分线相交于一点P.,基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=
4、PF.,PD=PF.,点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,1、 1= 2,DCAC, DEAB _ (_),DC=DE,角平分线上的点到角的两边的距离相等,2、判断题（ ） 如图，AD平分BAC（已知）, BD = DC ， ( ),角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,课时训练,练习 1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等,提示：作AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点,练习2. 如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,G,H,P,证明：作FGAE于G.FHAD于H FPCB于P,作射线OF CF平分ECB FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP FG=FH 点F在EOD的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上),