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1、第一章 立体几何初步 自我校对 球 斜二测画法 公理 3 平行 相交 0，90 0，180 _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ 空间几何体的体积及表面积 几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量 之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及 直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题 如图 11，四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC 4，M为线段 AD上一点，AM2MD，N为 PC的中点 图 11 (1)证明 MN平面 PAB； (2)求四
2、面体 NBCM的体积 【精彩点拨】 (1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2) 先求出点 N到平面 BCM的距离及BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解 【规范解答】 2 (1)证明：由已知得 AM AD2. 3 如图，取 BP的中点 T，连接 AT，TN，由 N为 PC中点知 TNBC， 1 TN BC2. 2 2 又 ADBC，故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MNAT. 因为 AT 平面 PAB，MN 平面 PAB， 所以 MN平面 PAB. (2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 1 所 以 N 到平面 A
3、BCD 的距离为 PA. 2 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 ABAC3 得 AEBC，AE AB2BE2 5. 由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 5， 1 故 SBCM 4 52 5. 2 1 PA 4 5 所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM SBCM . 3 2 3 再练一题 1如图 12，三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CDBD. 图 12 (1)求证：CD平面 ABD； (2)若 ABBDCD1，M 为 AD 中点，求三棱锥 AMBC 的体积 【解】 (1)证明：AB平面 BCD，CD 平面 BCD， ABCD. 又CDBD，ABBDB， AB 平面
4、 ABD，BD 平面 ABD， CD平面 ABD. (2)法一：由 AB平面 BCD，得 ABBD. 1 ABBD1，SABD . 2 3 1 1 M 是 AD 的中点，SABM SABD . 2 4 由(1)知，CD平面 ABD， 三棱锥 CABM 的高 hCD1， 因此三棱锥 AMBC 的体积 1 1 VAMBCVCABM SABMh . 3 12 (2)法二：由 AB平面 BCD 知，平面 ABD平面 BCD， 又平面 ABD平面 BCDBD， 如图，过点 M 作 MNBD 交 BD 于点 N， 1 1 则 MN平面 BCD，且 MN AB ， 2 2 1 又 CDBD，BDCD1，SB
5、CD ， 2 三棱锥 AMBC 的体积 VAMBCVABCDVMBCD 1 1 1 ABSBCD MNSBCD . 3 3 12 直线、平面平行的判定和性质 1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平 行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa )；(4)利用面面平行的性质(，a，a) 2证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直 线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平
6、行；(5)“利用 线 ”“”“”线平行线面平行面面平行 的相互转化 如图 13，E，F，G，H 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC，CC1，C1D1，AA1的 中点， 4 图 13 求证：(1)GE平面 BDD1B1； (2)平面 BDF平面 B1D1H. 【精彩点拨】 (1)取 B1D1的中点 O，证明四边形 BEGO 是平行四边形 (2)证 B1D1平面 BDF，HD1平面 BDF. 【规范解答】 (1)取 B1D1的中点 O，连结 GO，OB， 1 1 易证 OG 綊 B1C1，BE 綊 B1C1， 2 2 OG 綊 BE，四边形 BEGO 为平行四边形， OBGE. OB
7、 平面 BDD1B1，GE 平面 BDD1B1， GE平面 BDD1B1. (2)由正方体性质得 B1D1BD， B1D1 平面 BDF，BD 平面 BDF， B1D1平面 BDF. 连结 HB，D1F， 易证 HBFD1 是平行四边形， 得 HD1BF. HD1 平面 BDF，BF 平面 BDF， HD1平面 BDF. B1D1HD1D1， 平面 BDF平面 B1D1H. 再练一题 2.如图 14，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1，设 AB1的中点为 D，B1CBC1 E. 图 14 求证：(1)DE平面 AA1C1C； (2)BC1AB1. 5 【证明】 (1)
8、由题意知，E 为 B1C 的中点， 又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC. 又因为 DE 平面 AA1C1C，AC 平面 AA1C1C， 所以 DE平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1平面 ABC. 因为 AC 平面 ABC，所以 ACCC1. 又因为 ACBC，CC1 平面 BCC1B1，BC 平面 BCC1B1，BCCC1C， 所以 AC平面 BCC1B1. 又因为 BC1 平面 BCC1B1，所以 BC1AC. 因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形， 因此 BC1B1C. 因为 AC，B1C 平面 B1AC，ACB1CC， 所
9、以 BC1平面 B1AC. 又因为 AB1 平面 B1AC，所以 BC1AB1. 直线、平面垂直的判定和性质 空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法 计算所成的角为 90(包括平面角和异面直线所成的角)； 线面垂直的性质(若 a，b，则 ab) (2)判定线面垂直的方法 线面垂直的定义(一般不易验证任意性)； 线面垂直的判定定理(am，an，m，n，mnAa)； 平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)； 面面垂直的性质(，l，a，ala)； 面面平行的性质(a，a)； 面面垂直的性质(l，l) (3)面面垂直的判定方法 根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90)； 面面
10、垂直的判定定理(a，a) 如图 15 所示，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，且 CECA2BD，M 是 EA 的中点 6 图 15 求证：(1)DEDA； (2)平面 BDM平面 ECA； (3)平面 DEA平面 ECA. 【精彩点拨】 取 EC 中点 F，CA 中点 N，连结 DF，MN，BN. (1)证DFEABD，(2)证 BNECA，(3)证 DM平面 ECA. 【规范解答】 (1)如图所示，取 EC 的中点 F，连结 DF，易知 DFBC，ECBC，DF EC.在 RtDEF 和 RtDBA 中， 1 EF ECBD， 2 FDBCAB， RtDFERtABD，故 D
11、EDA. 1 (2)取 CA 的中点 N，连结 MN，BN，则 MN 綊 EC， 2 MNBD，即 N 点在平面 BDM 内 EC平面 ABC，ECBN. 又 CABN，BN平面 ECA. BN 在平面 MNBD 内， 平面 MNBD平面 ECA， 即平面 BDM平面 ECA. (3)DMBN，BN平面 ECA，DM平面 ECA. 又 DM 平面 DEA， 平面 DEA平面 ECA. 再练一题 3如图 16，四棱锥 PABCD 的底面为平行四边形，PD平面 ABCD，M 为 PC 的中点 (1)求证：AP平面 MBD； 7 (2)若 ADPB，求证：BD平面 PAD. 【导学号：4129205
12、6】 图 16 【解】 (1)如图，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OM. 因为底面 ABCD 是平行四边形，所以点 O 为 AC 的中点 又 M 为 PC 的中点，所以 OMPA. 因为 OM 平面 MBD，AP 平面 MBD，所以 AP平面 MBD. (2)因为 PD平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以 PDAD. 因为 ADPB，PDPBP，PD 平面 PBD，PB 平面 PBD，所以 AD平面 PBD. 因为 BD 平面 PBD，所以 ADBD. 因为 PD平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 PDBD. 又因为 BDAD，ADPDD，AD 平面 PAD，PD 平面
13、PAD，所以 BD平面 PAD. 平面图形的翻折问题 空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查 (1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线 同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口 (2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折 前的图形 1 如图 17，在直角梯形 ABCP 中，APBC，APAB，ABBC AP，D 是 AP 的中点， 2 E，F 分别为 PC，PD 的中点，将PCD 沿 CD 折起得到四棱锥 PABCD. 8 图 17 (1)G
14、 为线段 BC 上任一点，求证：平面 EFG平面 PAD； (2)当 G 为 BC 的中点时，求证：AP平面 EFG. 【精彩点拨】 (1)转化为证 EF平面 PAD； (2)转化为证平面 PAB平面 EFG. 【规范解答】 (1)在直角梯形 ABCP 中 1 BCAP，BC AP，D 为 AP 的中点， 2 BC 綊 AD，又 ABAP，ABBC. 四边形 ABCD 为正方形 CDAP，CDAD，CDPD. 在四棱锥 PABCD 中，E，F 分别为 PC，PD 的中点， EFCD，EFAD，EFPD. 又 PDADD，PD 平面 PAD，AD 平面 PAD. EF平面 PAD. 又 EF 平
15、面 EFG，平面 EFG平面 PAD. (2)法一 G，F 分别为 BC 和 PC 的中点，GFBP， GF 平面 PAB，BP 平面 PAB，GF平面 PAB. 由(1)知，EFDC，ABDC，EFAB， EF 平面 PAB，AB 平面 PAB，EF平面 PAB. EFGFF，EF 平面 EFG，GF 平面 EFG. 平面 EFG平面 PAB.PA 平面 PAB，PA平面 EFG. 法二 取 AD 中点 H(略)，连结 GH，HE. 由(1)知四边形 ABCD 为平行四边形 又 G，H 分别为 BC，AD 的中点，GHCD. 由(1)知，EFCD，EFGH. 四点 E，F，G，H 共面 E，
16、H 分别为 PD，AD 的中点，EHPA. PA 平面 EFGH，EH 平面 EFGH. PA平面 EFGH，即 PA平面 EFG. 再练一题 4如图 18(1)所示，在直角梯形 ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起，使平面 DCEF平面 ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图 18(2)所 示 9 (1) (2) 图 18 (1)求证：BE平面 ADF； (2)求三棱锥 FBCE 的体积 1 【解】 (1)证明：法一 取 DF 的中点 G，连结 AG，EG，CE DF， 2 EG 綊 CD.又AB 綊 CD， EG 綊 AB， 四边形 ABE
17、G 为平行四边形， BEAG. BE 平面 ADF，AG 平面 ADF， BE平面 ADF. 法二 由图(1)可知 BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变 BC 平面 ADF，AD 平面 ADF， BC平面 ADF. 同理 CE平面 ADF. BCCEC，BC，CE 平面 BCE， 平面 BCE平面 ADF. BE 平面 BCE，BE平面 ADF. (2)法一 VFBCEVBCEF，由图(1)可知 BCCD， 平面 DCEF平面 ABCD，平面 DCEF平面 ABCDCD，BC 平面 ABCD，BC平面 DCEF. 1 1 由图(1)可知 DCCE1，SCEF CEDC ， 2 2 1 1
18、VFBCEVBCEF BCSCEF . 3 6 法二 由图(1)，可知 CDBC，CDCE， BCCEC，CD平面 BCE. 10 DFCE，点 F 到平面 BCE 的距离等于点 D 到平面 BCE 的距离为 1，由 图(1)，可知 BCCE 1 1 1 1 1，SBCE BCCE ，VFBCE CDSBCE . 2 2 3 6 法三 过 E 作 EHFC，垂足为 H，如图所示，由图(1)，可知 BCCD，平面 DCEF平面 ABCD，平面 DCEF平面 ABCDCD，BC 平面 ABCD， BC平面 DCEF. EH 平面 DCEF，BCEH， EH平面 BCF.由 BCFC， FC DC2
19、DF2 5， 1 5 1 1 SBCF BCCF ，在CEF 中，由等面积法可得 EH ，VFBCEVEBCF EHS 2 2 5 3 1 BCF . 6 1已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为_. 【导学号：41292057】 【解析】 如图，设球的半径为 R， 1 AOB90，SAOB R2. 2 VOABCVCAOB，而AOB 面积为定值， 当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大， 1 1 当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大为 R2R3
20、6， 3 2 R6，球 O 的表面积为 4R2462144. 11 【答案】 144 2已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是_ 若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行； 若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行； 若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线； 若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【解析】 ， 可能相交，故错误； 直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； 若 m，n，mn，则 m，故错误； 假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 mn，所以原命题正确，故正确 【答案】 3一个正方体的平面展开图及该正方
21、体的直观图的示意图如图 19 所示 (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线 DF平面 BEG. 图 19 【解】 (1)点 F，G，H 的位置如图所示 (2)平面 BEG平面 ACH. 证明如下： 因为 ABCDEFGH 为正方体， 所以 BCFG，BCFG. 又 FGEH，FGEH， 所以 BCEH，BCEH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形 所以 BECH. 又 CH 平面 ACH，BE 平面 ACH， 12 所以 BE平面 ACH. 同理 BG平面 ACH. 又 B
22、EBGB，所以平面 BEG平面 ACH. (3)证明：连接 FH，与 EG 交于点 O，连接 BD. 因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 DH平面 EFGH. 因为 EG 平面 EFGH，所以 DHEG. 又 EGFH，DHFHH，所以 EG平面 BFHD. 又 DF 平面 BFHD，所以 DFEG. 同理 DFBG. 又 EGBGG，所以 DF平面 BEG. 4.如图 110，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC平面 BED； 6 (2)若ABC120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积 3 图
23、110 【解】 (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE. 故 AC平面 BED. 又 AC 平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED. 3 x (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC x，GBGD . 2 2 3 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG x. 2 2 由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE x. 2 1 1 6 6 由已知得， 三棱锥 EACD 的体积 V 三棱锥 EACD ACGDBE x3 ，故 x2. 3 2 24 3 从而可得 AEECED
24、6. 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 EACD 的侧面积为 32 5. 5.如图 111，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点 13 图 111 (1)求证：VB平面 MOC； (2)求证：平面 MOC平面 VAB； (3)求三棱锥 VABC 的体积 【解】 (1)因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点， 所以 OMVB. 又因为 VB /平面 MOC，所以 VB平面 MOC. (2)因为 ACBC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB. 又因为平面
25、 VAB平面 ABC，且 OC 平面 ABC， 所以 OC平面 VAB. 所以平面 MOC平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC 2， 所以 AB2，OC1. 所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB 3. 又因为 OC平面 VAB， 1 3 所以三棱锥 CVAB 的体积等于 OCSVAB .又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 C 3 3 3 VAB 的体积相等，所以三棱锥 VABC 的体积为 . 3 6如图 112，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA6，顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE
26、并延长交 AB 于点 G. (1)证明：G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积 【解】 (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 ABPD. 14 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE. 因为 PDDED，所以 AB平面 PED，故 ABPG. 又由已知可得，PAPB，所以 G 是 AB 的中点 (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影 理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB
27、，所以 EFPA，EFPC.又 PAPC P，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由(1)知，G 2 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG. 3 2 1 由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE PG，DE PC. 3 3 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF2， 1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V 222 . 3 2 3 15