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1、“”空间向量 双基过关检测 一、选择题 1在空间直角坐标系中，点 P(m,0,0)到点 P1(4,1,2)的距离为 30，则 m 的值为( ) A9 或 1 B9 或1 C5 或5 D2 或 3 解析：选 B 由题意|PP1| 30， 即 m42 12 22 30， (m4)225，解得 m9 或 m1.故选 B. 2已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是( ) 1 1 1 A2， B ， 2 3 2 C3,2 D2,2 解析：选 A ab，bka， 即(6,21,2)k(1,0,2)， Error!解得Error!或Error! 3已知 a(2,1，3)，b
2、(1,2,3)，c(7,6，)，若 a，b，c 三向量共面，则 ( ) A9 B9 C3 D3 解析：选 B 由题意知 cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)， Error!解得 9. 1 4(2017揭阳期末)已知 a(2,3，4)，b(4，3，2)，b x2a，则 x( ) 2 A(0,3，6) B(0,6，20) C(0,6，6) D(6,6，6) 1 解析：选 B 由 b x2a，得 x4a2b(8,12，16)(8，6，4) 2 (0,6，20) 5在空间四边形 ABCD 中， AB CD AC DB AD BC ( ) A1 B0 C1 D不确定 c， 解析：选
3、 B 如图，令 AB a， AC b， AD 则 AB CD AC DB AD BC 1 a(cb)b(ac)c(ba) acabbabccbca 0. 6.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与 BM 相等的向量是( ) 1 1 1 1 A a bc B. a bc 2 2 2 2 1 1 1 1 C a bc D. a bc 2 2 2 2 1 1 1 1 解析：选 A BM BB1 B1M AA1 ( AD AB )c (ba) a b 2 2 2 2 c. 7.如图，在大小为 45的
4、二面角 A EFD 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是( ) A. 3 B. 2 C1 D. 3 2 解析：选 D BD BF FE ED ， | BD |2 | BF |2 | FE |2 | ED |2 2 BF FE 2 FE ED 2 BF ED 111 23 2，故| BD | 3 2. 8(2017东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，1,1)， OA OB 与 OB 的夹角为120， 则 的值为( ) 6 A B. 6 6 6 6 C D 6 6 2 解析：选 C 因为 OA OB (1，)，所以 cos 120 122 2 1
5、 6 6 6 ，得 .经检验 不合题意，舍去， . 2 6 6 6 二、填空题 9已知点 A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若 AP 2 PB ，则| PD |的值是 _ 解析：设 P(x，y，z)， AP (x1，y2，z1) 1 8 PB (1x,3y,4z)，由 AP 2 得点 P 坐标为 ， PB ，3) ( ， 3 3 77 又 D(1,1,1)，| PD | . 3 答案： 77 3 10. 如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点用 AB ， AD ， AA1 表示 OC1 ，则 OC1 _. 1 1 解析： OC AC ( A
6、B AD )， 2 2 1 1 1 OC1 OC OC1 ( AB AD ) AA1 AB AD AA1 . 2 2 2 1 1 答案： AB AD 2 2 AA1 11.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC ， 3 则 cos OA ， BC 的值为_ 解析：设 OA a， OB b， OC c， 由已知条件， 得a，ba，c ，且|b|c|， 3 1 1 OA BC a(cb)acab |a|c| |a|b|0， 2 2 cos OA ， BC 0. 答案：0 12(2017北京西城模拟)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1 ， 若动点 P 在线段
7、BD1上运动，则 DC AP 的取值范围是_ 3 解析：由题意，设 BP BD1 ，其中 0,1， DC AP AB ( ) AB ( AB BD1 ) AB 2 AB BD1 AB 2 AB ( AD1 AB ) (1) AB 210,1因此 DC AP 的取值范围是0,1 答案：0,1 三、解答题 13已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1 的正方形，AA12，A1AB A1AD120. (1)求线段 AC1的长； (2)求异面直线 AC1与 A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1BD. 解：(1)如图，设 AB a， AD b， AA1 c， 则|a|
8、b|1，|c|2，ab0， cacb21cos 1201. AC1 AC CC1 AB AD AA1 abc， | AC1 |abc| abc2 |a|2|b|2|c|22abbcca 1212222011 2. 线段 AC1的长为 2. (2)设异面直线 AC1与 A1D所成的角为 . | 则 cos |cos AC1 ， A1D | . | AC1 abc， A1D bc， AC1 A1D (abc)(bc)abacb2c20112222， | A1D | bc2 b22bcc2 122 122 7. | |2| 14 cos . | 7 2 7 4 14 故异面直线 AC1与 A1D 所
9、成角的余弦值为 . 7 (3)证明： AA1 c， BD ba， AA1 BD c(ba)cbca(1)(1)0. AA1 BD ， AA1BD. 14.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，E D分，别 是 ABB，1的中点，AA1AC 2 CB AB. 2 (1)证明：BC1平面 A1CD； (2)求二面角 DA1CE 的正弦值 解：(1)证明：连接 AC1交 A1C 于点 F， 则 F 为 AC1的中点 又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1DF. 因为 DF 平面 A1CD，BC1 平面 A1CD， 所以 BC1平面 A1CD. 2 (2)由 ACCB AB，得 ACBC.
10、2 空 以 C 为坐标原点， CA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的 间直角坐标系 Cxyz. 设 CA2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， CD (1,1,0)， CE (0,2,1)， CA1 (2,0,2) 设 n(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量， 则Error!即Error! 可取 n(1，1，1) 同理，设 m(x2，y2，z2)是平面 A1CE 的法向量， 则Error!即Error! 可取 m(2,1，2) nm 212 3 从而 cosn，m ， |n|m| 3 3 3 6 故 sinn，m . 3 5 6 二面角 DA1CE 的正弦值为 . 3 5