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1、高考达标检测（三十八）双曲线命题 3 3角度用定义、求方程、研 性质 一、选择题 x2 y2 x2 y2 1(2017合肥质检)若双曲线 C1： 1 与 C2： 1(a0，b0)的渐近线相 2 8 a2 b2 同，且双曲线 C2的焦距为 4 5，则 b( ) A2 B4 C6 D8 b 解析：选 B 由题意得， 2b2a，C2的焦距 2c4 5c a2b22 5b4，故选 a B. y2 2若双曲线 x2 m 1 的一条渐近线的倾斜角 (0， 3)，则 m 的取值范围是( ) A(3,0) B( 3，0) C(0,3) D.( 3 ，0) 3 y2 解析：选 A 由题意可知 m0，b0)的左、
2、右焦点分别为 F1，F2， a2 b2 以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 16 9 3 4 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 9 16 4 3 解析：选 C 由已知可得交点(3,4)到原点 O 的距离为圆的半径，则半径 r 32425， b 故 c5，a2b225，又双曲线的一条渐近线 y x 过点(3,4)，故 3b4a，可解得 b4，a a 3，故选 C. x2 y2 6(2017东北四校联考)已知点 F1，F2为双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦 a2 b2 点，点 P 在双曲
3、线 C 的右支上，且满足|PF2|F1F2|，F1F2P120，则双曲线的离心率为 ( ) 31 A. B. 2 51 2 C. 3 D. 5 解 析：选 A 如图，在PF1F2中，|PF2|F1F2|2c，又F1F2P 120，由余弦定理可得|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|F1F2|PF2|cos 12012c2所，以|PF1|2 3c.由双曲线的定义可得 2a|PF1|PF2|2 3c2c2( 3 2c 2c 31 1)c.故双曲线的离心率 e . 2a 2 31c 2 x2 y2 7(2016天津高考)已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为 4 b2 半径长的
4、圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双 曲线的方程为( ) x2 3y2 x2 4y2 A. 1 B. 1 4 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 4 4 4 12 b 解 析：选 D 由题意知双曲线的渐近线方程为 y x， 2 2 圆的方程为 x2y24， 联立Error!解得Error!或Error! 4 2b 即 圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为( 4b2). ， 4b2 8 4b 8 4b 由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为 ， ，故 4b2 4b2 4b2 2b，得 b212. x
5、2 y2 故双曲线的方程为 1.故选 D. 4 12 8若以 F1(3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线 yx1 有公共点，则该双曲线的离 心率的取值范围为( ) 3 5 3 5 A.( ， 2)( 2 ， ) B. ，) 5 5 3 5 3 5 C.( ，) D. ， 2)( 2 ， ) 5 5 x2 y2 解析：选 B 依题意，设题中的双曲线方程是 1(a0，b0)， a2 b2 则有 a2b29，b29a2. 由Error!消去 y，化简得(b2a2)x22a2xa2(1b2)0(*)有实数解， 注意到当 b2a20 时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率 e 2； 当 b2
6、a20 时，4a44a2(b2a2)(1b2)0， 即 a2b21，a2(9a2)1(b29a20 且 a2b2)， 9 由此解得 0a25 且 a2 ， 2 3 3 3 5 此时 e 且 e 2. a 5 5 3 5 综上所述，该双曲线的离心率的取值范围为 ，)，选 B. 5 二、填空题 x2 y2 9(2016北京高考)双曲线 1(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所 a2 b2 在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_. 解析：不妨令 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示 四边形 OABC 为正方形，|OA|2
7、， c|OB|2 2，AOB . 4 直线 OA 是渐近线， 3 b 方程为 y x， a b tanAOB1，即 ab. a 又a2b2c28，a2. 答案：2 x2 y2 10(2015湖南高考)设 F 是双曲线 C： 1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段 a2 b2 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为_ 解析：不妨设 F(c,0)，PF 的中点为(0，b)由中点坐标公式可知 P(c,2b ) 又点 P 在双曲线上， c2 4b2 c2 c 则 1，故 5，即 e 5. a2 b2 a2 a 答案： 5 x2 y2 11过点(0,3b)的直线 l 与双曲线 C： 1
8、(a0，b0)的一条斜率为正值的渐近线 a2 b2 平行，若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b，则双曲线 C 的离心率的最大值是 _ b b 解析：根据题意知，直线 l 的斜率为 ，所以直线 l 的方程为 y x3b，因为双曲线右 a a b b 支上的点到直线 l 的距离恒大于 b，所以直线 y x3b 与直线 y x 的距离大于等于 b，即 a a 3ab c b，所以 3，即 e3，所以双曲线的离心率的最大值为 3. a2b2 a 答案：3 y2 12(2016浙江高考)设双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上， 3 且F1PF2为锐角三
9、角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_ 解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PF2x 轴时，|PF1| |PF2|有最大值 8；当P 为直角时，|PF1|PF2|有最小值 2 7.因为F1PF2为锐角三角形，所 以|PF1|PF2|的取值范围为(2 7，8) 答案：(2 7，8) 三、解答题 13(2017昆明模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心率为 2， 且过点(4， 10)点 M(3，m)在双曲线上 (1)求双曲线的方程； (2)求证： MF1 MF2 0； 4 (3)求F1MF2的面积 解：(1)e 2，则双曲线的实轴、虚轴相等
10、 可设双曲线方程为 x2y2. 双曲线过点(4， 10)， 1610，即 6. 双曲线方程为 x2y26. (2)证明：设 MF1 (2 33，m)， MF2 (2 33，m) MF1 MF2 (32 3)(32 3)m23m2， M 点在双曲线上， 9m26，即 m230， MF1 MF2 0. (3)F1MF2的底|F1F2|4 3. 由(2)知 m 3. F1MF2的高 h|m| 3， 1 SF1MF2 4 6. 3 3 2 x2 14(2017河南六校联考)已知椭圆 C1的方程为 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别 4 是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦
11、点，O 为坐标原点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA 2， OB 求 k 的取值范围 x2 y2 解：(1)设双曲线 C2的方程为 1(a0，b0)， a2 b2 则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21， x2 故双曲 线 C2的方程为 y21. 3 x2 (2)将 ykx 2代入 y21， 3 得(13k2)x26 2kx90. 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点， 得Error! 5 1 k21 且 k2 . 3 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 6 2k 则 x1x2 ， 13k2 9 x1x2 . 13k2 x1x2y1y2x1x2(kx1 2)(kx2 2) (k21)x1x2 2k(x1x2)2 3k27 . 3k21 又 OA OB 2，即 x1x2y1y22， 3k27 3k29 2，即 0， 3k21 3k21 1 解得 k23. 3 1 由得 k21， 3 3 3 故 k 的取值范围为(1， 3)( ，1). 3 6