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1、高考达标检测（六十）不等式证明 1 1 1 100 1设 a，b，c为正数且 abc1，求证：(aa ) 2(bb )2(cc )2 . 3 1 1 1 证明：(aa ) 2(bb )2(cc )2 1 1 1 1 (121212) 2 2 2 3 (aa ) (bb ) (cc ) 1 1 1 1 31(aa )1(bb )1(cc )2 1 1 1 1 1 1 1 1 1（ ） 2 1(abc)（ ）2 3 a b c 3 a b c 1 100 (19)2 . 3 3 即原不等式成立 2(2017大连双基测试)已知 x，y是两个不相等的正实数，求证：( x2yxy2 )( xy2 yx2
2、 )9x2y2. 证明：因为 x，y是正实数， 所以 x2yxy233 x2yxy23xy， 当且仅当 x2yxy2，即 xy1 时，等号成立； 同理：xy2yx233 xy2yx23xy， 当且仅当 xy2yx2，即 xy1 时，等号成立 所以(x2yxy2)(xy2yx2)9x2y2， 当且仅当 xy1 时，等号成立 因为 xy， 所以( x2yxy2 )( xy2yx2 )9x2y2. 3已知 x，yR，且| x |0， 0， 1x2 1y2 1 1 2 . 1x2 1y2 1x21y2 故要证明结论成立， 2 2 只要证明 成立 1x21y2 1xy 即证 1xy 1x21y2成立即可
3、 1 (yx)20，有2xyx2y2， (1xy )2(1x2 )(1y2 )， 1xy 1x21y20. 不等式成立 2 1x21y2 法二：(综合法) 1 1 2 1x2 1y2 2x2y2 22|xy| 1|xy|， 2 2 1 1 2 2 ， 1x2 1y2 1|xy| 1xy 原不等式成立 4设函数 f(x)| x4 | x3 |，f(x)的最小值为 m. (1)求 m的值； (2)当 a2b3cm(a，b，cR)时，求 a2b2c2的最小值 解：(1)法一：f(x)| x4 | x3 | (x4)(x3) |1， 故函数 f(x)的最小值为 1，即 m1. 法二：f(x)Error
4、! 当 x4 时，f(x)1；当 x1；当 3x4 时，f(x)1，故函数 f(x)的最小 值为 1，即 m1. (2)( a2b2c2)( 122232 )( a2b3c )21， 1 故 a2b2c2 ， 14 1 1 3 当且仅当 a ，b ，c 时取等号 14 7 14 1 故 a2b2c2的最小值为 . 14 5(2017云南统一检测)已知 a是常数，对任意实数 x，不等式| x1 | 2x |a | x1 | 2x |都成立 (1)求 a的值； 1 (2)设 mn0，求证：2m 2na. m22mnn2 解：(1)设 f(x)| x1 | 2x |， 则 f(x)Error! f(
5、x)的最大值为 3. 对任意实数 x，| x1 | 2x |a都成立，即 f(x)a， a3. 2 设 h(x)|x1|2x|， 则 h(x)Error! 则 h(x)的最小值为 3. 对任意实数 x，| x1 | 2x |a都成立，即 h(x)a， a3. a3. (2)证明：由(1)知 a3. 1 1 2m 2n(mn)(mn) ，且 mn0， m22mnn2 mn2 1 (mn)(mn) mn2 1 33 mnmn 3. mn2 1 2m 2na. m22mnn2 6(2017吉林实验中学模拟)设函数 f(x)| xa |. (1)当 a2 时，解不等式 f(x)4| x1 |； 1 1
6、 (2)若 f(x)1 的解集为0,2， a(m0，n0)，求证：m2n4. m 2n 解：(1)当 a2 时，不等式为| x2 | x1 |4， 7 当 x2 时，不等式可化为 x2x14，解得 x ； 2 当 1x2 时，不等式可化为 2xx14， 不等式的解集为； 1 当 x1 时，不等式可化为 2x1x4，解得 x . 2 1 7 综上可得，不等式的解集为( ，2，). 2 (2)证明：f(x)1，即|xa|1， 解得 a1xa1，而 f(x)1 的解集是0,2， Error!解得 a1， 1 1 所以 1(m0，n0)， m 2n 1 1 所以 m2n(m2n)(2n) m m 2n
7、 m 2n 2 22 4， 2n m 2n m 当且仅当 m2，n1 时取等号 3 7(2017合肥模拟)已知 a0，b0，记 A a b，Bab. (1)求 2AB的最大值； (2)若 ab4，是否存在 a，b，使得 AB6？并说明理由 解：(1) 2AB 2aa 2bb 2 2 (a 2) 2( b 2) 211， 1 当且仅当 a b 时等号成立， 2 即 2AB的最大值为 1. (2)ABab a b2 ab2 ab，因为 ab4， 所以 AB42 26， 所以不存在这样的 a，b，使得 AB6. 8(2016西安质检)已知函数 f(x)| x1 |. (1)解不等式 f (2x)f (x4)8； fab b (2)若|a|f (a ). 解：(1)f (2x)f (x4)| 2x1 | x3 | Error! 10 当 xf 等价于 f(ab)|a| f ， |a| (a ) (a ) 即| ab1 | ab |. 因为| a | 0， 所以| ab1 | ab |. 故所证不等式成立 4