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1、1,第七节 定积分的物理应用,一、变力沿直线作功,二、液体对薄板的侧压力,第五章,三、引力 (自学),2,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 。,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,一、变力沿直线作功,3,例1. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常数),如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。,解：,当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx,于是外力做功元素 dW= kxdx,而弹簧拉伸6cm，,从而,4,例2.直
2、径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体 积缩小一半，问需要做多少功？,解：建立坐标系如图所示，因为温度不变，,当圆柱体的高减少xcm时的压强为,是定值。,5,解:,则木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？,设n次击入的总深度为h厘米,n次锤击所作的总功为,假如钉子钉入木板的深度为xcm,而每次锤击所作的功相等,所以n次击入的总深度为,第n次击入的深度为,6,例4.,
3、试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图。,任取一小区间,这薄层水的体积元素,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( kJ ),设水的密度为,一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,7,作多少功 ?,内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需,例5. 有一半径为 4 米开口向上的半球形容器, 容器,解: 取坐标原点在球心, x轴垂直向下建立坐标系,8,例6. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？,相应于区间x，x+dx的球体中的薄片(球台)的体积约为,当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的
4、路程为R+x，,解：建立坐标系如图所示。,克服重力做功为,由于球的比重与水相同，,球的这一部分的由x提升到水面不做功。,奇函数,9,二、液体对薄板的侧压力,压力=压强受力面积,= g h受力面积,例7., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力。,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,小窄条上各点的压强,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,10,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,11,例8. 有等腰梯形水闸, 上底长10m, 下底6m, 高20m。 试求当水面与上底相齐时, 闸门一侧
5、所受的水压力。,解：建立坐标系如图所示。,直线AB的方程为,闸门上对应于区间x，x+dx,窄条形所受的压力约为,12,例10. 有等腰梯形水闸, 上底长6m, 下底2m, 高10m。 试求当水面位于上底下2 m时, 闸门所受的水压力。,解：建立坐标系如图所示。,直线AB的方程为,闸门上对应于区间x，x+dx,窄条形所受的压力约为,13,例11. 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 于水面且离水面的距离为h，求闸门所受的压力。,解：建立坐标系如图所示。,椭圆的方程为,于是窄条所受的水压力约为,y,由题设，h b,在y轴任取区间 y，y+dy,椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy,则所求水压力为,奇函数,14,15,例. 设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？,解：,任取一小区间x, x+dx，,则直线AB的方程为,建立坐标系如图所示。,这薄层水的体积元素为,把这一部分水吸出所需做的功元素为,16,例. 一底为10cm, 高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地 沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离 水面3cm时, 试求它的一个侧面所受的水压力。,解：建立坐标系如图所示。,直线AB的方程为,