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1、正切函数的诱导公式 整体设计 教学分析 正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后 有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升, 同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没 有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在 研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思 维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而 且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的
2、机会.教学过程中,教师不要侵占了学生 这一空间. 我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数 时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察 图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教 科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像 和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并 使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题 的方法. 我们已经知道正、余弦函数的
3、概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把 锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出 正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式,通过单 位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像上观察总结出正切函数的性质,归纳出正切函 数的诱导公式. 教学方法上本着以人为本的教学理念及充分发挥学生主动性,使学生成为课堂的主体的教 学原则,遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律,通过学生的自主探索,探究出正切 函数的诱导公式;在此过程中体现学生之间、师生之间的合作探究,互相帮助的团队精神,使学 生的内在潜能得以挖掘
4、;通过例题的分析,使学生分析问题及严密推理能力得以提高,让学生体 会到探究发现的乐趣,同时发现数学不但美妙而且神奇,并在此过程中体验成功后的喜悦. 三维目标 通过观察正切函数的图像,掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能,养成善于用 数形结合的思想理解和处理问题;通过绘图,观察,类比推理,探索知识,能学以致用,结合图像 分析得到正切函数的诱导公式. 会用联系的观点看问题,激发学生的学习积极性,培养学生分析问题、解决问题的能力,让 学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲 而不舍的钻研精神,以及尊重客观规律,懂得实践是认知的源泉,从而发现数学美,体
5、验成功后 的喜悦. 重点难点 教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用. 教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和证明,提高解决综合问题的能 力. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 1 思路 1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与 性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上 看出来吗？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公 式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课. 思路 2.设置情景,先让学生计 算 tan 3,tan(- 3),ta n
6、 2 3 , tan 4 3 , tan 5 3 , tan 7 3 (它们分 别 是 3 ,- 3 ,- 3 , 3 ,- 3 , 3 )的值.观察数值并猜想结论,然后通过正切函数图像进一步 来验证,这种思路比较符合学生的思维特点,也是一种不错的选择. 推进新课 新知探究 提出问题 计 算:tan 3,tan(- 3),ta n 2 3 , tan 4 3 , tan 5 3 , tan 7 3 ( 它们分别是 3 ,- 3 ,- 3 , 3 ,- 3 , 3 ), 类 比 正 弦 、 余 弦 函 数 的 诱 导 公 式 , 猜 想 角 与 2+,2-,-,-,+ 的正切函数值的关系. 画出
7、正切函数图像, 如图 1, 类比正弦、余弦函数的诱导公式, 观察归纳角 与 2+,2-,-,-,+ 的正切函数值的关系. 角 与角 2 有怎样的关系？ 类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？ 学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问 题？ 活动: :学生完成问题的计算后,心中就已经有了结论;然后教师让学生动手画出正切函数图像, 以加强学生对正切函数图像的感知;实际上,学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜想进 行进一步观察、思考、归纳、验证的过程.教师适时地演示课件,动态演示函数 ytanx 与 y=tan(2+x),y=tanx
8、与 y=tan(-x),y=tanx 与 y=tan(2-x),y=tanx 与 y=tan(-x),y=tanx 与 y=tan(+x)的图像,让学生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而 归纳得出正切函数以下的诱导公式: 图 1 tan(2+)tan;tan(-)=-tan; tan(2-)-tan;tan(-)-tan; tan(+)tan. 我们可以验证,无论角 是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的;利用我们学习过的 诱导公式很容易证明以下公式: 2 tan( 2 +)=cot;tan( 2 -)=cot. 以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角 可以为使得
9、等式两边都有意义的任 意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用 三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示: 要求学生熟记 2,-, 2 的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮 助我们把任意角化到0,360)范围内,进而找到锐角,利用这些熟知角进行化简、求值或证 明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀. 我们最熟悉的三角函数值是角在 0到 90之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将 0 到 360之内的角化为 0到 90之间的角来求它的三角函数值,对于任一 0到 360的角 , 有四种可能(其中 为
10、不大于 90的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用. = , 180 , 180 , 360 , 当 当 当 当 0,90), 90,180), 180,270), 270,360). 应用示例 例 1 若 tan= 2 3 ,借助三角函数定义求角 的正弦函数值和余弦函数值. 活动: :三角函数诱导公式至此已经学完,本例目的是让学生回顾任意角的三角函数定义,对于三 角函数定义教材上是分两次完成的,切函数与弦函数分别进行,通过本例要让学生明确三角函 数定义中点 P 的任意性;本例是一道基本概念题,可先让学生回忆任意角三角函数定义及正弦、 余弦、正切在各个象限的符号,养成求值先看角所在象限的习惯
11、;然后由学生自己独立完成,必 要时教师给予点拨. 解: :tan 2 3 0, 是第一象限或第三象限的角. (1)如果 是第一象限的角,则由 tan 所以 x3,y2. 2 3 可知,角 终边上必有一点 P(3,2). r|OP| 13 ,sin y x 213 13 ,cos (2)如果 是 第三象限角,同 理可得 sin y x - 213 13 ,cos 点评: :解完此题后教师可就此点拨学生,利用定义解题是非常重要的一种解题方法,而且对于本 章来说,认识周期现象、将角推广及引入弧度制后就学习三角函数的定义,以后的其他内容都是 在任意角三角函数定义的基础上展开的,所以说三角函数的定义在三
12、角函数内容中显得尤为重 要,要让学生熟练掌握利用定义解题的方法. 变式训练 (2007 北京)已知 costan0,那么角 是 ( ) .第一或第二象限角 .第二或第三象限角 .第三或第四象限角 .第一或第四象限角 答案:C 3 例 2 化简: tan(2 ) t a n ( 3 ) tan( ) tan(3 ) t a n ( ) . 活动: :本例是应用正切函数诱导公式的基础题,解答此题时学生可能需要查看诱导公式,思考题 中各个式子该用所学的哪个公式进行化简,教师提醒学生注意:对于诱导公式应当在理解的基 础上记忆它,不要死记硬背公式,要让学生学会利用单位圆或图像来帮助记忆,待熟悉各个公式
13、的作用后,选择最佳适用公式,迅速解题. 解:原式 tan( tan ) ( tan) tan tan( ) tan( ) tan( ) tan ( tan)( tan) 1 tan . 点评: :化简三角函数式是三角函数中很重要的一种题型,其要求是: 能求出值的应求出值;使 三角函数种数尽量少; 使项数尽量少; 尽量使分母不含三角函数; 尽量使被开方数中不含 三角函数; 次数尽量低. tan( 2 ) sin(2 ) cos(6 ) 3.求证: tan ( cos) sin(5 ) . 活动: :本节作为三角函数诱导公式的最后一节课,应有巩固、总结、提高的成分,而且三角函数 诱导公式的主要应用
14、在于对三角函数式进行求值、化简与证明;对于利用诱导公式证明三角函 数式,一般的思路是化简较繁的一边,使之等于另一边,当然也可以两边都化简,还有分析法等, 教师提醒学生不要套用固定模式,要具体问题具体分析,灵活解题.本例还需用到正弦、余弦的 诱导公式,可让学生自己探究解决. tan(2 ) sin(2 ) cos(6 ) tan()sin() cos() 证明:左边 (cos) sin(5 ) (cos) sin( ) tan =右边.所以,原式成立. sin cos tan cos sin 点评: :解完此题后,教师与学生一起总结规律,证明三角函数恒等式,类型较多方法也较多,这里 仅就常规通法
15、略做练习,目的是熟练掌握三角函数的诱导公式,不必加大训练难度或加大题量. 变式训练 1.设 tan(+ 8 7 )=a,求: 15 13 sin( ) 3 cos( ) 7 7 20 22 sin( ) cos( ) 7 7 的值. 解法一: :tan(+ 8 7 )=tan+(+ 7 )=tan(+ 7 )=a, 原式= sin (2 ( ) 3cos 2 ( 7 7 sin 3 ( ) cos 3 ( ) 7 7 ) = sin( ) 3 cos( ) 7 7 sin( ) cos( ) 7 7 = tan( tan( ) 3 7 ) 1 7 3 1 4 解法二: :原式= 8 sin (
16、 ) 7 8 sin 4 ( 7 8 3cos 3 ( ) 7 8 ) cos 2 ( ) 7 = 8 8 sin( ) 3 cos( ) 7 7 8 8 sin( ) cos( ) 7 7 = tan( tan( 2.已知 tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求 1 cos( ) 的值. 解:由 tan=-a20,|cos(-)|=-cos0 即 cos0,可知角 的终边在第二象限或 x 轴的非正半轴上.若角 的终边在第二象限,即 cos0 时, 1 cos( ) = 1 a4 ;若角 的 终边在 x 轴的非正半轴上,即 a=0 时, 1 cos( ) =- 1 cos =1.
17、综合上述两种情况可得 1 cos( ) = 1 a4 . 点评: :一个实数的平方不一定是正数,可能是零,因此,本题不能漏掉角 的终边在 x 轴的非正 半轴上的情形.而由于 tan 存在,这就决定了角 的终边不在 y 轴上,即 cos 不为零.本题 很容易得到以下错解: tan(-)=a2,tan=-a20. |cos(-)|=-cos0,cos0. 是第二象限角. 又 cos(+)=-cos= 1 1 tan 2 = 1 1 a 4 , 1 cos( ) = 1 a4 . 知能训练 课本本节练习 1-4. 课堂小结 让学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？在本
18、 节课的学习过程中,你的探究能力表现的如何？你对本节课学习的深刻体会有哪些？教师在此 基础上进行画龙点睛:在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简、证明中,使用了转化的数学 思想,对角进行适当的变换,使之符合诱导公式中角的结构特征,培养了我们思维的灵活性,在 发现正切函数诱导公式的过程中,提高了探究能力.要求熟记并灵活运用三角函数的诱导公式. 要将本节知识纳入系统之中,从总体上把握诱导公式. 作业 课本习题 16 A 组 8、10. 设计感想 5 本节教案设计主线是:始终抓住以类比思想,数形结合思想,让学生在巩固原有知识的基础 上,通过类比,结合图形,由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应
19、用,使新旧知识点有 机地结合在一起,学生对新知识也较易接受;同时通过多媒体教学,使学生通过对图像的观察,对 知识点的理解更加直观、形象,提高学生的学习兴趣,教学过程流畅,符合高中课程标准理念. 本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思 想的渗透,合理运用各种教学课件,让学生学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运 用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养,也有利 于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 备课资料 备用习题 1.若 tan(+)-2,则 tan(3-)的值为
20、( ) A.2 B.2 C.0 D.-2 2.sin600+tan240的值是( ) A. 1 2 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 3.若 tan( 5 3 -)=-5,则 tan( 3 +)的值是 ( ) A.5 B.-5 C.5 D.不确定 4.化简 sin(180 ) cos(360 ) sin(180 ) cot( 180 ) . 5.化简 sin(n cos(n ) ) (nZ Z)所得的结果是( ) A.tann B.-tann C.tan D.-tan 6.已知 f()= sin( ) cos(2 sin( ) tan( ) ) . (1)求 f(); (2)若 是
21、第三象限角,且 cos(- (3)若 =-1 860,求 f()的值. 参考答案: : 1.A 2.C 3.A 3 2 )= 1 5 ,求 f()的值; 4. .解:cot(-180)=cot-(180+)=-cot(180+)=-cot, sin(-180-)=sin-(180+)=-sin(180+)=-(-sin)=sin, 原式= ( sin) cos (cot) sin cos cot =sin. 5.C 6.解:(1)f()= sin cos sin tan =-sin; 6 (2)由题意知 sin=- 1 5 ,由(1)的结果,所以 f()= 1 5 ; (3)根据(1)的结果知, f(-1 860)=f(-6360+300)=-sin(-6360+300)=-sin300=sin60= 3 2 . 7