《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦导学案苏教版必修420.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦导学案苏教版必修420.wps（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3 31.11.1 两角和与差的余弦 课堂导学 三点剖析 1.两角和与差的余弦公式的应用 【例 1】化简下列各式. （1）sin70cos25-sin20sin25; （2）cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin(170-). 思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式， 再利用公式解题. 解：（1）原式=cos20cos25-sin20sin25 =cos(20+25)=cos45= 2 2 . (2)原式=cos(70+)cos(10+)+sin(70+)sin180-（10+） =cos(70+)cos(10+)+sin(70+)
2、sin(10+) =cos（70+）-(10+) =cos60= 温馨提示 1 2 . 在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系 数作为特殊值转化为特殊角. 2.两角差的余弦公式的探索与证明 【例 2】已知 sin= 3 5 15 17 ，cos= ，求 cos（-）的值. 思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求 cos、 sin.由条件可知，只要对 、 所处的象限进行讨论即可. 解：sin= 3 5 0， 为第一、二象限角. 4 当 为第一象限角时，cos= ； 5 4 当 为第二象限角时，cos=- . 5 15
3、cos= 0， 17 为第一、四象限角. 8 当 为第一象限角时，sin= ； 17 8 当 为第四象限角时，sin=- . 17 cos（-）=coscos+sinsin， 当 、 均为第一象限角时， 1 cos（-）= 4 5 15 17 + 3 5 8 17 = 84 85 ； 当 为第一象限角， 为第四象限角时， cos（-）= 4 5 15 17 + 3 5 8 （- 17 ）= 36 85 ； 当 为第二象限角， 为第一象限角时， cos（-）=（- 4 5 15 17 ） + 3 5 8 （- 17 ）=- 36 85 ； 当 为第二象限角， 为第四象限角时， cos（-）=（-
4、 温馨提示 4 5 15 17 ） + 3 5 8 - 17 =- 84 85 . 解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标. 已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角 所在的象限时，一般要进行分类讨论. 3.两角和与差的余弦公式的综合应用 【例 3】已知 cos（- 求 cos 2 的值. 2 ） =- 3 5 ，sin（ 2 12 13 -）= ，且 （ 2 ， ），（ 0， 2 ）， 思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条 件，盲目地看 cos 无法求.为此寻求已知条件中角 - 、 - 与欲求式中角 2 2
5、 2 2 的关系，不难发现 =（- ）-（ -），这样将 cos+ 的值转化为 cos(- 2 2 2 2 2 （ -）的值，可利用两角差的余弦公式求得. 2 解： ，0 ， 2 2 3 ，0 ， . + 4 2 2 2 4 2 2 3 - ，- - ， . 4 2 4 2 2 4 2 4 3 12 又 cos（- ）=- ，sin（ -）= . 2 5 2 13 4 5 sin（- ）= ，cos（ -）= . 2 5 2 13 cos+ =cos（- ）-（ -） 2 2 2 =cos（- ）cos（ -）+sin（- ）sin（ -） )- 2 2 2 2 3 5 4 12 5 4 12
6、 15 48 33 =（- ） + = . 5 13 5 13 13 5 13 65 65 65 温馨提示 像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已 “”知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作 角的变换 . 2 各个击破 类题演练 1 1 求值. （1）cos24cos36-sin24sin36； （2）cos80cos35+cos10cos55； （3）sin100sin（-160）+cos200（-280）； （4）sin347cos148+sin77cos58. 解：（1）原式=cos（24+36）=cos60= 1 2 ； （2）原式=cos
7、80cos35+sin80sin35=cos（80-35）=cos45= 2 2 ； （3）原式=sin（180-80）sin（20-180）+cos（20+180）cos（80-360） =sin80（-sin20）+（-cos20）cos80 =-sin80sin20-cos80cos20 =-（cos80cos20+sin80sin20） =-cos（80-20）=-cos60=- 1 2 ； （4）原式=sin（-13+360）cos（180-32）+sin77cos58 =sin（-13）（-cos32）+sin77cos58 =-sin13（-cos32）+sin77cos58 =
8、cos77cos32+sin77sin32 =cos（77-32）=cos45= 2 2 . 变式提升 1 1 求值. （1）cos（-15）；（2）cos75. 解：（1）cos（-15）=cos15=cos（45-30） =cos45cos30+sin45sin30= 6 4 2 ； （2）cos75=cos（45+30）=cos45cos30-sin45sin30= 6 4 2 . 类题演练 2 2 已知锐角 、 满足 sin= 5 5 ，cos= 310 10 . （1）求 cos（-）的值； （2）求 + 的值. 解：（1）sin= 5 5 ， 为锐角， 3 cos= 1 1 sin
9、2 1 = 5 2 5 5 . 又cos= 310 10 ， 为锐角， sin= 9 10 1 cos2 1 . 10 10 cos（-）=coscos+sinsin =2 5 5 310 10 + 5 5 10 ； 7 2 10 10 （2）由上可知， cos（+）=coscos-sinsin = 2 5 3 5 10 10 - 5 5 10 2 . 10 2 又（0， 2 ），（0， 2 ）， +（0，）. += 4 . 变式提升 2 2 12 3 已知 sin= ，cos=- ，、 均为第二象限角，求 cos（-）、cos（+）. 13 5 12 解：由 sin= ， 为第二象限角， 1
10、3 12 5 cos= 1 sinh 1 ( )2 . 13 13 又由 cos=- 3 5 ， 为第二象限角， 3 sin= 1 cos2 1 ( )2 = 5 4 5 . 5 3 12 4 63 cos（-）=coscos+sinsin=（- ）（- ）+ = ， 13 5 13 5 65 5 3 12 4 33 cos（+）=coscos-sinsin=（- ）（- ）- =- . 13 5 13 5 65 类题演练 3 3 已知 cos= 1 7 ,、(0, 2 ),cos(+)= 11 ,求 cos. 14 4 解：cos= 1 7 ,(0, 2 ), sin= 4 3 1 cos2
11、 . 7 又、(0, ),+(0,), 2 11 且 cos(+)= . 14 sin(+)= 11 5 3 1 ( )2 . 14 14 cos=cos（+）- =coscos(+)+sinsin(+) =1 7 ( 1 1 )+ 14 4 3 7 5 3 14 =1 2 . 变式提升 3 3 已知 3 sin sin (1) 5 4 cos cos (2) 5 求 cos(-)的值. 9 解：平方得 sin2+2sinsin+sin2= 25 16 平方得 cos2+2coscos+cos2= . 25 以上两式相加得， 2+2（coscos+sinsin）=1, 2cos(-)=-1, . cos(-)=- 1 2 . 5