《高中数学第四章定积分4.1定积分的概念曲边梯形的面积教案北师大版选修2_220170927364.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第四章定积分4.1定积分的概念曲边梯形的面积教案北师大版选修2_220170927364.wps（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、曲边梯形的面积 一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的 思想方法。 二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “”以直代曲 的思想的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1 1、创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么， 如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际 生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步 体会定积分的思想及其应用价值。
2、一个概念：如果函数 y f (x) 在某一区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把 函数 y f (x) 称为区间 I 上的连续函数（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2 2、新课探析 问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲 线 y f (x) 的 一 段 ， 我 们 把 由 直 线 x a , x b(a b) , y 0和曲线 y f (x) 所围成的图形 称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积？ 例题：求图中阴影部分是由抛物线 y x2 ，直线 x 1以及 x 轴所围成的平面图形的面积 S。 思 考：（1“”）曲边梯形与 直边图形 的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面
3、积 S 的问题转化 - 1 - “”为求 直边图形 面积的问题？ 分析：“”“”曲边梯形与 直边图形 的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段， 直边图形 的所有 边都是直线段“”以直代曲 的思想的应用 y y y x x x 1 1 1 y x 2 O 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 把区间0 ,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形 “以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似 值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值分割越细，面积的近似值就越精确。 当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S
4、 S也即：用划归为计算矩形 面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积 解： （1）分割 在区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个点，将区间0 ,1等分成 n 个小区 间： 1 0 , n ， 1 2 , n n ， n 1 ,1 n 记 第 i 个 区 间 为 i 1 i , (i 1, 2 ,L , n) ， 其 长 度 为 n n i i 1 1 x n n n 分别过上述 n 1个分点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形， 他们的面积分别记作： - 2 - S ， S ， S 显然， 1 2 n n S S i i1 （2）近似代替 f x x ，如图所示，当 n 很大，即 x 很小
5、时，在区间 i 1 , i 记 2 n n 上，可以认为函数 f x x 的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 i 1 处的函数 2 n 值 f 1 i n ，从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如 图）这样，在区间 i 1 i , n n 上，用小矩形的面积 S 近似的代替 “，即在局部范围内 以 S i i 直代取”，则有 1 1 i i 2 S S f g x g x i i n n i 1 1 2 g (i 1, 2,L ,n) n n （3）求和：由，上图中阴影部分的面积S 为 n n n n i 1 i 1 1 2 g g S
6、 S f x n i n n n i1 i1 i1 1 1 1 n 1 1 2 2 1 1 n 3 n 1n2n 1 6 = = 0 g g L g = 1 2 L n 1 = 2 2 2 = n n n n n n 3 1 1 1 1 1 3 n 2n ，从而得到 S 的近似值 1 1 1 S S 1 1 n 3 n 2n （4）取极限：分别将区间0 ,1等分 8，16，20，等份（如图），可以看到，当 n 趋向于无 穷大时，即 x 趋向于 0 时， 1 1 1 1 1 S n 3 n 2n 趋向于 S ，从而有 n i 1 1 1 1 1 1 g S S f lim lim lim 1 1
7、 n n n n n n 3 n 2n 3 i1 从数值上的变化趋势： - 3 - 3 3求曲边梯形面积的四个步骤: :第一步：分割在区间a , b中任意插入 n 1各分点，将它 们等分成 n 个小区间x x i 1, 2 ,L , n，区间x x 的长度 xi xi xi1 ，第二步： 1 , 1 , i i i i “近似代替， 以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积 的近似值第三步：求和第四步：取极限。 说明：1归纳以上步骤，其流程图表示为：分割 以直代曲 求和 逼近 2最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 练习：课本 P76练习题：设 S 表示由曲线 y x ，x=1，以及 x 轴所围成平面图形的面积。 四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割 以直代曲 求和 逼近 “（ 以直 ”代曲 的思想） 五、教学后记 - 4 -