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1、专题51 不等式 基本不等式1 【考点讲解】一、具本目标：基本不等式： .（1） 了解基本不等式的证明过程.（2） 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考点剖析：利用基本不等式求函数的最值.备考重点：含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用二、知识概述：基本不等式1.如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.推论：（）.2.如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论： （，）；.3. .【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合
2、法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解注意：形如yx(a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解 3.（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定
3、、三相等”的条件“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值“三相等”是说各项的值相等时，等号成立（2)多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.4.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式，（1），当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次
4、还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.常见题型：1.利用基本不等式证明：已知、都是正数，求证： 2.利用基本不等式求最值：（1）已知求函数的最小值；拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值.【解析】（1）由.,当且仅当,即时,函数取得最小值.（2）已知,求函数的最大值.【解析】由得,当且仅当,即时,函数取得最大值.【真题分析】1.【2017山东，文】若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为 .【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线过点（1,2）可得,所以.当且仅当时等号成立.【答案】2.【2017天津，理12文13】若，
5、则的最小值为_.【答案】3.【2019优选题】若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_【解析】本题考点是基本不等式的运用.(1)方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5.当且仅当，即x1，y时，等号成立，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.【答案】54.【优选题】已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为3，则m_.【答案】5.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【解析】本题考
6、点是二次函数与基本不等式的综合应用.时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，抛物线的开口向上，根据题意可得即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.【答案】B6.【2016优选题】已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是() A9 B8 C4 D2【答案】A7.【2016优选题】设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_【解析】本题考点是数列与基本不等式的综合应用问题.因数数列an为等差数列，所以通项与和分别为：ana1(n1)dn，Sn，(n1)(21)，
7、当且仅当n4时取等号的最小值是. 【答案】8.【2017优选题】 若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为 .【解析】本题考点是圆与基本不等式的综合应用.直线平分圆周，则直线过圆心，所以有（当且仅当时取“=”）.【答案】9. 【2017优选题】 若两个正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】10.已知x,y均为正数,且xy,求证:. 【解析】本题考点是基本不等式的具体应用，注意拚凑法的应用.因为x0,y0,xy0, = , 所以 【模拟考场】1.已知，且，则的最小值为( )A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B2.设，若的最小值为（ ）A. B.8 C. D.【答案】
8、D3. 已知函数，若且，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】由已知得：，所以.注意，因为，所以不能取等号.选D.【答案】D4.下列函数中，最小值为2的是（ ）A. B. C. D. 【解析】当 时 ，当 时 ， ，当且仅当时取等号，由于无解，所以； ，当且仅当时取等号，所以选D. 【答案】D5.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C6. 已知，则的最小值为 ( )A. 4 B. 8 C. 9 D. 6【解析】=,当且仅当成立时，等号成立，即。选B.【答案】B7.设，则的最小值为（ ）A. 4 B. 9 C. 7 D. 13【答案】B8.
9、设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值是()A0 B1 C. D3【解析】1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.【答案】B9.若直线mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆的弦长为2，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 6 C. 12 D. 16【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即， ，所以 ，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B【答案】B10.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）A. B. C. D. -4【解析】,当且仅当 时取等号,因此的上确界为,选A.【答案】A11.已知正数满足，则的最小值为_.【答案】2512.设均为正数,且,证明:证明：由得. 由题设得,即. 所以,即. 11