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1、1,实验十二学习目标,矩阵秩的求法 把矩阵化为初等行矩阵 向量组的秩和最大线性无关组 求齐次线性方程组AX=0的基础解系 求非齐次线性方程组AX=b的一个特解,2,12.1 矩阵的秩,矩阵的秩的命令: rank(A) 例1 已知M= 求M矩阵的秩. M=3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8; rank(M) ans= 2,例已知矩阵M 的秩为，求常数t的值 syms t M=3 2 -1 -3;2 -1 3 1;7 0 t -1; det(M(1:3,1:3)；% 提出矩阵M中的前三行前三列 输出结果 -7*t+35，令-7*t+35=0所以t=5 注意：因
2、为远矩阵的秩为所以所有高于阶的子式全为，所以这里取的三阶子式为可解出,12. 矩阵的初等行变换,矩阵的初等行变换命令为: rref(A) 例已知A= ，证明A可逆，并用初等行变换 求A的逆 A=1 2 3;2 2 1;3 4 3; E=eye(3); AE=A,E M=rref(AE) invA=M(:,4, 5, 6),1. 向量组的秩和最大线性无关组,例4 、求向量组a = (1 2 -1 1),b = (0 -4 5 -2),c=(2 0 3 0)的秩并判断是否线性相关？ A= 1 2 -1 1; 0 -4 5 -2;2 0 3 0; rref(A) ans = 1.0000 0 1.5
3、000 0 0 1.0000 -1.2500 0.5000 0 0 0 0 所以得到秩为（非零的行数） 线性相关 注意：向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线性相关；若向量组的秩等于向量组中向量的个数则线性无关,例求向量组a= (1 -1 2 4),b = (0 3 1 2),c=(3 0 7 14),d=( 1 -1 2 0) e=(2 1 5 0) 的最大线性无关组. A= (1 -1 2 4;0 3 1 2;3 0 7 14;1 -1 2 0;2 1 5 0; B=transpose(A); reff(B) ans = 1.0000 0 3.0000 0 -0.5000 0 1.0000
4、 1.0000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 2.5000 0 0 0 0 0 则可以从列中看出a ,b d为最大线性无关组 注意：若要判断两个矩阵是否等价，只需要把两个矩阵 利用初等行变换命令reff都化为最简标准型，若最后 的标准型相同则等价，否则不等价(P114例9),7,1.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系,求齐次线性方程组AX=0的基础解系命令为: null(A) 例6,求解线性方程组 clear A=1 1 -2 -1; 3 -2 -2 2; 0 5 7 3 ;2 -3 -5 -1; D=det(A); X=null(A) 注意：若系数矩阵的秩小于未知数个数，则基
5、础解系存在且有无穷多解：若系数矩阵的秩等于未知数个数，则基础解系不存在只有零解,8,输出结果 D = 0 X = 0.4714 -0.2357 0.4714 -0.7071 注意；此时X为基础解系，并且基础解系中只有一个解向量 而且X不但为基础解系，并且为标准正交基（即正交化，标准化）,程序二 clear A=1 1 -2 -1; 3 -2 -1 2; 0 5 7 3 ;2 -3 -5 -1; D=det(A); A=sym(A); X=null(A) 输出结果 X = 1 -1/2 1 -3/2 注意；此时X为基础解系，但不为标准正交基,12. 5 非齐次线性方程组的特解,非齐次线性方程组中
6、若系数矩阵r(A)和增广矩阵r(A,b)的秩相等，方程组有解，并且若r(A)= r(A,b)n则非齐次线性方程组无穷多解r(A)= r(A,b)n则非齐次线性方程组有唯一的解；齐次线性方程组中若系数矩阵r(A)和增广矩阵r(A,b)的秩不相等，方程组有无解 （n为未知数的个数）,10,例求解线性方程组 clear A=1 1 -2 -1;3 -2 -1 2;0 5 7 3;2 -3 -5 -1; D=det(A) b=transpose(4,2,-2,4); rank(A)； rank(A,b),输出结果 ans = 3 ans = 3 说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为，所以方程组有解继续编
7、程求解 format rat % format是格式化命令，表示以有理格式输出 rref(A,b) 输出结果 1 0 0 2/3 1 0 1 0 -1/3 1 0 0 1 2/3 -1 0 0 0 0 0,说明原非齐次线性方程组化为 说明 为自由未知量， 所以令 这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为 注意：在Matlab7.0以上的版本中，可以用linsolve(A,b)求非齐次线性方程组的一个特解,小结，作业,本节掌握的知识点 12.1矩阵秩的求法 12.2把矩阵化为初等行矩阵 12.3向量组的秩和最大线性无关组 12.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系 12.5求非齐次线性方程组AX=b的一个特解 作业：P145页1 , P155页2，,