应力状态广义胡克定律.ppt

《应力状态广义胡克定律.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应力状态广义胡克定律.ppt（216页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、应力状态,7.1 应力状态概述,7.3 二向应力状态分析解析法,7.4 二向应力状态分析图解法,7.2 二向和三向应力状态实例,7.5 三向应力状态,7.8 广义胡克定律,7.9 复杂应力状态的应变能密度,7-1 应力状态的基本概念,一、什么是应力状态？,三、如何描述一点的应力状态?,二、为什么要研究应力状态?,一、什么是应力状态？,应力的点的概念:,各不相同;,同一截面上不同点的应力,横截面上的正应力分布,同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。,横截面上的切应力分布,结果表明：,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,应力的面的概念,应力的面的概念,各不相同；,

2、过同一点不同方向面上的应力,受轴向拉力作用的杆件，受力之前,表面的正方形,受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。,横截面上没有切应力；,受拉之前,表面斜置的正方形,受力之前,在其表面斜置的正方形在受拉后，正方形变成了菱形。,这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。,应力的面的概念,受扭之前，圆轴表面的圆,轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。,受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？,应力的面的概念,拉中有切,根据微元的局部平衡,切中有拉,根据微元的局部平衡,即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,微元平衡分析结果表明：,不仅横截面上存在应力，斜截面上

3、也存在应力。,应 力,指明,应力的点的概念与面的概念,应力状态:,过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；,请看下列实验现象：, 低碳钢和铸铁的拉伸实验, 低碳钢和铸铁的扭转实验,二、为什么要研究应力状态？,低碳钢拉伸,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁拉伸,两种材料的拉伸试验,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢扭转,铸铁扭转,两种材料的扭转试验,试件的破坏不只在横截面，,有时也沿斜截面发生破坏；,为什么要研究应力状态,不仅要研究横截面上的应力，,而且也要研究斜截面上的应力。,微元,三、如何描述一点的应力状态,微元及其各面上的应力来描述一点的应力状态。,约定:,

4、微元体的体积为无穷小；,相对面上的应力等值、反向、共线;,三个相互垂直面上的应力；,一般空间应力状态,一般平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,一般单向应力状态或纯剪切应力状态,三向应力状态,平面应力状态,一点的应力状态,主单元体,主平面,主应力,常用术语,单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;,约定：,空间（三向）应力状态：,平面（二向）应力状态：,单向应力状态：,应力状态,三个主应力均不为零；,两个主应力不为零；,一个主应力不为零;,提取危险点处应力状态；,本章难点,应力状态是一切应力分析的基础；,1 提取拉压变形杆件危险点的应力状态,单向应力状态,2 提取拉压变形杆件任一点沿斜截面

5、的应力状态,3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态,纯剪切应力状态,4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态,单向应力状态,5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态,平面应力状态,6 提取横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态,纯剪切应力状态,7提取工字形截面梁上一点的应力状态,S平面,7 提取直角拐固定端截面上一点的应力状态,M=FPL,T=FPa,判定变形,铅锤面内弯曲,S平面,8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,练习1 提取危险点的应力状态,2 提取点的应力状态,3 提取危险点处应力状态,4 提取 点的应力状态,5 提取 各点的应力状态,6 提取危险点处应力状态,7 提取

6、危险点处应力状态,8 提取危险点处应力状态,9 提取危险点处应力状态,10 1、2、3、4的应力状态中，哪一个是错误的？,圆柱型压力容器,7-2 二向和三向应力状态实例,球型压力容器,一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为t，内直径为D，tD，内压为p）,圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,轴线方向的应力,横向应力,承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态:,二向不等值拉伸应力状态,二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为t，内直径为D，tD，内压为p）,3、三向应力状态实例,滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态,火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？,1、已知薄壁容器的

7、内压为，内径为D，壁厚为，画出下列各种受力状态下危险点的应力状态。,2、受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中： 。 A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面； C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；,7-3 平面应力状态分析-解析法,本节主要任务,1、方向角与应力分量的正负号约定;,2、微元的局部平衡;,3、平面应力状态中任意方向面上的正应力 与切应力;,4、主应力、主平面，最大切应力;,拉为正,压为负,正应力符号约定,1、方向角与应力分量的正负号约定,使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,切应力符号

8、约定,方向角的符号约定,由 x正向逆时针转到截面外法线x正向为正； 反之为负。,2 微元的局部平衡,截取微元体,截取微元体, 平衡对象, 平衡方程, 参加平衡的量,用 斜截面截取的微元局部,力,微元体平衡,应力乘以其作用的面积；,平衡方程,平衡方程,平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式：,3 平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力,用 斜截面截取，此截面上的应力为,即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了切应力的互等定理。,1、分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。,杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。

9、,平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式,y0，yx0。,当45时，斜截面上既有正应力又有剪应力，其值分别为,在所有的方向面中，45斜截面上的正应力不是最大值，而切应力却是最大值。,轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹45角的斜面上；,这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。,因此，可以认为屈服是由最大切应力引起的。,表明：,2、分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。,圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯剪应力状态。,平面应力状态任意斜截面上的正应力和切应力公式,xy0,当45或 45时，斜截面上只有正应力没有切应力。,进行铸铁圆试样扭转实验时，正

10、是沿着最大拉应力作用面（即45螺旋面）断开的。, 45时(自x轴逆时针方向转过45)，拉应力最大；, 45时(自x轴顺时针方向转过45)，压应力最大;,因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。,纯剪切应力状态的主应力及主平面方位,主平面、主应力与主方向,平面应力状态的三个主应力,面内最大切应力,过一点所有方向面中的最大切应力,4、主应力、主平面 ，最大切应力,主平面、主应力与主方向,切应力=0的方向面为主平面。,上式对 求一次导数，并令其等于零；,解出的角度,角度与 0 完全重合。,求正应力的极值面,主应力是所有方向面上的正应力的极值。,表明,正应力的极值面与主平面重合；,正应力的极值

11、就是主应力；,对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有切应力作用，这种平面也是主平面。,这一主平面上的主应力等于零。,平面应力状态的三个主应力,将三个主应力代数值由大到小顺序排列;,根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效；,确定失效的形式；,因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。,x-y坐标系,x-y坐标系,主单元体,同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。,用主应力表达的形式最简单也是最本质的。,用主单元体表示一点的应力状态,由此得出另一特征角，用1表示,对求一次导数，并令其等于零；,不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极

12、值。,面内最大剪应力,得到 的极值,上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。,特别指出:,二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。,为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。,考察微元三对面上分别作用着三个主应力（123 0）的应力状态。,过一点所有方向面中的最大切应力,x=3,y=2，xy0,这就是组方向面内的最大切应力。,在平行于主应力1方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与1无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所

13、研究的应力状态可视为一平面应力状态：,过一点所有方向面中的最大切应力,在平行于主应力2方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与2无关。因此，当研究平行于2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,x=1,y=3，xy0。,组方向面内的最大切应力；,过一点所有方向面中的最大剪应力,x=1,y=2，xy0；,在平行于主应力3方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与3无关。因此，当研究平行于3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,组方向面内的最大切应力。,过一点所有方向面中的最大剪应力,一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；,过一点所有方

14、向面中的最大剪应力,例 1,薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D50 mm，壁厚2 mm。外加力偶的力偶矩Me600 Nm，轴向载荷FP20 kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为,求：1圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30的斜截 面上的应力； 2. D点主应力和最大剪应力。,2、确定微元各个面上的应力,1取微元： 围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。,3 求斜截面上的应力,x63.7 MPa，y0， xy一76.4 MPa，120。,三维投影成二维,求斜截面上的应力,3确定主应力与最大剪应力,确定主应力与最大剪应力,D点的最大切应力为,例 2,已知:应力状态

15、如图所示。,试： 1写出主应力1、2、3的表达式； 2若已知x63.7 MPa，xy=76.4 MPa， 当坐标 轴x、y反时针方向旋转=120后至 x、y ，求: 、 。,1.确定主应力,应用平面应力状态主应力公式,因为y0，所以有,又因为是平面应力状态，故有,2.计算方向面法线旋转后的应力分量,x63.7 MPa，y0；,xyyx=76.4 MPa，=120,试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,例题3：一点处的应力状态如图。,已知,（1） 斜面上的应力,=-30,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：

16、,（3）主应力单元体：,1、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取MP）,2、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取MP）,3、求主应力的大小及方向,4、图示中单元体，求,5、x+y=120MPa，=50MPa，求单元体的三个主应力及最大剪应力,6、等腰直角三角形单元体上，二直边上只有剪应力，那么斜边表示的截面上的正应力、剪应力各有多大？,7-4 二向应力状态分析-图解法,一、 应力圆方程,二、 应力圆的画法,三、 应力圆的应用,四、 三向应力状态的应力圆,一、 应力圆方程,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致

17、；,应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；,二、 应力圆的画法,1、点面对应,2、转向对应,3、二倍角对应,点面对应,转向对应,二倍角对应,与二倍角对应,具体作圆步骤,再将上述过程重复一次,在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。,三、 应力圆的应用,信息源,A,B,E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。,1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力,A,B,应力圆和横轴交点的横坐标值。,b,e,2 从应力圆上确定主应力大小,D,b,e,3 从应力圆上确定主平面方位,主应力排序： s1s2 s3,有几个主应力？,确定下列应力圆的主应力,

18、4 从应力圆上确定面内最大切应力,应力圆上的最高点的纵坐标对应 “ 面内最大切应力” 。,与主应力的夹角为45度。,b,e,例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,轴向拉伸时45方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,最大正应力所在的面上切应力一定是零；,b,e,例2：纯剪切状态的主应力,纯剪切状态的主单元体,在纯剪应力状态下，45方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。,例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主单元体。,主应力单元体：,例4：一点处的平面应力状态

19、如图所示。已知,求（1）主应力；（2）绘出主单元体。,（1）作应力圆,（2）确定主应力,半径,因此主应力为：,（3）绘出主单元体。,讨论：,1、本题可用解析法求解吗？,2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以 求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。,4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。,3、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力,四、 三向应力状态的应力圆,只能画出主单元体的应力圆草图,由s2 、 s3可作出应力圆 I,由s1 、 s3可作出应力圆II,I,II,I,

20、由s1 、 s2可作出应力圆 III,s1,II,I,s3,III,s2,微元任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。,tmax,1、求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应 力tmax。,2 求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大剪应力tmax。,3求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大切应力tmax。,应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.,变形体力学 基 础,一、关于应力状态的几点重要结论,结论与讨论,关于A点的应力状态有多种答案，请用平衡的概念分析哪一种是正确的？,二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法,怎样确定C点处的主应力,三、

21、怎样将应力圆作为思考和分析问题的 重要工具，求解复杂的应力状态问题,请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的?,四、关于应力状态的不同的表示方法,五、注意区分两种最大切应力,注意区分面内最大切应力;,所有方向面中的最大切应力 一点处的最大切应力;,最大切应力,已知: 三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。,例 题,试求：主应力及微元内的最大切应力。, 7-5 三向应力状态解析法,作应力圆草图,所给的应力状态中有一个主应力是已知的；,x=20 MPa，xy=40 MPa。,微元内的最大切应力,三个主应力,1、求下列单元体的三个主应力,2、求下列单元体的三个主应力,3、求下列单元体的三个主

22、应力，并作应力圆草图,4、杆件内某点的应力状态如图，求主应力；最大剪应力；画出该点的应力圆草图。,5、杆件内某点的应力状态如图，E200Gpa,u=0.25求主应力；最大剪应力； 最大线应变；画出该点的应力圆草图。,1. 基本变形的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向线应变,2）纯剪切胡克定律, 7-8 广义胡克定律,纵向线应变,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,3、广义胡克定律的一般形式,各向同性、线弹性材料；,适用性,4 平面应力状态的广义胡克定律,5、三个弹性常数之间的关系,讨论,1、,即,2、当 时，即为二向应力状态：,3、当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在

23、最大、最小主应力方向。,一般的二向应力状态的广义胡克定律,请判断下列论述的正确性：, 有应力一定有应变, 有应力不一定有应变, 有应变不一定有应力, 有应变一定有应力,正确应用广义胡克定律,某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关。,承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚。,例1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出 线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。,u,u,（1）提取应变片处的应力状态

24、,K,（2）应用广义胡克定律,（3）计算外力偶m.,3 为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变=350e-6。若已知容器平均直径D500 mm，壁厚10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。,试求：容器所受的内压力。,容器表面各点均承受二向拉伸应力状态。所测得的环向应变不仅与环向应力有关，而且与纵向应力有关。,1、60毫米90毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材料的弹性模量为E200GPa，泊松比为u=0.3。测得A点处-4520010-6。若已知P180KN，求P2？,2、圆轴的直径为D10毫米，材料的弹性模量为E100GP，泊松比0.25，载荷P=2KN，外力偶M

25、=PD/10。求圆轴表面上一点与轴线成30度角的线应变。,3、等截面圆杆受力如图，抗弯截面系数为WZ=6000mm3，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.25，a=0.5m，测得A、B二点的线应变分别为A4104，B3.75104。求外载荷P、M。,4、圆截面直角拐的直径为D10毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测K点与轴线成45度角的线应变为3.9104，求力P？,5、等截面圆杆受力如图，直径为D30毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3，测得A点沿轴向的线应变为A5104，B点与轴线成45度角的线应变为B4.26104。求外载荷M1、M2。,6、大体积刚块上有

26、一圆孔，孔的直径为D5.001厘米。孔内放一直径为5厘米的圆柱，圆柱上承受P300KN的压力，圆柱材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求圆柱内的三个主应力。,7、薄壁圆筒的内径为D60毫米，壁厚1.5毫米。承受的内压为6MP，力偶为M1KN。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求A点与轴线成45度角的线应变。,8、直径为D20毫米的实心轴，受力偶M126N的作用。测定A点与轴线成45度角的线应变为A5104，材料的泊松比0.25。求材料的弹性模量E与剪变模量G。,9、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽60毫米，高100毫米。梁的跨度为L3米，载荷F作用在梁的中点。图示中K点的两个

27、主应变为15104，21.65104。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求主应力1、2、及力F,10、已知矩形截面杆宽b=40mm，高h=2b。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测定A、B二点沿轴向的线应变分别为A100106，B300106。求外载荷P、M。,11、等截面圆轴的直径为D40毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.25。测定A点与轴线成45o角的线应变分别为45-146106，-45446106。求外载荷P、M；如果构件的许用应力为120MP，校核强度。,11、矩形截面悬臂梁的截面宽50毫米，高100毫米。梁长L1米，P20KN。材料的弹性模量为E20

28、0GP，泊松比0.3。求K点与轴线成30度角方向上的线应变。,12、矩形截面简支梁跨度为L，在梁的中性层上贴应变片测得与轴线成角的线应变为，材料的弹性模量为E，泊松比，均已知。求载荷F,13、圆截面杆的直径为D，材料的弹性模量为E，泊松比，A处的两个主应变1、3已知。求力P,14、圆截面杆的直径为D20毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测的构件表面上一点A的三个方向的线应变分别为：轴线方向a320106，与轴线垂直方向b96105，与轴线成45度角方向c565106，求外载荷P、M,15、255的矩形截面钢杆竖放，用应变片测得杆件的上、下表面轴向线应变分别为a=1103，b=0

29、.4103，材料的弹性模量为E200GPa，绘制横截面上正应力的分布图求拉力P及偏心距离e。,1、广义虎克定律i=(i-u(j+k)/E 适用于 。,A：弹性体； B：线弹性体； C：各向同性弹性体； D：各向同性线弹性体；,2、矩形板ABCD，在AD、BC上作用有均匀压力P1，在AB、CD上作用有均匀压力P2，欲使AD、BC二面的相对距离保持不变，那么P1/P2=?,3、材料的弹性模量E，泊松比已知，则最大线应变1=?,4、圆板在受力前画二个圆，受均匀载荷的作用，受力后二圆会变成什麽形状(圆、椭圆)？,5、受扭圆轴上贴三个应变片，实测时应变片的读数几乎是零？,6、工字形截面梁E200GP，在

30、力偶M的作用下测定A处纵向线应变=310-4,那么梁内最大的正应力 。 A：30MP ；B：60 MP； C：120 MP D：180 MP,A,7、在下列说法中哪一个正确？ A：在有正应力的方向必有线应变； B：无正应力的方向必无线应变； C：线应变为零的方向正应力必为零； D：正应力最大的方向线应变也最大；,8、已知单元体的1、2、E、,主应变1、2均已知，那么3？,A：-(1+2) B：-(1+2) /E C：-(1+2) /E D：0,9、现有两个单元体，比较x与y： 。,A：x、y均相等； B：x、y均不等； C：x相等、y不等； D：x不等、y相等。, 体应变,变形前单元体体积：,

31、变形后单元体体积：,单位体积变形：,（体积应变）,利用广义胡克定律：,（体积弹性模量）,（平均正应力）,（体积变形 虎克定律）,讨论：,1、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。,2、因为 ，因此 与取轴方向无关，且三 个相互垂直面上的正应变之和不变。,例如纯剪切应力状态：,3、若 或 ，则 ，即体积不变。但 因此仅当 时，,结论：,纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积 改变与剪应力无关；,但形状有改变，即形状改变与剪应力有关。,1、微元应变能,dy,dx,dz,7-9 复杂应力状态的应变能密度,力与力的作用点的位移,U=dW=,应变能,2、应变比能,体积改变能密度,不改变形状，但改变体积,形状改变比能(畸变能密度),不改变体积，但改变形状,返回到本章目录,