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1、,第二章 多元函数微分学,第一部分主要内容,第二部分典型例题,多元函数的极限,多元函数连续的概念,多元连续函数 的性质,多元函数概念,一、主要内容,第一部分 主要内容,一、偏导数和全微分,二、偏导数的应用,一、偏导数和全微分,(一)偏导数的定义,(二)高阶偏导数,混合偏导数,函数,的二阶偏导数为,(三)全微分的公式,如果函数,可微,则它的偏导数一定存在,且,(四)多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,(五)复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,函数,在对应点,具有连续偏导数,则,复合函数,在点,t,可导,且,定理1 如果函数,及,都在,t,点可导
2、,如果,都在点,对,和,的偏导数，且函数,在对应点,具有连续偏导数，则复合函数,在点,的两个偏导数都存在,且,定理2,具有,分线相加,连线相乘,(六)隐函数的求导法则,则方程,确定一个具有连续的,定理3,设,在,的某邻域中有连续的偏导,数,且,在,点,的某个邻域内总能惟一,导数的隐函数,它满足条件,且,由方程,确定的隐函数,与定理3类似,在,满足相应条件的情况下,对于,有,(一)微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,1 空间曲线的切线与法平面,二、偏导数的应用,其上一点,空间曲线,. 曲面的切平面与法线,点的切平面方程为,法线方程为,在其上,曲面,的,(二)方向导数和梯度的公式,设函
3、数,在点,可微,方向余弦为,方向,则函数,在点,沿方向,的方向导数为,梯度的计算公式,设函数,在空间区域,内具有,一阶连续偏导数，则函数在点,的梯度为,函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数,梯度与方向导数的关系,的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.,(三)多元函数极值,定义 所有一阶偏导数都为零的点，称它为该函数的驻 点.,极值点,注意,驻点,定理1,（必要条件）,设函数,在点,具有偏导数，且在点,处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零,1.无条件极值,即,定理2,（充分条件）,设函数,在点,的某邻域内连续，且有一阶,及二阶连续偏导数，又,则,在点,处是否取得极值的条件如下：,（,1,
4、）,时有极值，,当,时有极大值，,当,时有极小值；,（,2,）,时没有极值；,（,3,）,时可能有极值,也可能没有极值.,.,令,求函数,极值的一般步骤：,(1)解方程组,求出实数解，得驻点.,(2)对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,(3)根据,的符号，判定是否取得极值.,2.条件极值：对自变量有附加条件的极值,拉格朗日乘数法,要求函数,在条件,下的可能,极值点，,先构造函数,其中,为某一常数，可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,二、典型例题,例1,函数,的定义域是,答案:,(1)分母不能为零;(2)负数不能开偶次方;(3)零和负数没有对数;(4)其它,A,例2,设函数,求,解,看成
5、自变量,看成常量),测试点:偏导数,高阶偏导数的求法.,例3,设,为可微函数.,则,.,解,测试点: 复合函数求导法.,例4,设,求全导数,解,测试点 复合函数求导的链式法则.,例5,设,是由方程,所确定的隐函数.求,的全微分.,解,令,故,在点,所以,的全微分为,故,测试点 (1)隐函数求偏导数的方法; (2)全微分的求法; (3)函数在一点的全微分的求法.,故,所以函数,在点,取得极小值,测试点:求极值的方法: (1)求驻点; (2)求驻点处的判别式的值; (3)判定驻点是否为极值点,并判断是极大值点,还 是极小值点.并求出极值.,例7,已知曲面,上点,处的切平面,平行于平面,求,点的坐标
6、.,解,设,点的坐标为,令,曲面方程为,故,曲面在,处切平面的法向量,为使切平面平行于平面,必须且只需,得,代入曲面方程,得,于是,点的坐标为,测试点:求曲面上一点,处的切平面的方法.,要搞清那个曲面,其方程是怎样的?那个点?,切平面的法向量,再应用点法式方程,写出切平面的方程,也可写出法线方程.,例8,求空间曲线,在点,处的切线方程和法平面方程.,解,点对应于,故切线的方向向量,所以所求切线方程为,所求法平面方程为,测试点:求空间曲线的切线和法平面方程的方法.,例9,解,所以问题可化为求,的最短距离,上的点到平面,求旋转抛物面,设抛物面上任意点为,则它,的距离为,且它满足曲面方程,在条件,下的条件极值问题.,到平面,得,令,由方程(3)得,处取得最小值,即必在,根据题意距离的最小值一定存在,且之有惟一的可能,测试点:求条件极值的方法,极值点,故该点必为最小值点.,