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1、工程测量,北京科技大学土木学院 晏剑斌,第六章 测量误差的基本知识,6-1 测量误差概述,测量误差,测量结果不可避免地存在误差！,产生测量误差的原因,1测量仪器,2观测者,3外界条件,等精度观测,非等精度观测,测量错误(粗差),步步有检核,按影响性质分类,1系统误差,2偶然误差,6-1 测量误差概述,系统误差,在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差,水准仪的i角;,水准尺的零点差；,水准尺的倾斜；,水平角观测中的2C;,竖直角观测中的x; ,钢尺量距中的尺长误差;,温度影响；,垂曲；,定线不准；,拉力不准；,处理办法?,1.
2、 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。,2. 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。,3.采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。,6-1 测量误差概述,系统误差,偶然误差,在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，这类误差称为偶然误差或随机误差。,就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律性,而且,随着观测次数的增加,偶然误差的统计规律愈加明显。,例如： 对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差 ( =三角形内角测量值-180 ） 其结果如表5-1，图5-1, 分析三角形内角和
3、的误差i的规律。,6-1 测量误差概述,偶然误差,5-1 测量误差概述,偶然误差,偶然误差的统计特征,1.有限性：在有限次观测中，偶然误差小于一定的限值。,2.渐降性：误差小的出现的概率大,3.对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等,4.抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均值趋于零。,5-1 测量误差概述,偶然误差,5-1 测量误差概述,偶然误差,当n，0时，频率直方图上部的折线变成了一条光滑的曲线，称为正态分布密度曲线或高斯曲线,高斯根据偶然误差的四个特性推导出该曲线的方程式为：,式中为与观测条件有关的参数,6-2 评定精度的标准,怎样来衡量一组等精度观测值的精度？, 频率直方图
4、,能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？,平均误差,方差,标准偏差（中误差）,当n有限时，所求均为估值，测量中常用 m 来表示的估值，并称之为中误差,6-2 评定精度的标准,按观测值的真误差计算中误差,6-2 评定精度的标准,6-2 评定精度的标准,中误差,相对误差,例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的,为此，可用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为“相对误差”）来描述观测的质量，,K = |m|/D 1(D/|m|),前者的相对中误差为 K1=0.02200 110000,后者则为 K2=0.0240 l2000,6-2 评定精度
5、的标准,中误差,相对误差,极限误差,在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差,限=33m,偶然误差的容许值: |容|=22m,6-3 误差传播定理,未知量不可能直接观测，但是一些直接观测量的函数，怎样计算观测值函数的中误差？,和差函数的中误差,设有：Z=XY,则有：Z=XY,设想对X,Y都进行了n次观测，则有：,平方求和得：,Z2=X2 2XY+Y2,即： mZ2 = mX2 + mY2,= 若有： Z=X1X2Xn,则： mZ2 = mX12 + mX22 + + mXn2,6-3 误差传播定理,和差函数的中误差,例1：水准测量时，一站的高差为 h=a-b,
6、mh2= ma2 + mb2 , 设ma=ma=1mm, 则: mh=1.4mm,两次高差之差（变仪器高或双面尺法）=h1-h2,则: m2= mh12 + mh22 ,m=2mm。,综合取m=3mm 限=2m =6mm,例2：求闭合水准测量路线的闭合差fh容,h=h1+ h2 + hn,则： m h2 = mh12 + mh22 + + mhn2,设每一测站的观测条件相同，测站中误差为m=6mm,则： m h2 = nm2 ;,6-3 误差传播定理,和差函数的中误差,倍数函数的中误差,设有：Z=kX,则有：Z=kX,即： mZ2 = k2mX2 mZ= kmX,6-3 误差传播定理,和差函数
7、的中误差,倍数函数的中误差,线性函数的中误差,设有： Z=k1X1 k2X2 knXn,则有： mZ2 = k12mX12 + k22mX22 + + kn2mXn2,例3：距离丈量，独立的进行了n次，一次丈量的中误差为m，求算术平均值的中误差M,6-3 误差传播定理,一般函数的中误差,设有： Z = F (x1，x2 ， ，xn ）,6-3 误差传播定理,一般函数的中误差,例4：测距三角高程h=SsinV，S=1000m5mm,V=1030”,求高差h的中误差mh,解： h=SsinV 则有 dh=sinVdS+ScosVdV,=12.0mm,6-4 等精度直接观测值的最可靠值,设对某未知量
8、进行了一组等精度观测，其真值为X，其观测值分别为l1 ，l2 ， ，ln ，相应的真误差为1 ，2 ， ，n ，则,根据偶然误差的第四特征，有,当n有限时，通常取算术平均值作为等精度观测值的最可靠值,6-4 等精度直接观测值的最可靠值,算术平均值,结论：一组等精度观测值的改正数之和一定为零，即v=0,观测值的改正数,我们把算术平均值与观测值之差，定义观测值的改正数 vi=L-li,6-4 等精度直接观测值的最可靠值,算术平均值,观测值的改正数,用观测值的改正数来计算观测值的中误差,i=li-X,vi=L-li,=i=(L-X)-vi,平方后求和得：,=n(L-X)2-2(L-X)v+vv,6-
9、4 等精度直接观测值的最可靠值,6-5 权,权的概念,现有三组观测值，均为等精度观测,A组： 123.34, 123.39, 123.35； LA=123.360,B组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32; LB=123.333,C组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32; LC=123.356,6-5 权,权的概念,显然有：,观测值LA, LB, LC的权分别为pA, pB, pC,权只有相对意义,6-5 权,权的概念,权与中误差的关系,设每次丈量的中误差为m，则可以用误差传播定理求出每组平均值的中误差,同理：,权与中误差的平方成反比 !,把权等于1的中误差叫单位权中误差,常用m0或来表示,5-5 权,权的概念,权与中误差的关系,加权算术平均值及其中误差,设对某一未知量进行了n次非等精度观测,观测值为l1, l2, ,ln,其相应的权为p1, p2, ,pn,则该未知量的最可靠值便是该观测值的加权算术平均值,