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1、1,3.2 边缘分布 1. 边缘分布函数 2. 二维离散型随机变量的边缘分布 3. 二维连续型随机变量的边缘分布,2,二维随机变量(X,Y)的分量X和Y是一维随机变量, 它们各有其分布，称为(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布.,本节主要讨论二维离散型随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数.,3,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，关于X和Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y).,注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可以决定。,联合分布可以确定边缘分布,1.
2、 边缘分布函数,4,解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数,5,对于二维离散型随机变量(X,Y), 分量X,Y的分布列（律）称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概率分布或分布列（律）.,设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 P(X=xi ,Y=yj)Pij , i,j=1,2,., 则 P(X=xi)=,2. 二维离散型随机变量的边缘分布,(i=1,2,.),6,同理:,一般地, 记:,P(X=xi),Pi .,P(Y=yj),P. j,(j=1,2,.),其分布表如下:,7,X,Y,.,8,解,P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (ij
3、) 于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为,9,例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中. 记落入第1号盒子的白球个数为X , 落入第2号盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.,解 显然有,又因为事件X=i与事件Y=j相互独立, 所以有,10,用表格可如下表示,11,解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：,12,在放回抽样下，两次抽取相互独立，故,P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 3/5 =9/25,类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25， P(X=1,Y=1)
4、=4/25， 列表如下,13,注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同的边缘分布，从而边缘分布不能唯一确定联合分布！,14,3. 二维连续型随机变量的边缘分布,对于二维连续型随机变量(X,Y), 设其概率密度函数为f (x,y)，分布函数为F(x,y)，则有,15,分别称fX(x), fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称密度函数。,记,边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.,16,例 设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布 , 其中 D=(x,y) , x2+y21 , 求X ,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).,解 (1)由题意得:,-1,1,
5、当|x|1时 , f (x,y)=0 , 所以 , f X(x)=0,当|x|1时,所以,17,注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,同理,18,例 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘概率密度.,解 (1),所以，c = 24/5,19,(2),注意积分限,注意取值范围,同理,20,即,注意：在求二维连续型随机变量的边缘概率密度时，往往要对联合概率密度在一个变量取值范围上进行积分. 当联合密度函数是分段函数的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,21,例 设随机变量X和Y具有联合概率密度,求边缘概率密度fX(x)和fY(y).,解,22,例 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为, 求随机变量X的边缘密度函数； 求概率P(X+Y1).,解 (1)x0时, fX(x)=0; x0时, fX(x)=,所以, P(X+Y1)=,y=x,x+y=1,1/2,23,例 求二维正态随机变量的边缘密度函数.,解 已知,为了计算方便，设,24,积分中的被积函数恰好是服从正态分布 的随机变量的密度函数,则(X,Y)关于X的边缘密度函数为,25,由此可见：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，而且这两个边缘分布与其中的参数无关。即,同理，(X,Y)关于Y的边缘密度函数为,这表明，仅仅由X和Y的边缘分布，一般不能完全确定二维随机变量(X,Y)的联合分布。,