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1、Exit,Next,Pre,第九章 矩形板的弯曲理论,在研究船体板时,将板视为四周支持在纵横骨架上的矩形平板。 原因：在船体结构中,骨架有足够的刚度,足以作为板的支座; 通常不计相邻板间的相互作用,即不考虑连续板。,9-1 概述,(2)板在z方向的正应力与其他应力分量相比可以忽略不计，即z0,(3) 不计板中面的变形-这是刚性板的特征,板变形前垂直于中面的法线在变形 后仍为直线,并且变形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。,Exit,Next,Pre,船体结构中的板属于薄板的范畴.,薄板是指板的厚度t与板短边b的比值在以下范围之内：,对于通常的海船甲板与外板,t /b常在1/401/6
2、0左右,对于舱壁板,t /b还要更小些，约为1/100左右,根据图形说明矩形板的受力特点.,在材料力学里曾分析 任何单元都有六个应 力和六个方向的应变, 对于薄板的弯曲,实际 上因zx,y,而 可不计z ,并不计应变 z 认为板在x,y方向的 微块断面满足平断面 假定(由此导得的“直法 线假定”),从而认为 x z=yz=0,92 板的筒形弯曲,Exit,Next,Pre,板在弯曲时,一般在x和y方向均有曲率,因此问题要比梁的弯曲复杂。 但是在最简单的情况下板只有一个方向有曲率,这时板的弯曲与梁的弯曲有许多类似的地方,并可应用梁的弯曲公式求解-即叫做板发生筒形弯曲。,Exit,Next,Pre
3、,约束的差别: 板条梁与普通梁的弯曲变形是一致的,差别仅在于板条梁两个侧面受到相邻板的约束而不能自由变形,而普通梁的侧面是自由的。 变形差别: 板条梁在变形后的截面仍为矩形，而普通梁弯曲后的截面不再保持矩形(受压部分缩小，受拉部分扩大),1)板条梁与普通梁的差别,2)受力分析特点(板长边上仅受垂直板面的均布载荷),对板条梁y=0, 对普通梁y0,二、筒形板的复杂弯曲（课堂自学后讲）,Exit,Next,Pre,在船体结构中横骨架式的甲板板与船底板,它们的边长比足够大, 并且除了横载荷外还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力 (中面应力)。在这种情况下板仍将发生筒形弯曲,在板中取出的板条梁
4、 将处于如图所示的复杂弯曲状态，因此板条梁的求解就要用到复杂 弯曲梁的结果。,根据前面同样的分析,不难得到板条梁 复杂弯曲的微分方程式及基本关系为:,板条梁的弯曲要素亦可利用附录B中的结果。,板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力之 代数和,最大应力总是在板的表面,其值为:,例题：如下图所示，l=1000mm,t=10mm,受均布载荷q=0.05N/,并有中面应力 ， 计算此板条梁的最大应力。 。,Exit,Next,Pre,如果此板 不受中面力,Exit,Next,Pre,在板的弯曲问题中常把板分为以下几类:,由例子得结论： (1)中面拉力对板的承载起了很大的作用； (2)如果没有中面力,板在横
5、荷重下就会发生很大的应力与变形； (3)板似乎不能承受中面压力。,对于船体板来说,后面两个结论是不正确的,实际板发生大变形,两端 不可以自由趋近的支座,这种支座使得板发生挠度后被拉长,即在弯曲时产 生有中面拉力,这种中面力就不应忽视,否则就会低估了板的承载能力,93 刚性板的弯曲微分方程式,Exit,Next,Pre,刚性板的弯曲微分方程式可以用梁的弯曲微分方程式同样的途径的建立,即利用变形条件,物理方程及静力平衡关系,其中还要用到应力合成为内力的静力等效公式，依次导出,研究矩形板的一般弯曲,并限于讨论刚性板,即不计板中面 力对弯曲的影响。,研究对象:,一、基本假定 1直法线假定：板变形前垂直
6、于中面的法线在变形后仍为直线，并且变 形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在 。 2板在z方向的正应力与其它应力分量相比可以忽略不计，即 。 3不计板中面的变形。 二、弯曲微分方程式 1.应变与位移之间的关系 2.应力与应变之间的关系 3.断面上的力与弯矩 4.静力平衡条件,Exit,Next,Pre,利用变形条件,物理方程及静力平衡关系(其中还要用到 应力合成为内力的静力等效公式，依次导出如下。,刚性板一般弯曲的 平衡微分方程式 :,三、边界条件,Exit,Next,Pre,自由支持在刚性周界上板的边界条件为边缘处挠度等于零 和边缘处的弯矩等于零,此边界条件是边缘处的挠度等于零和
7、支持边缘的转角等于零,板的边缘为自由边:在这种情形中,支持周界 既不妨碍弯曲,亦不妨碍边缘的转角。 若y=b的边为自由边, 则该边应满足：,对于悬空的角点上,还应该满足 集中反力为零为条件,求解刚性板的弯曲问题,实际上就是在已知外荷重、板的尺寸、材料性质 以及边界条件情况下,对微分方程式 进行积分,94 刚性板弯曲的解,在求得板的挠曲函数w(x,y)之后,借助于公式,决定弯矩及扭矩,从而可算出 弯曲正应力和剪应力。,对于四周自由支持的板,板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件：,(应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“纳维叶解”),为求解微分方程式,可将w(x,y)写成下面的级数形式:,式中
8、Amn为未知的待定常数,上式w(x,y)满足边界条件式,将w(x,y)代入微分方程式得:,将荷重q(x,y)也展成和挠曲函数相对应的级数形式(傅里叶级数)：,式中qmn为傅里叶系数,即可求出Amn如下：,于是得板的挠曲线方程式为:,下面我们考虑两个情况： （1）若板上受均布荷重 q0 ，这时,所以,从这里看到,级数的分母是m,n的五次式,因此这个级数的收敛性比较好,计算时级数往往取一、二项就足够精确了。但是,在求弯矩时须求二次导数,收敛性要差些。,(2) 若板上受集中力p，它的作用点的坐标为,这时系数qmn可这样来决定:在集中力的 作用处,取边长为dd的矩形微块,并 且认为在此微块dd上作用着
9、强度 为 的分布荷重,应用上述均布载荷下的公式,得:,当d,d趋于零时,其极限为:,于是,从所得解的结果看到,式中可将两个正弦函数互换位置,说明当P作用在(,)处,则 在板任意点(x,y)处引起的挠度就等于P作用在板上任意点(x,y)处在(,)处所产生的挠度, 这就是位移互等定理。,2.应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲,对于一对边(x=0及x=a的边)为自由支持,另一对边为任意固定情况 的板,我们可以将板的弯曲微分方程式的解取为单三角级数形式：,上式满足x=0及x=a的自由支持的边界条件。其中fm(y)为y的任意函数, 它可以由平衡方程式和y=0及y=b处的边界条件来决定。,将w(x,y
10、)代入板的弯曲微分方程式得:,为着要决定函数fm(y),把荷重q(x,y)展开成相应的单三角级数：,式中,将式q(x,y)代入板的弯曲微分方程式中,得:,上式是一个典型的常微分方程,它的一般解由齐次方程的通解 和它的特解组成 ,该微分方程式的一般解为：,式中Fm(y)为特解,积分常数可以由y=0及y=b处的边界条件来决定。,例 试决定自由支持在边缘x=0与x=a处及刚性固定在边缘y=b/2处的板的挠曲面(如图)。板上受均匀分布荷重q0。(先判断,用单三角),解: 由于板的挠曲面对称于x = 0轴, 因而函数fm=（y）中的奇函数项的 系数就应等于零,即Bm=Cm=0,于是,所以,从此方程中看到
11、,只要取特解为常数就能成为方程的解,从而得:,所以,积分常数Am、Dm可以由y=b/2处的边界条件来决定,将上式代入板的刚性固定边界条件,得:,由此解得:,式中:,将求得之常数代入fm式中，得:,于是得板的挠曲面函数为:,应用单三角级数对板弯曲问题的解称为“列维(Levy)解”。,3.四周刚性固定的板的解,对于大多数受均布荷重作用的船体板,由于荷重和结构都对称于板格的支座,因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上。,四周刚性固定板的求解要比上面所讨论的一对边或四边自由支持的 板要困难得多。通常做法是:,将这种板化成两个四边自由支持的板叠加求解： 其中一个是受均布荷重作用的自由支持板,另一个
12、是在四边有分布 弯矩作用的自由支持板,如图。,显然这两种板都可以用双三角级数解法计算。,要求图 (a)与图 (b)叠加后的结果就是四周刚性固定受均布荷重作用 的板,要使图 (b)中板边的分布的弯矩恰好形成板边的转角与图 (a)中 受均布荷重作用的板边形成转角大小相等方向相反,加起来等于零。,参阅上图的板结构,长边为a,短边为b的四周刚性固定受均布荷重 作用的矩形板的挠度与弯矩的计算公式为:,以上公式中的系数k1、k2、k3、k4及k5随板的边长比而变化,见图9-20,Exit,Next,Pre,当a/b相当大时, k5=0.0833,由此得长边中点断面的最大 弯曲应力为:,横骨架式船体板(见图
13、9-21),设短边长度为s,则当边长比相当 大时,取k3=0.0417,k5=0.0833,分别得沿船长方向跨度中点和 支座断面中的应力为:,纵骨架式船体板(ab),当边长比 相当大时,取 k2=0.0125, k4=0.0571, 分别得沿船长方向跨度中点和 支座断面中的应力为:,例 计算“庆阳”号船底板中的最大应力及沿船长方向的最大应力及 板的最大挠度。此船底板为纵骨架式板,长边长度为a=2.25 m,短边 长度为b=0.75 m,板厚t=18 mm, 计算水头高度取为型深H=12.5m。,解:板的最大应力始终发生于长边中点。 当H=12.5m时，板上单位面积的水压力为 q=12.510.05=125.6kN/mm2=0.126 kN/mm2 故,板沿船长方向的最大应力可按公式纵骨架式计算, 如仍取q=0.126 kN/mm2,则得:,板中点的最大挠度可按公式(9-72)计算. 当a/b=3时,由图9-20得k1=0.028, 故,