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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷( (三) ) 数 学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： n n 1 1 样本数据 x1，x2，xn的方差 s2 (xi )2，其中 i. x x x n n i1 i1 一、 填空题：本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 设全集 Ux|x2，xN N，集合 Ax|x25，xN N，则UA_ ai 2. 复数 z (a0)，其中 i 为虚数单位，|z| 5，则 a 的值为_ 12i (第 6 题) x2 y2 3. 双曲线 1 的离心率为_ 4 5 4. 若一组样本数据 9，8，x，10，11的平均数为 10，则
2、该组样本数据的方差为_ 5. 已知向量 a a(1 1，2 2)，b b(x，2)，且 aa(a ab b)，则实数 x_. 6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为_ 2x，x 0， 7. 函数 f(x)x 21，x0)的值域为_ 8. 连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)“，则事件 两次向 上的数字之和等于 7”发生的概率为_ 9.将半径为 5 的圆分割成面积之比为 123 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个 圆锥的底面半径依次为 r1， r2，r3，则 r1r2r3_ 2 10. 已知 是第三象限角，且 sin2cos ，则 sincos
3、_ 5 11. 已知an是等差数列，a515，a1010，记数列an的第 n 项到第 n5 项的和为 Tn，则|Tn|取得最小值时的 n 的值为_ 12. 若直线 l1：yxa 和直线 l2：yxb 将圆(x1)2(y2)28 分成长度相等的四 段弧，则 a2b2_ 1 13. 已知函数 f(x)|sinx|kx(x0，kR R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大 x0 值为 x0，则 _ （1x）sin2x0 1 1 2 14. 已知 ab ，a，b(0，1)，则 的最小值为_ 4 1a 1b 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步
4、骤 15. (本小题满分 14 分) acosBbcosA 在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2cosC. c (1) 求角 C 的大小； (2) 若ABC 的面积为 2 3，ab6，求边 c 的长 16.(本小题满分 14分) 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，BC的中点，A1C1与 B1D1交于点 O. (1) 求证：A1，C1，F，E 四点共面； (2) 若底面 ABCD是菱形，且 ODA1E，求证：OD平面 A1C1FE. 2 17. (本小题满分 14 分) 图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图 2
5、所示，其中 C 为半圆弧ACB 的中点， 渠宽 AB为 2 米 (1) 当渠中水深 CD为 0.4 米时，求水面的宽度； (2) 若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行， 则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？ 18. (本小题满分 16 分) x2 如图，已知椭圆 O： y21 的右焦点为 F，点 B、C 分别是椭圆 O 上的上、下顶点，点 P 4 是直线 l：y2 上的一个动点(与 y 轴交点除外)，直线 PC交椭圆于另一点 M. (1) 当直线 PM过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积； (2) 记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，
6、k2，求证：k1k2为定值； 求PBPM 的取值范围 3 19. (本小题满分 16 分) 1 已知数列an满足：a1 ，an1anp3n1nq，nN N*，p，qR R. 2 (1) 若 q0，且数列an为等比数列，求 p 的值； (2) 若 p1，且 a4为数列an的最小项，求 q 的取值范围 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)ex(2x1)axa(aR R)，e 为自然对数的底数 (1) 当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2) 若存在实数 x，满足 f(x)0，求实数 a 的取值范围； 若有且只有唯一整数 x0，满足 f(x0)0，求实数 a 的取值范围 4
7、 (三) 1. 1. 2 解析：由 Ax|x3，xN N，则UA2 本题考查了集合补集的概念，属于 容易题 2a a 2a 2 a 2 2.2.5 解析：z i，|z| 5，则 a5.本题主要考查复数 5 (5 )(5 ) 5 的模的概念及除法运算等基础知识，属于容易题 3 3 3.3. 解析：由 a2，c3 得 e .本题主要考查双曲线方程中 a，b，c 之间的关系及离 2 2 心率的概念，属于容易题 4.4. 2 解析：由平均数的定义知 x12，再由方差公式得方差为 2.本题主要考查平均数的 概念及方差公式，属于容易题 5.5. 9 解析：由 aa(a ab b)知，a a2 2abab，
8、即 5x4，则 x9.本题主要考查向量垂直以 及向量数量积的性质与坐标运算，属于容易题 5 6.6. 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第 1 次循环 z2，x1，y2；第 2 次循 3 环 z3，x2，y3；第 3 次循环 z5，x3，y5；第 3 次循环后 z8，此时输出的结果 5 为 .本题考查流程图的基础知识，关键把握每一次循环体执行情况本题属于容易题 3 7.7. ( ，1 解析：可由函数的图象得到函数 f(x)的值域为( ，1本题主要考查 分段函数的图象，属于容易题 1 8.8. 解析：连续 2 次抛掷一枚骰子共有 36“种基本事件，则事件 两次向上的数字之和等 6 1 于 7”
9、共有 6 种，则其发生的概率为 .本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题 6 5 10 9.9. 5 解析：三个圆锥的底面周长分别为 ， ，5，则它们的半径 r1，r2，r3依次 3 3 5 5 5 为 ，则 r1r2r35.本题考查圆锥的侧面展开图中弧长与底面圆周长的关系本题属于 6 3 2 容易题 31 2 10.10. 解析：由 sin2cos ，sin2cos21， 是第三象限角，得 sin 25 5 24 7 31 ，cos ，则 sincos .本题考查同角的三角函数关系本题属于容 25 25 25 易题 11.11. 5 或 6 解析：由 a515，a1010，得 d5，则
10、 an405n，Tn3(an an5) 15(112n), 则|Tn|取得最小值时的 n 的值为 5 或 6.本题考查了等差数列的通项公式以及性 质本题属于中等题 12.12. 18 解析：由直线 l1和直线 l2将圆分成长度相等的四段弧，r2 2，知：直线 l1和 直线 l2之间的距离为 4，圆心到直线 l1、直线 l2的距离都为 2，可得 a2 21，b12 2， 则 a2b218.本题综合考查了直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式本题属于中等题 1 13.13. 解 析：由|sinx|kx0 有且只有三个根，又0 为其中一个根，即ykx与 y|sinx| 2 y0 相切，设切点为 (x
11、0，y0)，由导数的几何意义和斜率公式得cosx0 ，即得 tanx0x0， x0 x0 x0 sin2x0cos2x0 x0 tan2x01 1 .本题综合考查了函数的图象变 （1x）sin2x0 1x 2sinx0cosx0 1x 2tanx0 2 换，导数的几何意义和斜率公式，三角变换等内容本题综合性强，属于难题 4 2 1 1 2 1 8a 1 14.14. 4 解析：将 b 代入 y ，其中 a1，求导得 y 3 4a 1a 1b 1a 4a1 4 1 8 1 3 1 2 0，则 a 2，代入 y ，得 y 的最小值为 4 （1a）2 （4a1）2 2 4 1a 1b 5 4 2 .
12、本题综合考查了代数式变形，以及利用导数求最值本题属于难题 3 a2c2b2 b2c2a2 2c2 15.15. 解：(1)由余弦定理知 acosBbcosAa b c，(3分) 2ac 2bc 2c acosBbcosA 1 1， cosC .(5分) c 2 又 C(0，)，C .(7分) 3 1 (2) SABC absinC2 3， ab8.(10分) 2 ab6， c2a2b22abcosC(ab)23ab12，(13 分) c2 3.(14分) 16.16. 证明：(1) 连结 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC的中点，所以 EF 是ABC 的中位线， 所以 EFAC.(2分)
13、由直棱柱知 AA1平行等于 CC1，所以四边形 AA1C1C 为平行四边形，所以 ACA1C1.(5 分) 所以 EFA1C1，故 A1，C1，F，E 四点共面(7分) (2) 连结 BD，因为直棱柱中 DD1平面 A1B1C1D1，A1C1 平面 A1B1C1D1，所以 DD1A1C1.(9 分) 因为底面 A1B1C1D1是菱形，所以 A1C1B1D1. 又 DD1B1D1D1，所以 A1C1平面 BB1D1D.(11分) 因为 OD 平面 BB1D1D，所以 ODA1C1. 又 ODA1E， A1C1 A1E A1， A1C1 平 面 A1C1FE， A1E 平 面 A1C1FE， 所
14、以 OD平 面 A1C1FE.(14 分) 17.17. 解：(1) 以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系 xOy，因为 AB2 米，所以半圆的半径为 1 米， 则半圆的方程为 x2y21(1x1，y0)(3分) 因 为水深 CD0.4米，所以 OD0.6米 在 RtODM中， DM OM2OD2 10.620.8(米)(5 分) 所以 MN2DM1.6 米，故渠中水面宽为 1.6 米(6分) (2) 为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为 P(cos，sin) ( 0) 是圆弧 BC上的一点，过 P 作半圆的切线得如图所示的直角
15、梯形 OCFE，得切线 EF 2 的方程为 xcosysin1.(8分) 1 1sin 令 y0，得 E( ，0)，令 y1，得 F( ，1). cos cos 1 1sin 2sin 设直角梯形 OCFE的面积为 S，则 S(CFOE)OC( 1 cos ) cos cos ( 0) . 2 6 coscos（2sin）（sin） 12sin S ， cos2 cos2 令 S0，解得 ， 6 当 时，S0，函数单调递减； 2 6 当 0 时，S0，函数单调递增(12 分) 6 所以 时，面积 S 取得最小值，最小值为 3. 6 1sin( 6 ) 3 2 3 此时 CF ，即当渠底宽为 米
16、时，所挖的土最少(14 分) 3 3 cos( 6 ) 18.18. 解：(1) 由题意 B(0，1)，C(0，1)，焦点 F( 3，0)，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F x y 3 时，则直线 PM的方程为 1，即 y x1， 3 1 3 x2 8 3 y21， x ， 4 x0， 7 联立x1，)解得，)或 (舍)， y1) 3 1 y y 3 7 8 3 1 即 M( 7).(2分) ， 7 x y 连结 BF，则直线 BF： 1，即 x 3y 30， 3 1 8 3 1 2 3 | 3| 3 7 7 3 7 而 BFa2，d .(4 分) 12（ 3）2 2 7 1 1 3 3 故
17、SMBF BFd 2 .(5分) 2 2 7 7 1（2） 1 (2) (解法 1) 设 P(m，2)，且 m0，则直线 PM的斜率为 k ， 0m m 1 则直 线 PM的方程为 y x1， m 1 y x1， m 4 8 8m 4m2 联立y21，)化简得 ( x2 x0，解得 M ，(8分) x2 4 1m 2) m ( ， m24) m24 4m2 1 m24 2m2 1 1（2） 3 所以 k1 m，k2 ， 8m 8m 4 0m m m24 3 1 3 所以 k1k2 m 为定值(10分) m 4 4 8m 4m2 m312m m212 PM ， 由知，PB(m，3)， ( m，m
18、242)( m24)， m24 m24 m312m m212 所以PBPM(m，3) m24 ( ， m24) m415m236 .(13分) m24 7 （t4）215（t4）36 t27t8 8 令 m24t4，故PBPM t 7. t t t 8 因为 yt 7 在 t(4， )上单调递增， t 8 8 所以PBPMt 74 79，即PBPM 的取值范围为(9， )(16分) t 4 y01 (解法 2) 设点 M(x0，y0)(x00)，则直线 PM的方程为 y x1， x0 x0 令 y2，得 P( ，2).(7分) y01 y01 21 3（y01 ） 所 以 k1 ，k2 ， x
19、0 x0 x0 y01 y01 3（y01） 3（y1） 3（y1） 3 所以 k1k2 (定值)(10 分) x0 x0 x 4（1y） 4 x0 x0 由知，PB( ，3)，PM ，y02)， (x0 y01 y01 x0 x0 所以PB y01)3(y02) PM y01(x0 x（y02） 3(y02) （y01）2 4（1y）（y02） （7y0）（y02） 3(y02) .(13分) （y01）2 y01 （8t）（t1） 8 令 ty01(0，2)，则PBPM t 7， t t 8 因为 yt 7 在 t(0，2)上单调递减， t 8 8 所以PBPMt 72 79，即PBPM
20、的取值范围为(9， )(16分) t 2 19.19. 解：(1) q0，an1anp3n1， 1 1 a2 a1p p，a3a23p 4p. 2 2 1 2 1 1 由数列an为等比数列，得(p )2(4p)，解得 p0 或 p1.(3分) 2 2 1 当 p0 时，an1an， an 符合题意；(4分) 2 当 p1 时，an1an3n1， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 1 13n1 1 (133n2) 3n1， 2 2 13 2 an1 3 符合题意(6 分) an (2) (解法 1)若 p1，an1an3n1nq ， an a1(a2a1)(a3a2)(anan
21、1) 1 (133n2)12(n1)q 2 1 3n1n(n1)q(8分) 2 数列an的最小项为 a4， 1 1 对nN N*，有 3n1n(n1)qa4 (2712q)恒成立，即 3n127(n2n12)q 2 2 对nN N*恒成立(10分) 8 13 当 n1 时，有2612q， q ； 6 12 当 n2 时，有2410q， q ； 5 当 n3 时，有186q， q3； 当 n4 时，有 00， qR R；(12 分) 3n127 当 n5 时，n2n120，所以有 q 恒成立 n2n12 3n127 2（n22n12）3n154n 令 cn (n5，nN N*)，有 cn1cn
22、0， n2n12 （n216）（n29） 27 即数列 cn为递增数列， qc5 .(15分) 4 27 综上所述，3q .(16分) 4 (解法 2)因为 p1，an1an3n1nq ， 又 a4为数列an的最小项， a4a3 0， 93q 0， 所以a 5a4 0，)即274q 0，) 27 所以 3q .(8分) 4 此时 a2a11q0，a3a232q0 ， 所以 a1a2a3a4.(10分) 27 当 n4 时，令 bnan1an，bn1bn23n1q2341 0， 4 所以 bn1bn， 所以 0b4b5b6，即 a4a5a6a7.(14分) 27 27 综上 所述，当 3q 时，
23、a4为数列an的最小项，即所求 q 的取值范围为 .(16 4 3， 4 分) 20.20. 解：(1) 当 a1 时，f(x)ex(2x1)x1，f(x)ex(2x1)1，(1 分) 由于 f(0)0， 当 x(0， )时，ex1，2x11， f(x)0； 当 x( ，0)时，0ex1，2x11， f(x)0， f(x)在区间( ，0)上单调递减，在区间(0， )上单调递增(4分) (2) 由 f(x)0 得 ex(2x1)a(x1) 当 x1 时，不等式显然不成立； ex（2x1） ex（2x1） 当 x1 时，a ；当 x1 时，a .(6 分) x1 x1 ex（2x1） ex（2x1
24、）（x1）ex（2x1） ex（2x23x） 记 g(x) ，g(x) ， x1 （x1）2 （x1）2 3 3 g(x)在区间( ，0)和(，)上为增函数，在(0，1)和(1，2 )上为减函数 2 3 3 当 x1 时，ag(2 )4e ，当 x1 时，ag(0)1.(8分) 2 3 综上所述，所有 a 的取值范围为( ，1)(2 ，).(9分) 4e 由知 a1 时，x0( ，1) ， 由 f(x0)0，得 g(x0)a， 又 g(x)在区间( ，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且 g(0)1a， 9 3 3 g(1)a，即 a ， a1.(12 分) 2e 2e 3 当 a4e 2时，x0(1， )，由 f(x0)0，得 g(x0)a， 3 3 3 3 又 g(x)在区间(1，2 )上单调递减，在(，)上单调递增，且 g(2 )4e a， 2 2 5e3 g（2）a， g（3） a，)解得 3e2a .(15分) 2 3 5e3 综上所述，所有 a 的取值范围为 .(16 分) ，1) (3e 2， 2 2e 10