西南专版2018届九年级数学下册28.1锐角三角函数教案新版新人教版20170717246.wps

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1、第二十八章 锐角三角函数 直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计 算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角 形 进行专门的研究很有必要本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决 一些测量等方面的问题 “” 本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境汽车爬坡 引出 如何 描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概 念教材中通过学生熟悉的一副三角板引出对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角 形 中 30的角所对的直角边等于斜边的一半，因此

2、可让学生计算得到这些特殊角的三角函数值， 教 材最后介绍了用计算器求三角函数值第二节主要是应用直角三角形知识解决一些简单的实际问 题 带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学 习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度让学生 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数让学生掌握 30，45，60 等特殊角的三 角 函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，感受数学 思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度 本章教学约需 5 课时，具体分配如下： 281 锐角三角函数 3 课时 282

3、解直角三角形及其应用 2 课时 28281 1 锐角三角函数 第 1 1 课时 锐角三角函数 知识与技能 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA，cosA，tanA 表示直角三角形中两边的比 过程与方法 通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决 实际问题中的应用 情感、态度与价值观 1通过学习培养学生的合作意识 2通过探究提高学生学习数学的兴趣 重点 锐角三角函数的概念 难点 锐角三角函数概念的理解 一、问题引入 问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度(演示学校操场上的国旗图片)小明 站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与

4、水平线的夹角为 34，并已知目高为 1 米，然后他很快就算出旗杆的高度了 你想知道小明是怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上 我 们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度这就是 我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法下面我们一起来 学 习锐角三角函数 二、新课教授 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一 座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30，为使出水口的高 度为 35 m，那么需要准备多长的水管？ 分

5、析：问题转化为在 RtABC中，C90，A30，BC35 m，求 AB. “根据 在直角三角形中，30”角所对的直角边等于斜边的一半 ，即 A 的对边 BC 1 ， 斜边 AB 2 可得 AB2BC70 m，即需要准备 70 m 长的水管 思考 1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30， 那么不管三角形的大小如何，这个角 1 的对边与斜边的比值都等于 . 2 思考 2：如图，任意画一个 RtABC，使C90，A45，计算A 的对边与斜边的比 BC ，能得到什么结论？ AB 分

6、析：在 RtABC中，C90，由于A45，所以 RtABC是等腰直角三角形，由勾 股定理得 AB 2AC 2BC 22BC 2 ， AB 2BC， BC BC 1 2 . 2BC 2 AB 2 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 45，那么不管三角形的大小如何，这个角 2 的对边与斜边的比值都等于 . 2 从上面这两个问题的结论中可知，在一个 RtABC中，C90，当A30时，A 的 1 2 对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值当A45时，A 的对边与斜边的比都等于 ，也 2 2 是一个固定值这就引发我们产生这样一个疑问：当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与 斜边的比是否也是一个固

7、定值？ 探究：任意画 RtABC和 RtABC，使得CC90，AA ，那么 BC BC 与 有什么关系？你能解释一下吗？ AB AB 分析：由于CC90，AA， 所以 RtABCRtABC，则 BC BC . AB AB 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A 的对边 与斜边的比都是一个固定值 正弦的概念： 在 RtABC中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA， 即 A 的对边 a sinA . 斜边 c 1 例如，当A30时，sinAsin30 ； 2 2 当A45时，sinAsin45 . 2 注意： 1sinA 不

8、是 sin 与 A 的乘积，而是一个整体 2正弦的三种表示方式：sinA，sin56，sinDEF. 3sinA 是线段之间的一个比值，sinA 没有单位 提问：B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些 边？ B 的对边 b sinB . 斜边 c 思考 3：一般地，当A 取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：如图，在 RtABC与 RtABC中，CC90，AA，那么 AC AC 与 有什么关系？ AB AB 教师用类比的方法引导学生思考、讨论 结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A 的邻边 与斜

9、边的比是一个固定值 余弦的概念： 在 RtABC中，C90，把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即 A 的邻边 b cosA . 斜边 c 思考 4：当A 取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？ 学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念 正切的概念： 如图，在 RtABC 中，C90，a，b 分别是A 的对边和邻边我们把A 的对边与邻边 的比叫做A 的正切，记作 tanA，即 A 的对边 a tanA . A 的邻边 b 锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做A 的锐角三角函数 三、举例应用，巩固新知 例 1 如图，在 RtABC中，C90，求 sinA

10、 和 sinB 的值 解：如图(1)，在 RtABC 中，由勾股定理得 AB AC 2BC2 42325. BC 3 因此 sinA ， AB 5 AC 4 sinB . AB 5 如图(2)，在 RtABC 中，由勾股定理得 AC AB2BC 2 1325212. BC 5 因此 sinA ， AB 13 AC 12 sinB . AB 13 例 2 如图，在 RtABC中，C90，AB10，BC6，求 sinA，cosA，tanA 的值 解：由勾股定理得 AC AB2BC 2 102628， BC 6 3 因此 sinA ， AB 10 5 AC 8 4 cosA ， AB 10 5 BC

11、 6 3 tanA . AC 8 4 四、练习新知 为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角 的正切值 是( ) 1 1 4 A. B4 C. D. 17 4 17 答案 C 五、课堂小结 锐角三角函数概念及表示方法： A 的对边 A 的邻边 sinA ，cosA ， 斜边 斜边 A 的对边 tanA . A 的邻边 本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角 的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现： 特 殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什

12、么关 系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行学生非常活跃， 大部分人都能积极动脑、积极参与 第 2 2 课时 3030，4545，6060角的三角函数值 知识与技能 熟记 30，45，60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数 过程与方法 1培养学生把实际问题转化为数学问题的能力 2培养学生观察、比较、分析、概括的能力 情感、态度与价值观 经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必 要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度 重点 30，45，60角的三角函数值 难点 与特殊角的三角函数值有关的计算 一、复习巩

13、固 如图，在 RtABC中，C90. (1)a，b，c 三者之间的关系是_； (2)sinA_，cosA_，tanA_； sinB_，cosB_，tanB_ a (3)若A30，则 _ c 二、 共同探究，获取新知 (1)探索 30，45，60角的三角函数值 师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 生：一 副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30，60，45，45. 师：sin30等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流 1 生：sin30 .sin30表示在直角三角形中，30角的对边与斜边的比值，与直角三角形 2 的大小无关我们不妨设 30角所对的边长为 a(如图所示)“，根据

14、 直角三角形中 30角所对的 ”边等于斜边的一半 的性质，则斜边长等于 2a.根据勾股定理，可知 30角的邻边长为 3a，所 a 1 以 sin30 . 2a 2 师：cos30等于多少？tan30呢？ 3a 3 a 1 3 生：cos30 .tan30 . 2a 2 3 3a 3 师：我们求出了 30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45，60，它们的三角函 数值分别是多少？你是如何得到的？ 生：求 60角的三角函数值可以利用求 30角的三角函数值的三角形因为 30角的对边 3a 3 a 和邻边分别是 60角的邻边和对边，利用上图，很容易求得 sin60 ，cos60 2a 2 2a 1 3

15、a ，tan60 3. 2 a 师生共同分析：我们一起来求 45角的三角函数值含 45角的直角三角形是等腰直角三 角形如图，设其中一条直角边为 a，则另一条直角边也为 a，斜边为 2a.由此可求得 a 1 2 a 1 2 sin45 ，cos45 ， 2a 2 2 2 2a 2 a tan45 1. a 教师多媒体课件出示： 三角函数 角度 sin cos tan 30 45 60 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 3 1 3 师：这个表格中的 30，45，60角的三角函数值需要熟记另一方面，要能够根据 30，45，60角的三角函数值说出相应的锐角的大小 第一列，随着角度的增

16、大，正弦值在逐渐增大 第二列，余弦值随角度的增大而减小 师：第三列呢？ 生：第三列是 30，45，60角的正切值，首先 45角是等腰直角三角形中的一个锐 角，所以 tan451 比较特殊随着角度的增大，正切值也在增大 (2)进一步探究锐角的三角函数值 如图，在 RtABC中，C90. a b sinA ，cosA ， c c b a sinB ，cosB ， c c sinAcosB，cosAsinB. AB90 ， B 90A， 即 sinAcosBcos(90A)， cosAsinBsin(90A) 任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值 三、例题讲解，巩固新知 例 1 计

17、算： (1)sin30cos45；(2)sin260cos260tan45. 1 2 1 2 解：(1)sin30cos45 ； 2 2 2 (2)sin260cos260tan45 3 1 ( )2( )21 2 2 3 1 1 4 4 0. 例 2 (1)如图(1)，在 RtABC中，C90，AB 6，BC 3，求A 的度数； (2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO 3OB，求的度数 解：(1)在图(1)中， BC 3 2 sinA ， AB 6 2 A45. (2)在图(2)中， AO 3OB tan 3， OB OB 60. 四、随堂练习 1计算 4sin603tan3

18、0的值为( ) A. 3 B2 3 C3 3 D0 答案 A 2计算 sin245cos245的值为( ) A2 B1 C0 D3 答案 B 五、课堂小结 1探索 30，45，60角的三角函数值 1 2 3 sin30 ，sin45 ，sin60 ； 2 2 2 3 2 1 cos30 ，cos45 ，cos60 ； 2 2 2 3 tan30 ，tan451，tan60 3. 3 2能进行含 30，45，60角的三角函数值的计算 3能根据 30，45，60角的三角函数值说出相应锐角的大小 本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育模式 把控较好；课堂中学生分

19、组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课件制作很 好， 能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性较高；课 堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生 第 3 3 课时 一般锐角的三角函数值 知识与技能 1会使用计算器求锐角的三角函数值 2会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角 过程与方法 在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的 使用方法 情感、态度与价值观 经历计算器的使用过程，熟悉其按 键顺序 重点 利用计算器求锐角三角函数的值 难点 计算器的按键顺序 一、复习回顾 教师多媒体课件出示： 1. 三角函数 角度 sin cos tan 30 45

20、 60 2.已知 2sin(90) 30，求锐角 的度数 二、讲解新知 师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三 角函数值呢？比如让你求 sin18的值 生：作一个有一个锐角为 18的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值 学生作图、测量、计算 生：约等于 0.309 016 994. 师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学 家也采用过这样的方法，只是误差较大经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制 成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用今天，三角函数表又被带有sin、cos和 tan功能

21、键的计算器所取代 教师拿出计算器 师：我们学习这种计算器的使用方法请同学们拿 出自己的计算器 学生拿出自己的计算器 师：先按ON键，再按有关三角函数的键 教师板书： 1求已知锐角的三角函数值 例 1 求 sin40的值(精确到 0.000 1) 师：比如我们求 sin40的值，依次按sin、4、0、 、这几个键 师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后 的值是多少？ 生：0.642 8. 例 2 求 cos5438的值(精确到 0.000 1) 师：我们依次按cos、5、4、 、3、8、 、这几个键 学生操作后回答 2由锐角三角函数值求锐角 例 3 已知

22、 sinA0.508 6，求锐角 A. 师：你有没有注意到计算器上有个2ndf键？ 生：注意到了 师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用我们依次按 2ndf、sin1、0、5、0、8、. 师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键2ndf和度分秒 键 . 学生操作后回答结果 三、巩固提高 1sin0.231 6，cos0.231 6，则锐角与锐角 之间的关系是( ) A B180 C90 D90 答案 C 2使用计算器计算：sin5218_(精确到 0.001) 答案 0.791 3已知 cos0.741 6，利用计算器求出 的值约为_(精确到 1) 答案 42 四、课堂小结 1用计算器求一个锐角的三角函数值 2学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小 如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的 sin18的值让学生计 算在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学生的 这 种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显示了其较 强的计算能力