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1、1,第十二章 单自由度系统的振动,2,动力学,振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。,利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。,3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。,2. 振动的利弊：,1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。,3,动力学,4,动力学,实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。,质量弹簧系统,振体,5,动力学,运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为
2、恢复力,6,动力学,12-1 单自由度系统无阻尼自由振动,一、振动的微分方程：,只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为无阻尼自由振动,图示质量弹簧系统，以平衡位置为坐标原点，则,7,动力学,这就是质量弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程。,对于其他类型，同理可得。如,单摆：,8,动力学,复摆：,对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式：,解为：,9,动力学,设 t = 0 时， 代入上两式得：,或：,C1，C2由初始条件决定为,10,动力学,n 圆频率，振体在2秒内振动
3、的次数。 n=2f n、f 都称为系统的固有频率或自然频率,A振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅,n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置, 初相位，决定振体运动的起始位置,T 周期，每振动一次所经历的时间,f 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T,11,动力学,无阻尼自由振动的特点：,(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；,(1) 振动规律为简谐振动；,(3)周期T 和固有频率n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。,四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振
4、动频率、振幅和相位等。,12,动力学,2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度,并联,串联,13,动力学,二、 求系统固有频率的方法,弹簧在全部重力作用下的静变形,对于质量弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：,于是：,无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。,14,动力学,当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。,如：,由Tmax=Vmax求wn的方法称为能量法。,15,动力学,综上所述，求系统固有频率的方法有：,：集中质量在全部重力 作用下的静变形,由Tmax=
5、Vmax , 求出,能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。,16,动力学,例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。,17,动力学,解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。,在任意位置x 时：,静平衡时：,18,动力学,应用动量矩定理x：,由 ， 有,振动微分方程： 固有频率：,19,动力学,解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）,以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹
6、簧伸长2x,因平衡时,20,动力学,由 T+V= 有：,对时间 t 求导，再消去 ，得,21,动力学,例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物E质量为m, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。,解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：,22,动力学,以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：,23,动力学,设 则有,根据Tmax=Vmax , 解得,24,动力学,12-2 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼的概念： 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情况下
7、，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。,投影式：, 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。,自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为衰减振动），这是因为有阻尼。,25,动力学,二、振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼：,有阻尼自由振动微分方程的标准形式。,26,动力学,其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形,有阻尼自由振动的圆频率,27,动力学,衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小。,阻尼比,当 时，可以认为,28,动力学,(2) 振幅按几何级数衰减,对数减幅系数：,相邻两次振幅之比,振幅
8、：,2、大阻尼阻尼情形,积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。,29,动力学,物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。,3、临界阻尼情形 临界阻尼系数,（C1、C2由运动的初始条 件决定）,综上所述，系统受粘滞阻尼作用时，只有在nn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。,30,动力学,例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数 。,解：,得n=0.4（1/s）,31,动力学,12-3 单自由度系统的受迫振动,自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很多振动并不衰减，这
9、时因为受到干扰力的作用。干扰力时对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、支撑点或悬挂点的运动等。 系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。 干扰力的种类很多，我们只讨论简谐变化的干扰力：,H力幅：干扰力的最大值； 干扰力的圆频率,32,动力学,一、有阻尼情形,这就是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式：二阶常系数非齐次微分方程。其解为：,1、振动微分方程及其解,33,动力学,x1是对应齐次方程 的通解,小阻尼：,（A、 积分常数，取决于初始条件）,x2 是特解：,代入原方程并整理, 受迫振动的振幅, 强迫振动相位滞后干扰力相位角
10、,振动微分方程的全解为,34,动力学,衰减振动 受迫振动,（1）nn时,（2）n=n时,（3）nn时,上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的运动称为暂态响应，第一部分消失之后的运动称为稳态响应。受迫振动指的是稳态响应，其运动方程为：,35,动力学,2、有阻尼受迫振动的特点：,（1）振动规律 ，为简谐振动，不随阻尼而衰减。,（2）与运动的初始条件无关。 （3）频率等于干扰力的频率，不受阻尼影响。,二、无阻尼情形,当n=0时，振动微分方程：,对应齐次方程的解：,特解：,当n=0时，有前述：,36,动力学,方程全解：,阻尼比,三、幅频曲线 共振现象,将受迫振动的振幅改写为：,式中： 静偏
11、离：在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离,37,动力学,于是：,放大系数或动力系数,对于不同的阻尼比x，可得一系列放大系数随频率比/n的变化曲线，称为振幅频率曲线，简称幅频曲线。,38,动力学,阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。,共振频率,39,动力学,有阻尼强迫振动相位总比干扰力滞后一相位角，称为相位差。,一般较小，可以认为当=n时系统发生共振，此时,四、相频曲线,（4）n/n=0，即无阻尼情况，当=n时系统发生共振，B。,40,动力学,(1) 在0 内变化。 (2) 单调上升。 (3) 当/n0时， 0。 (4) 当/n1（共振区）时，变化剧烈， /n=1时无论阻尼
12、大小，=/2 。 (5) 当/n 1时， =。强迫振动与干扰力反相。,对于不同的阻尼比x=n/n，可得一系列相位差随频率比/n的变化曲线，称为相位差频率曲线，简称相频曲线。,41,动力学,例4 已知物体重P=3500N，k=20000N/m , 干扰力H=100N, f=2.5Hz , =1600Ns/m , 求B, ,强迫振动方程。,解：,42,动力学,43,动力学,12-4 临界转速 减振与隔振的概念,一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。,单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过盘的几何中心A点，A
13、C= e ，盘和轴共同以匀角速度 转动。 当 n（ n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC= x+e (x为轴中点A的弯曲变形）。,44,动力学,（k为转轴相当刚度系数）,临界角速度： 临界转速：,45,动力学,质心C位于O、A之间 OC= x- e,当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳。 为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。,46,动力学,二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。,减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如， 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。,47,动力学,隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。,48,动力学,第十二章结束,