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1、矢量分析与场论,教材矢量分析与场论谢树艺 高等教育出版社第三版,第一章 矢量分析,1、矢性函数 矢性函数在数学里称作向量值函数，他是通常函数概念的推广 定义：映射f：RnDRm,xy=f(x) 若设： f(x)=(f(x)1,f(x)2,f(x)m) 我们看到向量值函数无非是若干个多元函数一起考虑而已，一点都不神秘,n=m=1 通常的函数（一元函数） n2,m=1 通常的多元函数 如代数中的内积，外积，行列式 n=1,m=2 平面曲线 n=1,m=3 空间曲线 n=m=2 平面的坐标变换 如xy=1为何是双曲线？ n=m=3 空间的坐标变换 n=2,m=3 空间曲面 所以向量值函数这个概念包含
2、有大量的信息，把到目前为止学过 的大部分内容都包括进去了，我们也说上面的向量值函数是D上的一个场,特殊情形,或写成: x=Rcost, y=Rsint, z=at,螺线方程,摆线方程,或写成： x=R(t-sint),y=R(1-cost),极限的定义,若 为D的一个聚点， Rm为常数向量，若 当 时 称c为f当x趋近与a时的极限 记作,设 则上面的定义等价于,连续的定义,若 则f在a连续 由定义推知，f连续指定的每个分量都连续 下列极限等式成立,其中u为数量函数，f，g为向量函数,2、向量函数的导数与微分 设有向量函数y=f(x),xD,若有mn常数矩阵A使 f(x)=f(a)+A(x-a)
3、+O(|x-a|) 其中O(|n-a|)=O1(|x-a|),Om(|x-a|)每个Oi(|x-a|)都是|x-a| 当xa时的无穷小，称f在a点可微，A为f在a处的导数，通常 称为jacobian矩阵,称 df=Adx 为f在a处的微分,链式法则：设有两个向量值函数,则,特别的，如g=f-1，则 易算得 D(id)=E 固有 D(f-1)=(Df)-1,例题1,计算二重积分 其中区域D由y=x,y=2x,xy=1,xy=3所围,解：,则,变换的Jacobi行列式,所以,上面的积分变换中自然地出现了向量函数,由假设,得,例题2,直角坐标与极坐标之间有熟知的关系,这表示有一个向量值函数,容易求得反函数,但如果利用前面的反函数的求导公式，计算更加简单：,