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1、第六章 弯曲变形 超静定梁,6-1 梁挠曲线近似微分方程,6-2 用积分法求梁的变形,6-3 用叠加法求梁的变形,6-4 梁的刚度校核,6-5 超静定梁,6-1 梁挠曲线近似微分方程,一、挠度和转角,平面弯曲时梁轴线为一条光滑连续的曲线。,梁弯曲后的轴线称为挠曲线，见图曲线AB。,C,C,取梁轴线上C，弯曲变形后，该点变成C。,将梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度。,由于小变形，故不必考虑C点在x轴方向的位移而认为CC垂直于其变形前的轴线AB。,梁变形后，横截面仍然与此时的轴线垂直。,梁横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。,工程中挠度和转角是度量梁弯曲变形的两
2、个基本量。,若梁任一横截面的位置用x表示，则：,挠度方程为：,转角方程为：,梁任一横截面的转角等于该截面处挠度对横截面位置的一阶导数。,二、挠曲线近似微分方程,在梁处于纯弯曲或剪应力相对影响较小情况下，由教材P128(5-2)式知,在挠曲线中取微段,由于小变形，,故,梁挠曲线近似微分方程,(x),则,上式中E(x)Iz(x)为梁在x处的抗弯刚度，适用于非均匀变截面梁。当E(x)为常数时称为均匀梁；当Iz(x)为常数时称为等截面梁；当E(x)Iz(x)为常数时称为等截面均匀梁。本章仅研究等截面均匀梁。,三、挠度、转角、弯矩、剪力、分布载荷关系,转角,弯矩,剪力,分布载荷,对该式积分后产生2个积分
3、常数，在确定这些积分常数过程中，需灵活应用边值条件、连续条件和光滑条件等变形几何条件。,一、挠曲线基本方程,6-2 用积分法求梁的变形,1.边值条件,夹紧端：,简支端：,二、变形几何条件,2.连续条件,3.光滑条件,任一点的挠度值连续。,任一点的转角值连续。,支承对挠度和转角的限制,三、解题步骤,求支座约束反力；,求弯矩方程M(x)，有时可能要分段；,(分段)求解微分方程 ；,由边值条件、连续条件、光滑条件确定积分常数；,写挠度方程 和转角方程 ；,求最大挠度|y|max和最大转角|max。,四、例题,【例6-1】求图示简支梁的最大挠度|y|max和最大转角|max 。,【解】1)求支座反力,
4、2) 分段写弯矩方程,3) 分段求解微分方程,4)根据边值条件、 连续条件、光滑条件确定积分常数 。,求解得,5)求挠度和转角方程,最大转角仅可能发生在A、B端。,6)求最大挠度|y|max和最大转角|max 。,显然，当ab时，最大转角发生在B端。,因A截面转角为负，而当ab时C截面转角为正，故转角为零即挠度取得极大值的截面发生在AC段。,即：,于是：,6-3 用叠加法求梁的变形,当作用在梁上的载荷较多且比较复杂时，而梁在简单载荷作用下的变形又易求得时，利用叠加法求梁的变形比较简单。,叠加法：当求梁上同时作用几个载荷时的挠度或转角时，可先分别求出各个载荷单独作用下梁的挠度或转角，然后分别求出
5、它们的代数和，即得到这些载荷同时作用时梁的挠度或转角。,【例6-2】求图示悬臂梁B端的挠度和转角。,【解】原悬臂梁B端的挠度和转角与图示载荷情形下B端的挠度和转角等效。,P、q1、q2单独作用时 B端的挠度和转角为：,P单独作用时，由教材P172(图2)，取 l=2a得：,q1单独作用时，由教材P173(图1)，取l=2a得：,q2单独作用时，由教材P173(图1)，取l=a得：,P、q1、q2同时作用时B端的挠度和转角为其单独作用时的代数和：,【例6-3】在简支梁上作用有图示集度为q的均布载荷。求跨度中点C的挠度（设b l/2） 。,qdx,【解】在P174（图2）的0x a段挠度公式中，令
6、F=qdx，b=x，x=l/2，可得到微元载荷qdx在C点引起的挠度dyC。,【例6-4】求图示外伸梁A端的转角 A和挠度yA。,【解】采用“逐段柔化,逐个加载，结果叠加”方法求,1）求简支梁BD在P作用下B端的转角和挠度(P174图1)：,2）求简支梁BD在m作用下B端的转角和挠度(P173图2) ：,3）求悬臂梁AB在F作用下A端的转角和挠度(P172图2) ：,4）求原外伸梁A端的转角和挠度：,【例6-5】图示结构中刚架ABC的抗弯刚度为EI， 杆BD的拉压刚度为EA，求C点的铅垂位移。,【解】1）求BD杆轴力,2）求y1:,3）求y2:,4）求y3:,5）求yC :,6-4 梁的刚度校
7、核,一、刚度条件,y许用挠度,许用转角，单位为弧度(rad)。,二、提高梁刚度的措施,改善构件的截面形状或尺寸，以增大截面惯性矩；,在条件允许情况下减少构件的跨度或有关长度，如缩小支座距离、增加支座、合理安排载荷的作用位置等。,6-5 超静定梁,一、相关概念,超静定梁：梁上作用的未知反力数目超过独立的静力平衡方程个数时，仅由平衡方程不能求解的梁。,超静定次数：未知约束反力个数与独立的平衡方程个数之差。若该差值为一则为一次超静定梁，为二则为二次超静定梁等。,多余约束：在超静定梁中，超过维持梁平衡所必须的约束。,多余反力：与多余约束对应的反力。,静定基：如果撤除超静定梁上的多余约束后梁变为静定梁，
8、则称该静定梁为原超静定梁的一个静定基。,静定梁：梁上作用的未知反力数目不超过独立的静力平衡方程个数时，仅由平衡方程能求解的梁。,二、用变形比较法求解超静定梁,1.解题步骤,选取适当的静定基，确定多余约束，设定多余反力；,利用叠加法和相应的变形协调条件建立补充方程，求出多余反力；,由静力平衡方程求出其余支座反力。,2.例题,【例6-5】求图示超静定梁的约束反力。,【解】1)取支座C为多余约束，则梁AE为静定简支梁，RC为多余反力。,梁在P、RC、m单独作用下C点的挠度依次为 ：,由教材P174(2图)，在axl段对应的表达式中取l=5a，x=2a，b=4a得：,由教材P174(2图)，在0xa段
9、对应的表达式中取l=5a，x=2a，b=3a， P=-RC得：,由教材P173(3图)，在0xa段对应的表达式取l=5a，x=2a，b=a得：,2)梁在P、RC、m同时作用时的变形协调条件yC0,3)由静力平衡方程求解RA、RE,【例6-6】已知长为L、抗弯刚度为EI的悬臂梁在端部作用一横向集中载荷F时的挠曲线方程为 。 设图示梁AB的抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉刚度为EA，求梁在A、C点的约束反力。,【解】1）取CD杆为多余约束，则梁AB为静定悬臂梁，CD杆的拉力RC为多余反力。该梁在F、RC单独作用下C点的挠度依次为：,2）杆CD在RC作用下C点的位移：,3）梁AB在C点的变形协调条件：,即,4）求A点的约束反力,