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1、第四章 弯曲变形 梁的挠度计算,4-7 梁的变形,在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。,当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。,1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线方向的线位移w。,2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度。,w= w(x)挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.,小变形时，tan=dw (x)/dx=w(x)转角方程。顺时针为正。,4-8 梁的挠曲线近似微分方程,1, 挠曲线近似微分方程,M 0,M 0 w“ 0,4-9 用积分法计算梁的挠度与转角,对于等截面梁，EI = 常数。,E I w “= - M (x),式中C, D 由梁支
2、座处的已知位移条件即位移边界条件确定。,边界条件：,wA=0 wB=0,wA=0 A=0,边界条件：,如：,例1：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。设梁的抗弯刚度为EI。,解：,边界条件:,当 x = l 时：,例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的抗弯刚度为EI。,解:1建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：,边界条件,得:,例3：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程及wmax 。,解:1建立坐标系。 求支座反力。,2分段求出弯矩方程及w、w。,边界条件：x = 0 ，w1= 0。,x =
3、 l ，w2= 0。,连续条件：x = a ，w1= w2， w1= w2,由连续条件，得：C1= C2， D1= D2,再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l,D1=D2=0,因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：,因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。,常见简单梁在简单荷载作用下产生的挠度和转角可以查表。,E I w “= - M (x),C, D 由梁支座处的已知位移条件即位移边界条件确定。,挠曲线的微分方程：,数学求解：,由微分方程和弯矩来几何分析挠曲线的大致形状。,总结：,思考题1：画出梁的挠曲线大致形状：,思考题2
4、：画出梁的挠曲线大致形状：,在线弹性范围内，可用叠加法计算梁的变形：梁在多个荷载作用下产生的变形（转角或挠度）等于各个荷载单独作用所产生的变形的代数和。,4-10 用叠加法计算梁的挠度与转角,例1：简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点挠度和左端截面的转角。设梁抗弯刚度为EI。,解:,例2：已知F、q、EI。求c和wc。,这种叠加法又称为逐段（级）刚化法。,例3：求跨中挠度wc 。,解：,采用逐段（级）刚化法,例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。试求左端的挠度。,解：,采用逐段刚化法,1、令BC刚化，AB为 悬臂梁。,2、令AB刚化，BC为 悬臂梁。,EI,2EI,2EI,累加得到总的结
5、果：,4-11 梁的刚度计算,梁的刚度条件为：,max ,wmax w,其中：wmax 梁的最大挠度， max 一般是支座处的截面转角。 w、 规定的容许挠度和转角。,一、梁的刚度计算,吊车梁： w=l/500l/600 屋梁和楼板梁： w=l/200l/400 钢闸门主梁： w=l/500l/750 普通机床主轴： w=l/5000l/10000 =0.005rad 0.001rad,梁的刚度计算包括：,校核刚度,截面设计,求容许荷载,有关设计手册或规范可以查阅：,例1. 一简支梁受力如图。已知F1=120KN，F2=30KN，F3=40KN，F4=12KN。梁横截面由两个槽钢组成。=170
6、MPa，=100MPa，w=l/400，E=2.1105MPa。试由强度条件和刚度条件选择槽钢型号。,解：1求支座反力,2画剪力图和弯矩图,3由正应力强度条件选择槽钢型号,查表，选两个20a号槽钢Wz=1782=356cm3,满足正应力强度条件。,4校核切应力强度,20a号槽钢：Iz=1780.4cm4，h=200mm，b=73mm，d=7mm，t=11mm。,= 57.4 MPa=100MPa,满足切应力强度条件要求。,5校核刚度, w = 2.4 / 400 = 610-3m = 6 mm, 选20a号槽钢也能满足刚度要求。,二、从变形看提高承载能力,从刚度看： 1 提高E，I； 2 增加约束，减小挠度。,4-12 简单超静定梁,静定梁,超静定梁,试求图示梁的支座约束力，并画剪力和弯矩图。,解：解除B处约束，代之以约束力FBy，画示力图。,由平衡方程求得:,例：两端固定的梁，在C处有一中间铰.当梁上受集中荷载作用后，试求梁的剪力图和弯矩图。,解：,再由平衡条件，求出其余约束力。梁的剪力图、弯矩图如图示（c）、（d）。,思考题：AB=l，抗弯刚度EI。求梁的内力。,解出 FB，如果FB0，则发生接触，否则，不接触，为静定问题。,解题思路： 假设梁弯曲后与支座发生接触。,测试题：AB=l，BC=a。求BC杆的内力。,Thank you for your lisening !,