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1、第4章 空间问题的有限元法,4.1 空间问题,（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元 、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。,4结点四面体单元：是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应力单元，可以类似平面问题三结点三角形单元进行分析。 8结点长方体单元：可以类似平面四结点矩形单元进行分析。 8结点直边六面体单元：可以类似平面四结点任意四边形等参元分析 。 20结点曲边六面体单元：等参单元,可以类似平面八结点曲边四边形等参元进行分析 。 轴对称单元：一平面单元绕一对称轴旋转形成的
2、空间问题。只需在rz平面划分网格，就像平面问题xy平面中的网格一样，这样这类空间问题可以得到简化。 （环向位移等于零）,4.2 四结点四面体单元,1、位移模式 单元结点位移向量,位移函数,将上式中第1式应用于4个结点，则,由此可解出代定常数a1a4再代回到式（4-3）的第1式，可得形函数u:,编号约定：当沿i,j,m的方向转动时，n在大拇指所指的方向,采用同样的方法，可得,单元位移：,2、单元应变,将单元中位移（4-11）代入上式,常量,3、单元应力,弹性矩阵D:,代入单元应变计算公式，整理后：,其中S为应力矩阵，且：,常量,4、单元刚度矩阵,分块矩阵的形式,式中子矩阵krs为33的矩阵 ：,
3、5、等效结点荷载,体积力与表面力的计算公式与平面三角形单元公式 相似，可以采用静力等效原则简化计算。,4.2 八结点六面体单元,(Tri-linear functions),4.3 二十结点六面体单元,一、形函数,二、位移模式,ANSYS 中 Solid45,4.4 空间轴对称问题的有限元法,对空间轴对称问题，常采用圆柱坐标系。r表示径向坐标，z表示轴向坐标，任一对称面为rz面。在有限元分析时，可采用轴对称的环形单元进行。环形单元 可以是任何平面单元，本节以三角形单元为例。,1、位移模式,轴对称问题的环向位移恒等于零，径向r位移与轴向z位移不等于零。对于图示情形，依照平面问题的三角形单元分析，
4、取位移模式为,代入结点位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得,xr, yz,其中形函数：,；,单元中位移,2、单元中应变 根据弹性力学理论，空间轴对称问题的几何方程为,将u,w表达式代入上式，整理后,式中,其中,B矩阵中含有变量r，z，因此它不是常数矩阵，即轴对称问题的三角形环形单元不是常应变单元。,3、单元中应力,根据弹性力学理论，空间轴对称问题的应力-应变关系为,弹性矩阵:,单元中任意一点的应力：,4、单元刚度矩阵,由于被积函数与无关，故在三角形截面的环单元的积分可简化为在三角形截面上的积分。故有：,单元刚度矩阵的积分参照图示分区，按下式采用数值积分的方法进行,当单元较小时，可把各个单元
5、中的r，z 近似看作常数，并且分别等于各单元形心的坐标，即,这样，就可把各个单元近似地当做常应变单元,单元刚度矩阵k的分块形式,其中的近似子矩阵为,5、等效结点荷载,类似平面问题。对于作用于三角形环单元上的体积力、表面力的等效结点力为：,体力,面力：,（1）均布表面力 设单元ij边上作用均布表面力，其集度为,l,当 ri=rj 时，静力等效原则,(2)三角形分布表面力 沿单元ij边作用了三角形分布的表面力，表面力在i点集度为,当 ri=rj 时，静力等效原则。2/3集中在i点，1/3集中在j点。,习题：1，4,4.5 钢筋混凝土单元 (Solid65),1、solid65单元：ANSYS So
6、lid65单元专为混凝土、岩石等抗压能力远大于抗拉能力的非均匀材料开发的单元，最多可以定义3种不同的加筋材料。混凝土具有开裂、压碎、塑性和蠕变能力，加筋材料只能受拉压，不能受剪切力。同时假定钢筋和混凝土粘接良好，钢筋在混凝土中的布置以不同方向的体积配筋率形式表示。这就是所谓的整体模型。当然，就ANSYS而言，也可采用分离式模型：混凝土 用Solid65单元，钢筋用Link单元或Pipe单元，可以引入弹簧单元来模拟粘接和滑移。,2、solid65 单元使用方法,Solid65单元的混凝土材料参数在“材料模型”、定义，而钢筋参数（材料号、体积率、放置方向）在“实常数”中定义，当加固材料的编号为0或
7、等于单元材料号时，将忽略加固材料。 钢筋混凝土结构模拟：纵筋密集区采用带筋的solid65单元，而无筋区采用无筋65单元。 混凝土材料定义： 1）线性行为：弹模和波松比； 2）非线性行为：等强硬化模型、随动强化模型Drcker Prager(DP)模型；定义破坏准则参数9个。,破坏准则参数（9个）,Shrcf-OP:张开裂缝的剪力传递系数；(01，一般梁0.5，深梁0.25,剪力墙0.125） ShrCf-Cl:闭合裂缝的剪力传递系数（0.9-1.0); UnTensSt: 抗拉强度ft UnCompSt:单轴抗压强度fc ； BiCompSt：双轴抗压强度； HydroPrs：静水压力; BiCompSt：静水压力下双轴抗压强度； UnCompSt：静水压力下单轴抗压强度； TenCrFac:拉应力衰减因子。 注：低静水压力只需前4项。,钢筋：双线性随动硬化模型。 例：钢筋混凝土矩形板在板中作用2mm位移荷载，采用整体模型分析板的受力、开裂等情况。材料： （1）混凝土E=2.4E4MPa,波松比0.2，ft=3.1MPa,裂缝张开传递系数0.35，闭合传递系数1.0，关闭压碎开关。 （2）钢筋：E=2E5MPa,波松比0.25，屈服强度360MPa，硬化斜率20000MPa，配筋率0.01，沿长度和宽度方向布置。 （3）板尺寸：1000X1000X100,