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1、一、几个值得注意的问题,1. 弹性体系的振动自由度,描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。,三个集中质量，一个自由度,一个集中质量，两个自由度,2. 确定体系振动自由度的方法,方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有两个振动自由度。,方法二 当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法
2、将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。例如图a铰化为铰接链杆体系后， 需要增加两根链杆（图c）。,例：若忽略直杆的轴向变形,图a 所示结构的动力自由度为多少？,解：铰接链杆体系如图b或图c，需附加4根链杆，体系有4个自由度。,例：设直杆的轴向变形不计，图a所示体系的动力自由度为多少？,解：铰接链杆体系如图b所示，增加链杆1、2. 体系的动力自由度为2。,例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力自由度数为多少？,解：用附加链杆法（图b）, 动力自由度数等于5。,3. 结构的自振周期（频率）,结构自振周期的几种计算公式：,周期T
3、 的单位是“s（秒）”； 圆频率的单位是“s-1”，即“弧度/每秒”；工程频率f 的单位为“Hz（赫兹）”， 即每秒振动的次数。,注意：,（1） 结构自振周期（频率）是结构动力性能的一个很重要的标志。两个外表看来相似的结构，如果自振频率相差很大，则动力性能相差很大；反之两个外表看来并不相同的结构，如果其自振频率相似，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。,（2） 自振周期只与结构的质量和刚度有关，与初始条件及外界的干扰因素无关。,例：图a所示结构频率为i，求图b所示结构频率。,解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度系数ki之和.,k=k1+k2+k3,例：图a 所示结构周期为Ti，求
4、 图b所示体系周期。,解：图b体系为串联弹簧，其刚度系数k的倒数等于各弹簧刚度系数ki的倒数之和。,例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1，弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。,解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系，竖向振动频率为,例：图a所示体系中k1为横梁在C点的侧移刚度，k2为弹簧刚度。求体系的竖向振动频率。,解：体系可简化为图b所示的并联弹簧体系，竖向振动频率为,4. 单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数,(1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移动力系数相同。,动力系数,计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。,计算结构
5、的位移和内力时，应先算出质体上的惯性力，并将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算。,(2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一的动力系数。,(3) 最大位移和最大内力的计算,振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。,5. 阻尼对振动的影响,(1) 考虑阻尼时体系的自振频率,通常很小，一般结构可取 r 。,(2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。,其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。,1为小阻
6、尼，体系具有振动的性质；1（大阻尼）和=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。,（3）有阻尼振动的动力系数。在强迫振动中, 阻尼起着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：,当 的值在0.751.25之内（共振区）时，阻尼对降低动力系数的作用特别显著。,（4）动荷载频率的大小与结构受力特点的关系。,当外荷载的频率很大时 ()，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。,当外荷载的频率很小时（)，体系振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。,当外荷载接近自振频率时( )，弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。,
7、6. 多自由度体系主振型的正交性,当 i j 时，两个主振型具有正交性，即质量正交和刚度正交。,Y(i) TM Y(j) =0 Y(i) TK Y(j) =0,由于质量正交计算简单，所以常用它来校核主振型的计算结果。但应能够形成正确的质量矩阵。,。,解：,例：体系的质点位移编号如图所示，写出体系的质量矩阵M。,7. 能量法计算自振频率,能量法求自振频率是一种近似计算方法。,设结构单位杆长的质量为m，结构中有若干个集中质量m。 根据结构的边界约束条件和变形特点，选择一条位移曲线Y（x）作为某一主振型（通常是第一主振型）的近似曲线，则可按下式求得频率的近似值。,若取结构在自重q(x)作用下的弹性曲
8、线Y（x）作为振型线，则频率公式为：,8. 对称性利用,振动体系的对称性是指：结构对称，质量分布对称或动荷载对称。,对称体系的自由振动或强迫振动计算都可利用对称性而得到简化：将体系的自由振动视为对称振动与反对称振动的叠加，对两种振动分别取半结构进行计算；对于体系的强迫振动，则宜将荷载分解为对称与反对称两组。对称荷载作用时，振动形式为对称的；反对称荷载作用时，振动形式为反对称的， 可分别取半结构计算。,选择变形曲线时应考虑结构的边界条件（位移边界条件和力的边界条件）,其中位移边界条件必须满足，否则将导致很大的误差，通常取等截面杆的自重q(x)作用下的变形曲线作为振型曲线Y(x)，由于它能较好地满
9、足边界条件，所得结果的近似程度都较好。,例：求图a所示体系的自振频率。,解：设该体系振动时转角的幅值为（图b）。当位移达到幅值时，质量m1和m2上的惯性力也同时达到幅值，其大小为,于是，可就幅值处列出动力平衡方程如下：,由此可求得:,例： 求图a所示结构的自振频率，EI=常数, 弹簧的刚度系数 k=6EIl3。,解： 本题的重点是求柔度系数， 用力法， 取图b的基本体系。力法典型方程为,，,另解：体系简化成并联弹簧体系（图b），设梁在质点m处的刚度系数为k2，k2=1/2 ，由M 图（图c）可求得2,例：已知图a刚架受简谐荷载作用，=0.6,绘出动力弯矩图Md，并求柱顶最大位移 ymax。,解：利用对称性取半边结构如图b所示。,柱顶位移,由于,，代入上式，则方程变为,只考虑稳态振动，设方程的特解,代入方程解得,，,例：求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI =常数。,解 ：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。,，,当=1时，振型为正对称，则,当=2时，振型为反对称，则,二、 思考题,1. 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？,2. 为什么说结构的自振周期是结构的固有属性？,3. 动力位移总是否要比静力位移大一些？,4.在振动过程中，体系的重力对动力位移是否产生影响？,