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1、多维随机变量及其分布,第一节 联合分布与边缘分布,引言,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,引言,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量.,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,引
2、言,一、二维随机变量的分布函数,如果对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量 的分布函数,定义1,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,一、二维随机变量的分布函数,一、二维随机变量的分布函数,一、二维随机变量的分布函数,一、二维随机变量的分布函数,即F(x, y) 关于x, y是右连续的。,4. 对任意的,一、二维随机变量的分布函数,二、二维离散型随机变量,或随机变量X和Y 的联合分布律.,定义2,限对或无限可列多对, 则称,是离散型随机变量.,设
3、二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的值是有,称之为二维离散型随机变量 的分布律,也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.,二、二维离散型随机变量,二维离散型随机变量 的分布律具有性质,二维离散型随机变量 的联合分布函数为：,二、二维离散型随机变量,例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3,
4、Y=3,=3/8,=3/8,二、二维离散型随机变量,解,且由乘法公式得,例2,二、二维离散型随机变量,二、二维离散型随机变量,例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,二、二维离散型随机变量,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,二、二维离散型随机变量,二、二维离散型随机变量,二、二维离散型随机变量,所以( X ,Y ) 的分布函数为,二、
5、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,三、二维连续型随机变量,（X,Y）的概率密度的性质 :,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,注：,在 f (x,y)的连续点 ,三、二维连续型随机变量,注：,三、二维连续型随机变量,例4 设(X,Y)的概率密度是,(2) 求分布函数,(3) 求概率 .,(1) 求常数A;,解 (1) 由,可得A=2.,积分区域,区域,解 (2),三、二维连续型随机变量,三、二维连续型随机变量,当 时,故,当 时,三、二维连续型随机变量,(3),三、二维连续型随机变量,例5 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A ,
6、B , C 为常数.,(1) 确定常数A , B , C ； (2)求P (X 2); (3)求(X ,Y )的联合密度函数。,三、二维连续型随机变量,解 (1),三、二维连续型随机变量,(2),(3),三、二维连续型随机变量,四、课堂练习,设随机变量(X, Y)的概率密度是,(1) 确定常数,(2) 求概率,三、二维连续型随机变量,解 (1),故,三、二维连续型随机变量,(2) .,三、二维连续型随机变量,二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,分别记为,四、边缘分布,一、边缘分布函数,一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，,则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为:,X和Y 的联合分布律为
7、,二、离散型随机变量的边缘分布律,四、边缘分布,(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为:,离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:,四、边缘分布,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,四、边缘分布,例6 已知下列分布律求其边缘分布律.,四、边缘分布,注意,联合分布,边缘分布,解,四、边缘分布,解,例7,四、边缘分布,四、边缘分布,三、连续型随机变量的边缘分布,四、边缘分布,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,四、边缘分布,解,例8,四、边缘分布,四、边缘分布,四、边缘分布,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),四、边缘分布,解
8、: (2),四、边缘分布,解: (2),四、边缘分布,即,四、边缘分布,练习,四、边缘分布,解,当 时,当 时,故,四、边缘分布,当 时,当 时,故,四、边缘分布,设G是平面上的有界区域，其面积为A. 若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G上服从均匀分布.,五、常见分布二维均匀分布,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（ X,Y）服从参数为 的二维正态分布.,记作（ X,Y） N( ).,五、常见分布二维正态分布,例10 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,五、常见分布二维正态分布,则有,五、常见分布二维正态分布,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 .,同理,可见,由边缘分布一般不能确定联合分布.,也就是说,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,五、常见分布二维正态分布,