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1、1,10-5 高阶常系数线性微分方程,2,一阶方程,可降阶的高阶方程,逐次积分求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握相应的求解步骤,复习,3,1.二阶齐次线性方程的标准形式,2.二阶非齐次线性方程的标准形式,通解为：,通解为：,即,二阶线性微分方程的标准形式及解的性质：,4,高阶常系数线性微分方程,第五节,第十章,二、高阶常系数非齐次线性微分方程,一、高阶常系数非齐次线性微分方程,5,10-5 高阶常系数线性微分方程,下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法.,定义,(p,q为常数),6,1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式,2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,(p,q为常数),(p,q
2、为常数),通解为：,通解为：,即,一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：,7,二、二阶常系数齐次线性方程的解法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,(p,q为常数),则,8,两个线性无关的特解：,得齐次方程的通解为, 有两个不相等的实根,设特征根为,如：,特征方程为,且,常数,则通解为,9, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,如,特征方程为,知,取,则,则通解为,设另一特解为：,10, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,设特征根为,如,特征方程为,则通解为,11,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其,总之,通解的表达式,特征根情
3、况,实根,实根,复根,通解的方法称为特征方程法.,12,解,特征方程为,解得,故所求通解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,求方程,的通解.,特征方程为,故所求通解为,解,13,解得,故所求特解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,14,例5,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,练习：,为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程 为,解: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,解,15,特征方程:,推广:,单实根r,给出一项:,一对单虚数根,给出两项:,k重实根r,给出k项:,一对k重虚数根,给出2k项:,16,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,注意：,n次代数方程有n个根,且每一项各一个任意常数,对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都,例6,求方程,的通解.,17,四、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;,（2）求出特征根;,（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,18,思考与练习,答案:,通解为,通解为,通解为,19,思考题：,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,