多跨梁及刚架基本要求掌握结构的支座反力的计算,结构的剪.ppt

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1、多跨梁及刚架基本要求 掌握结构的支座反力的计算，结构的剪力和轴力计算的两种方法，内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构内力的方法与技巧。会根据几何组成寻找求解途径。,Chapter 3 Statically Determinate Structure,截面内力计算 多跨静定梁内力图 静定刚架内力图 三铰拱计算 静定平面桁架内力图 静定总论,第3章 静定结构,-1 回顾和补充,-1-1 材料力学内容回顾,杆件内力分析要点：,内力正负号规定：,求内力的基本方法：,截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利用平衡

2、方程求解）,内力的叠加与分解：,假设：材料满足线弹性、小变形。,截开、代替、平衡,截面一边所有外力沿轴切向投影代数和。,一边所有外力沿轴切向投影代数和。,截面一边所有外力对截面形心取矩之和。,例：求截面1、截面2的内力,N2=50,N1=1410.707=100kN,Q1=,M1=125,(下拉）,=50kN,141cos45o,=812.5kNm,+1410.70710,505,5/25,Q2= 141sin45100kN,M2,5m,5m,5m,5m,2,1,5kN/m,50kN,141kN,125kN.m,M2375kN.m （左拉）,45,505,125,1410.7075,375kN

3、.m,+55,1410.707,=25kN,50,1,2,微分关系给出了内力图的形状特征,1 ） 微分关系,qy向下为正,荷载与内力之间的关系：,N=FX,Q=Fy,增量关系说明了内力图的突变特征,2） 增量关系,M=m,3） 积分关系,由微分关系可得,右端剪力等于左端剪力减去该段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪力图的面积。,内力图形状特征,无何载区段,均布荷载区段,集中力作用处,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图 平行于轴线,Q图,M图,备注,二次抛物线 凸向即q指向,Q=0处，M 达到极值,发生突变,P,出现尖点 尖点指向即P的指向,集中力作用截面剪力无定义,集中力偶作用处,无变

4、化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作用面弯矩无定义,零、平、斜、抛,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,3-1-2 结构力学与材料力学内力规定的异同,轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同,内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明AB杆的A端弯矩,结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧,3-1-3 区段叠加法（superposition method）做弯矩图,简支梁熟记弯矩图,1）简支梁情况,几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M ，如同M、M一样垂

5、直杆轴AB，而不是垂直虚线。 利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。,做法：,注意:合成内力图是竖标相加,不是图形的简单拼合。,2）直杆情况,1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线； 2、然后以该虚线为基 线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。,=5020210kN,= 10+(50+10)22 =50kN.m,适用条件：AD段

6、内无集中力 作用。,适用条件：AD段内无集中力 偶作用。,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,分析步骤,确定控制点,分析各段内力图走势（利用微分关系）,求控制截面内力（利用积分关系）,绘控制截面间内力图（弯矩图、剪力图）,确定弯矩最大点位置及最大值,M0,ql2/2,ql2/4,ql2/8,qL,qL,M图,Q图,ql2/4,M 图 (kN.m),55,5,D,F,1m,16kN.m,1m,2m,2m,1

7、m,Q图（kN）,7,36.1,H,CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。,均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！,M图（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得： xQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q图的面积） 26+92.252 36.1（kN.m),力偶不影响剪力,不 可 简 称 K 截 面 剪 力,斜率相等,剪力等于零处弯矩为极值点,相切,x=17/8,46.0625,斜率相等,不相切,简支斜梁计算,斜梁,由整体平衡：,由分离体平衡可

8、得：,斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。,MB,MA,ql2/8,斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。,3-2 静定梁和静定钢架,1、单跨梁(single-span beam),单跨梁在工程中应用很广，是组成结构的基本构件之一，是受力分析的基础。,一、静定梁,单跨梁基本形式,简支梁(Simply-supported beam),伸臂梁(Overhanging beam),悬臂梁(Cantilever),按两刚片规则与基础相连组成静定结构,去掉梁与基础的联系，代之以约束反力，由平面一般力系的

9、三个平衡方程确定反力。,单跨梁的反力计算,2、多跨静定梁(multi-span beam),1.多跨静定梁的组成,层次图,由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用的一种结构形式。,2.构造特点,能独立地维持其几何不变的部分-基本部分,需依附于基本部分才能维持其不变的部分-附属部分,3.组成顺序,基本部分,附属部分,？,基本部分及附属部分组成,将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡,其上外力的称为附属部分，,附属部分是支承在基本部分上的，要分清构造层次图。,ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。,组成顺序

10、,附属部分2,附属部分1,基本部分,传力顺序, ,4.传力关系,与传力顺序相同，先计算附属部分后计算基本部分,5.计算原则,6.计算方法,把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属部分；将附属部分的反力反向地加在基本部分上，作为基本部分上的外载，再计算基本部分。最后把各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内力图。,计算关键,熟练掌握单跨静定梁的绘制方法,正确区分基本结构和附属结构,多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。,多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本

11、部分。,qa,a,a,a,2a,a,a,a,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,Q图（kN）,M图（kN.m）,50,M (kNm),画出图示梁的弯矩图、剪力图,课堂练习（下课交）,多跨度梁形式,并列简支梁,多跨静定梁,超静定连续梁,为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?,对图示静定梁，欲使跨间的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等，确定铰D的位置。,例,AD 跨最大正弯距：,B 处最大负弯距：,BC 跨最大正弯距：,由以上三处的弯矩整理得：,缺点是构造复杂，基本部分破坏会殃及附属部分,优点与简支梁相比伸臂

12、部分产生的负弯矩减小了梁内弯矩，使受力更均匀。,确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩与支座处的弯矩的绝对值相等,课堂练习,MG可按叠加法求得：,解得：,代入上式：,解得：,MG=ql2/12,MB=ql2/12,ql2/24,由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！,二、静定刚架,简单刚架的类型,悬臂型,简支型,三铰型,由简单刚架可组成复杂的多层多跨的复合静定刚架,一、刚架的特点 刚架的内部空间大，便于使用。 刚结点将梁柱联

13、成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。,几何可 变体系,桁架,刚架,静定刚架内力计算及内力图绘制 (statically determinate frame),返回,刚架的受力特点,从变形角度看，刚结各杆不发生相对转动,从受力角度看，刚结点承受和传递弯矩，因而弯矩是它的主要内力,刚架的反力计算,静定刚架计算原则上与计算静定梁相同。当刚架与基础按两刚片规则连接时，支座只有三个约束，易求；,当刚架与基础按三刚片规则连接时，支座将有四个约束，除考虑整体平衡外，尚须取局部建立一个补充方程；,当刚架按主从方式组成时，应循先附属部分，后基本部分的计算顺序。,刚架指定截面

14、内力计算,与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.,注意结点处有不同截面（强调杆端内力）,注意正确选择隔离体（选外力较少部分）,注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩）,注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）,连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用,则两个杆端的弯矩值相等,方向相反,刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 2、三铰刚架的反力计算,整体平衡,左半边平衡,整体平衡,=3kN,反力校核,C,如三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。 如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具体分析。不能使用这种

15、方法。,三铰刚架的反 力计算方法二 （双截面法）,整体X=0，XA=ql， 左半边Y=0， YA=0,右半边Y=0， YB=0 整体Y=0 ，YA=0 整体：MA0 3qaa/2XBa0，XB=1.5qa,主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。,由附属部分ACD,由整体,校核：,刚架内力图的绘制,剪力图,弯矩图,轴力图,取杆件作隔离体,取结点作隔离体,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,X = 88 = 0,Y = 6（6） = 0,M = 248 16 = 0,QDA=8kN NDA

16、=0 MDC=8kN.m（左拉）,8,16,24,M kN.m,8,6,Q kN,N kN,6,作内力图,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDA=8kN.m（左拉）,刚架内力图绘制要点： 分段。定形。求值。画图。,1、整体平衡求反力如图,2、定形： 3、求值：,NCA=qa/2， QCA=qaqa=0， MCA=qa2/2（里拉）,NCB=0， QCB=qa/2， MCB=qa2/2（下拉）,qa2/2,qa2/2,qa2/8,qa/2,qa,qa/2,M图,N图,Q图,校核：,

17、满足： X0 Y0 M0,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中 力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两 杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用 时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。,例: 试绘制下图所示刚架的弯矩图。,RB,O,a,作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。,a,q,A,B,C,M图,MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa MA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2

18、）/a =0,X0，NCB 0 Y0，NCAqa/2,N图（kN）,M图（kN.m）,3m,3m,3m,A,B,q=4kN/m,1.5m,C,D,E,Q图（kN）,MD=6QCD3.350 QCD=1.79(kN)=QDC,MC=6+3 41.5+3.35QEC0 QEC= 7.16kN ME=6 3 4 1.5+3.35QCE0 QCE= 3.58kN,3.13,5.82,求图示联合刚 架的弯矩图。,解：1、求反力,2、求内部约束力,取ABC,取BC,解得：,取ABC,同理可得右半部分的约束内力：,8Pa,8Pa,2Pa,2Pa,16Pa,4Pa,少求或不求反力绘弯矩图,弯矩图的绘制是本课的

19、基本功，务必通过习题切实掌握。利用结构和荷载的特点简化计算。,利用悬臂、简支部分,利用荷载与弯矩图形状对应关系,利用刚结点平衡特性,利用铰结点和自由端弯矩特征,利用轴向力不引起弯矩特点,利用无剪力段弯矩为常数,利用对称性,可以不求反力，由自由端开始作内力图。,ql,ql2/2,2q,2q,6q,1、悬臂刚架,2、简支型刚架弯矩图,简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起,ql2/2,qa2/2,qa2/2,注意:BC杆CD杆的 剪力等于零,弯矩图 于轴线平行,ql2/2,3、三铰刚架弯矩图,1 反力计算 整体 MA= qa2+2qa22aYB=0 (1) 右半边 M

20、C=0.5qa2+2aXB aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 在由整体平衡 X=0 解得 XA=0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa,2 绘制弯矩图,qa2,注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！,qa2/2,0,qa,XA,YA,YB,XB,A,C,B,a,a,a,a,M/2,M,M/2,画三铰刚架弯矩图,注: 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两 铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。 2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是

21、求出一水平反力！,Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/(2a),a,a,a,M,A,B,C,三铰刚架弯矩图,整体对O点建立平衡方程得 MO=ql1.5l+2lXA=0 得 XA=3ql/4,RB,ql2/4,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,M图（kN.m）,绘制弯矩图时，可以利用弯矩图 与荷载、支承及连结之间的对应关系， 不求或只求部分约束力。,4、主从结构,80kN,20kN,120,90,120,60,180,62.5,M图 kM.m,仅绘M图,并不需要 求出全部反力.,然后先由A.B支座开始 作弯矩图.,先由AD Y=0 得 YA=80kN,再由整体 X=0 得 XB=20kN

22、,MEA=806206/2=120,5、定向支座处、定向连接处：剪力等零，剪力等零杆段弯矩图平行轴线。注意这些特点可以简化支座反力计算和弯矩图绘制。,XA=ql， YA=0,M,A,a,a,a,q,B,4.5qa2,M图,Ph,Ph,Ph,2Ph,右半边Y=0 YB=0YA=0 整体：MA0 3qaa/2XBa0 XB=1.5qa,求绘图示结构的弯矩图。,ql2,1.5ql2,0.9ql2,ql2,6、对称性的利用,对称结构(symmetrical structure)： 几何形状、支撑和刚度都关于某轴对称的结构。但是，由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形状、支撑对称，就可利用

23、对称性进行内力计算。,荷载的对称性： 对称荷载(symmetrical load) ：绕对称轴对折后，对称轴 两边的荷载作用点重合、值相等、方向相同。所以，在大小 相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置、与对 称轴平行同向布置、与对称轴重合的荷载是对称荷载。,反对称荷载(antisymmetrical load) ：绕对称轴对折后， 对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相反。所以， 在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置 的荷载；与对称轴平行反向布置的荷载；垂直作用在对称 轴上的荷载；位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。,与对称有关的重要结论 对称结构在对称荷载的作用

24、下，反力、内力都成对称分 布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对 称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称 轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零。,对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对 称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作 出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到： 对称轴上的截面弯矩、轴力为零；与对称轴重合的杆轴力为零。,ql2/8,24kN.m,X,绘制图示结构的弯矩图,o,12,6,6,12,对称结构在反对成荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。,12,利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时

25、减少错误，提高效率。 另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。,M图与荷载情况是否相符。,M图与结点性质、约束情况是否相符。,作用在结点上的各杆端弯矩及结点集 中力偶是否满足平衡条件。,（1） （ ）,（2） （ ）,（9） （ ）,练习 已知结构和弯矩图，求荷载（下课交）,End,基本要求： 理解拱的受力特点及拱结构的优点和缺点。 掌握三铰拱的反力计算和内力计算及内力图的形状特征。 了解三铰拱内力图的绘制方法。 掌握三铰拱合理拱轴线的概念，及 几种常见荷载下的三铰拱的合理拱轴线。,Three-Hinged Arch,3-3 三铰拱,三铰拱(three-hinges arc

26、h)的构成,拱顶,拱轴,起拱线,拱趾,拱趾,为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。,水平推力对拱肋有力，对下部结构很不利。,拱是在竖向荷载作用下能产生水平反力的结构，如图。,水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩。,与简支梁相比拱的优点是： 弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）； 应力沿截面高度分布较均匀； 节省材料，减轻自重，能跨越大跨度； 宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等； 有较大的可利用空间。,其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 材料用量；,拱具有曲线形状，施工不方便.,3-3-1 三铰拱(three-hinged arch)的特点,一、反力计

27、算,对拱：MB=0 VA=MBP/l,其中 MBP 是梁（拱）所有荷载对B点的矩,=YAl2Pa 是简支梁的C截面弯矩,由 MC=0 得 VAl/2 PaHf=0 H=（VAl2 Pa）f 即 :,对梁：MB=0 YA=MBP/l VA=YA （1） 同理 VB=YB （2）,反力计算公式：,该组公式仅用于两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关，,VA=YA ； VB=YB； H=MC0/f,而与拱 轴线的形状无关 ； 水平推力与矢高成反比。,3-3-2 三铰拱的内力计算,在竖向荷载作用下，任何形式的三铰拱均有：,VA=YA VB=YB,？,二、内力

28、计算,P,P,注： 该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载； 在拱的左半跨取正右半跨取负； 仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯达极； M、Q、N图均不再为直线。 集中力作用处Q图将发生突变。 集中力偶作用处M图将发生突变。,(1)求反力,解:,(2)作相应简支梁的 M图和Q图,D,(3)截面几何参数,(4)将拱沿跨度八等分, 算出每个截面的M、 Q、N。 (5)以 x=12m的 D截面 为例，,A,C,B,D,D,D,D,5,1,重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。,M图 (kN.m),0.71,0.4,0,-1,0.49,-0.49,-1.79,1.79,-0.

29、40,0.70,Q图 (kN),N图 (kN),M图 (kN.m),拱水平反力计算公式的应用推广,在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。 由 M（x）=M(x)Hy(x)=0 可得合理拱轴线方程为 y（x）=M(x)H,三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。,=,在荷载、跨度给定时，合理拱轴线 随 f 的不同而有多条,不是唯一的。,3-3-3 三铰拱的合理轴线(optimal centre line of the arch),在荷载、跨度、矢高给定时，H是一个常数.合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例.,例 求在填土重

30、量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+y,在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。,q(x),(,求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。,拱处于无弯矩状态，各截面上只有轴力。,即拱截面上的轴力N为常数。,故,由于N为常数，故r也为常数。,在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。,End,基本要求： 理解桁架的受力特点及按几何组成分类。了解几种梁式桁架的受力特点。 熟练运用结点法和截面法及其联合应用，计算桁架内力。 掌握对称条件的利用、零杆判定及组合结构的计算。 理解根据结构的几何组成确定计算方法。,Statically determinate plane truss,3-4 静

31、定平面桁架,从受弯方面来说工字形截面梁优于矩形截面梁。,3-4-1 概述,桁架基本假定:,1.结点都是光滑 的铰结点 2.各杆都是直杆且 通过铰 的中心: 3.荷载和支座反力 都作用在结点上.,计算简图,各杆只受轴力,称其为理想桁架。,上弦,下弦,斜杆,竖杆,上下弦杆承 受梁中的弯矩,腹杆(竖杆和 斜杆)承受剪力。 由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力.,武汉长江大桥的主体桁架结构,钢筋混凝土屋架,锥形桁架筒承力结构,美国芝加哥的约翰汉考可大楼,转换层桁架传力结构,上海锦江饭店新楼,高层钢结构的发展，桁架也成为了建筑主体 结构，不再是桥梁和屋架。,桁架的分类: 按几何组成可分为以下三种,1

32、、简单桁架 由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架,2、联合桁架由简单桁架按 几何不变体系组成法则所组 成的桁架。,3、复杂桁架不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。,复杂桁架不仅分析计算麻烦，而且施工也不大方便。 工程上较少使用。,1、结点法,取单结点为分离体，,其受力图为一平面汇交力系。,它有两个独 立的平衡方程。,为避免解联立方程,应从未知力不超过两个的结点开始计算。,对于简单桁架,可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。,A,斜杆轴力与其分力的关系,l,lx,ly,N,X,Y,

33、3-4-2 结点法、截面法,a.求支座反力,FAy=45kN,FAx=120kN,FBx=120kN,（对于这种悬臂型结构可不必先求反力）,例题,求图示桁架中各杆内力,b.结点投影法求杆内力,Y=0,YNGE=15,X=0,FNGF= XNGE= 20,同理按顺序截取结点（F、E、D、C、B、A）并计算杆内力,c. 杆内力标注,结点分析时把所有杆内力均画成拉力（含已求得的压力）并代入方程，然后是拉力的代正值，是压力的代负值。结果为正说明该杆受拉，结果为负说明该杆受压，这样做不易出错。,d. 结点力矩法求杆内力,取结点G，对E点取矩求FNGF；对F取矩计算FNGE,解： 1 、整体平衡求反力 X

34、=0 H=0 M80 , V1=80kN Y=0 , V8=100kN,H=0,V1=80kN,V8=100kN,2、求内力,1,80kN,N12,N13,Y13,X13,Y=0 ， Y13=80， 由比例关系得 X13=80 3 /4 =60kN N13 =80 5 /4 =100kN X=0 ， N12=60，,100,60,80,60,60,40,30,40,50,依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。 熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。,-90,-90,0,75,15,20,25,80,75,100,75,125,例 试求桁架各杆内力,取结

35、点1,X=0 ， N24=60， Y=0 ， N23=40，,Y=0 ， Y34=8040=40， X34=40 3 /4 =30，N13 =40 5 /4=50 X=0 ， N35= 60 X34= 90。,Y=80+20100=0， X=907515=0。,Y=100100=0， X=7575=0。,有些杆件利用其特殊位置可方便计算,单杆,结点单杆性质：,单杆内力由平衡方程直接得出，非单杆须建立联立方程求解；,结点无荷载时，单杆内力为零，称零杆；,如靠拆单杆的方式可将结构拆完，则此结构可用结点法求全部内力。,L形结点,T形结点,试指出零杆,意义：简化计算,例题,问题：能否去掉零杆?,试指出

36、零杆,例题,关于零杆的判断 桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持结构坚固性所必需的。因为桁架中的载荷往往是变化的。在一种载荷工况下的零杆，在另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了它，就不能保证桁架的坚固性。 分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆，这对后续分析往往有利。,（注意：这些特性仅用于桁架结点）,特殊结点的力学特性,例：求图示结构各杆内力。,解：先找出零杆,由B点平衡可得,NBC,NBA,P,Y=P+NBAsin=0,NBA=P/sin,X=NBC+NBAcos,=0,NBC,=Pctg,例：试指出零杆。,对称性的利用,一、对称荷载作用下内力呈对称分布。,对称性要求：,N1=N2,由D点的

37、竖向平衡要求,N1=N2,所以 N1=N2=0,对称轴上的K型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。,N,N,1,杆1受力反对称,=0,=0,与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零,（注意：该特性仅用于桁架结点）,二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。,与对称轴重合的杆轴力为零。,绘制图示对称结构的弯矩图。,2、截面法,取桁架中包含两个或 两个以上结点的部分为 分离体,其受力图为一平 面任意力系,可建立三个 独立的平衡方程。,例：求指定三杆的内力,解：取截面以左为分离体,由 MD=2aP+N1h=0,得,N1=2Pa/h,由 MC=3aPPaN3h=0,得,N3,=2Pa/h,由 Y=Y2+PP=0,得

38、 Y2=0 N2=0,截面法可用来求指定杆件的内力。 对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影 列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。,2m6=12m,1m 2m,P,例:,【解】：先找出零杆，,将它们去掉,1,2,3,取,截面以左为分离体,N1,N2,N3,MD=3N1+P/26=0,得 N1=P,MC=2X3P/22=0,得 X3=P/2, N3=X3/44.12=0.52P,X=N1+X2+X3=0, X2=P/2,N2=5X2/4=5P/8,求图示桁架指定杆轴力。,解：整体平衡得：,5P/3, 1-1截面以上, 2-2截面以下, 3-3截面以右,求桁架中指定杆件的轴力常用

39、截面法，计算联合桁架，要先用截面法求出简单桁架间的联系杆件内力。,如图示结构取以内为分离体，对其中两个力的交点取矩可求出另一个力，在这里可得三力全为零。,或由里面的小三角形为附属部分，不受外力。其内力为零。,截面法中的特殊情况,当所作截面截断三根以上的杆件 时：,当所作截面截断 三根以上的杆件 时：如除了杆 1 外，其余各杆均 互相平，则由投 影方程可求出杆 1轴力。,如除了杆1外，其余各杆均交于一点O 则对O点列矩方程可求出杆1轴力。,1,1,B,(c),【例题】 求图4-18(a)所示桁架中1、2杆的轴力。,解：取截面以左如图4-18 (b),取截面以下为分离体如图4-18 (c),3-4

40、-3 结点法和截面法的联合应用,凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力的计算方法称时，称联合法combined method,mC=0 FN1,Y=0 f(FN2 , FN )=0,X=0 g(FN2 , FN )=0,弦杆,斜杆,利用对称性取结点D,先求斜杆b，再利用结点E,竖杆,b,练习：求FN1、 FN2 、 FN3 （下课交）,求图示桁架指定杆轴力。,解： 找出零杆如图示；,0,0,0,0,0,0,由D点,1-1以右,2-2以下,或取C点为分离体,解法1 由D点水平投影平衡得： N1=NGD （1） 取截面以左为分离体：,解（1）（2）（3）得：,对称情况下，N=0，NGD=NGE

41、，由点,解法2 将荷载分成对称和反对称两组如图4-16（a）（b） 反对称情况下，N2=0，NGD=NGE，由G点,由点,由G点,1. 平行弦桁架,3-4-5 几种梁式桁架的受力比较,斜杆内力：,下斜杆受拉,上斜杆受压,竖杆内力：符号与斜杆内力符号相反,分布规律：,1、弦杆内力由端点向中心递增,2、腹杆内力由端点向中心递减,弦杆内力：,竖杆受压,竖杆受拉,2。 三角形桁架,弦杆内力：,M0 按抛物线递增，hi 的线性递增。由于hi 的增长比M0的增长快，所以弦内力由端点向中心递减,斜杆内力和竖杆内力由端点向中心递增； 斜杆内力符号和竖杆内力符号相反； 下斜杆受压，上斜杆受拉,腹杆内力：,分布规

42、律：,与平行弦桁架内力分布相反，符号规律相同,3。抛物线形桁架,结点位于,腹杆内力为零，下弦杆内力相同。上弦杆受压，水平分量相等且等于下弦内力（因为合理拱轴）,弦杆内力：,M0 按抛物线递增，hi 按抛物线递增,基于上述受力性能分析，在使用上, 平行弦桁架内力分布不均，但构件规整，利于标准化，便于施工，宜用于跨度不大情况。, 抛物线桁架内力分布均匀，腹杆轻，自重小，宜用于大跨结构，但抛物线弦杆施工复杂。, 三角形桁架内力分布不均匀，支座处内力最大，端结点交锐角构造复杂，宜用于跨度小坡度大的屋盖。,End,1、组合结构的构成,组合结构是由链杆和受弯构件混合组成的结构。,结构的特点是一部分杆件相对

43、于另一部分杆件来说，其刚度较大，属于梁式杆；一部分杆抗弯刚度较小，与桁架杆相似，这样的杆起着加强梁式杆的作用,桁架结点？,零杆？,3-5 组合结构,注意分清各种杆件的受力性能,链杆只受轴力，是二力杆；,受弯构件受弯、剪和轴力作用。,计算由几何组成分析入手,弄清结构的几何组成顺序，以便确定计算的先后次序；,加固工程上采用的结构形式：链杆加劲梁。 混凝土梁开列接近破坏时，下面用预应力拉杆进行加固。,高层建筑中，通过斜撑，加强结构的抗风能力。同时也 起到了跨间支撑作用。,下撑式五角形屋架,计算组合结构时应注意：,注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）； 前面关于桁架结点的一些特性对有

44、梁式杆的结点不再适用； 一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力； 取分离体时，尽量不截断梁式杆。,链杆是两端是铰、中间不 受力、也无连结的直杆。,梁式杆,NAB=,NCD=0 （ ）, N1=N2=0 N1=N2 N1N2 N1=N20,求链杆的内力,截面的剪力和轴力: Q=Ycos15sin N= Ysin 15cos 其中Y为截面以左所有竖向力的合力。 Sin=0.084，cos=0.996,15,15,3.5,-3.5,15.4,+,解：求反力,15,作出 内力图,讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: 高跨比f /l 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f 越大屋架轴力也

45、越大。,f1与f2的关系 当高度f 确定 后，内力状态随 f1与 f2的比例不 同而变。,弦杆轴力变化 幅度不大，但上弦杆弯矩变化幅度很大。,3-7-1 隔离体的形式、约束力及独立平衡方程,静定结构仅通过平衡方程既可求出所有反应。解决方案都遵循如下原则： 1、计算顺序与结构组装顺序相反； 2、选取适当的隔离体(尽可能简化，一般求反力，按所求问题“切、取、代、平（也即截面法）”进行求解)； 3、取隔离体（结点或部分）考虑平衡，也即列静力平衡方程。,3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选,计算简图,取结点,截取隔 离体,两刚片型结构：切断刚片间的联系，取一隔离体分析。,(1),(2),为避免解联立方程，选取的每个平衡方程应尽量只包含一个未知量；为避免继承错误，选取的平衡方程应