材料力学I第六章.ppt

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1、1,第 6 章 简单的超静定问题,2,6-1 超静定问题及其解法,. 关于超静定问题的概述,(b),3,图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。,(b),4,图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。,超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。,5,. 解超静定问题

2、的基本思路,基本静定系(primary statically determinate system),例1,6,7,于是可求出多余未知力FN3 。,由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：,8,补充方程为,于是可求出多余未知力FC。,例2,9,. 注意事项,(1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。,1

3、0,(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。,如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。,11,6-2 拉压超静定问题,. 拉压超静定基本问题,举例说明拉压超静定问题的解法。,12,求图a所示等直杆AB的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。,例题 6-1,13,1. 有两个未知约束力FA , FB（图a），但只有一个独立的平衡方程 FAFBF=0 故为一次静不定问题。,例题 6-1,14,2. 取固定端B为“多余”约束，FB为多余未知力。相当系统如图b所示，它应满足相容条件为DB0，利用叠加法得DBF+DBB=0，参见图c ， d 。,例题 6

4、-1,15,3. 利用胡克定律后可得补充方程为,由此求得,所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。,例题 6-1,16,得 FA=F-Fa/l=Fb/l。,4. 由平衡方程 FA+FB-F=0,例题 6-1,5. 利用相当系统（图b）求得DC。,17,拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为DlAC+DlBC0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件DB0代替相容条件。 2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以DBBFBl/EA，而不用DBBFB(l+DBF)/EA ，A为在F力作用下变形后横截面的面积。,

5、例题 6-1,18,求图a所示结构中1, 2, 3杆的内力FN1 , FN2 , FN3。AB杆为刚性杆，1, 2 , 3杆的拉压刚度均为EA。,例题 6-2,19,1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。,例题 6-2,解：,20,2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2为多余未知力。得基本静定系如图c。,例题 6-2,21,3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为,例题 6-2,22,4. 利用胡克定律，由(1)(2)式可得补充方程：,解得 FN1=2FN3, (3) FN2=2FN1=4FN3 (4),例题 6-2,23,5. AB

6、杆受力如图b所示，MA=0得,联立求解得,例题 6-2,24,II. 装配应力和温度应力,(1) 装配应力,超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。,25,图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。,(a),26,求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a),列出补充方程,由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为,(

7、拉力）,(a),27,至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。,由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。,而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为,28,两根相同的钢杆1、 2，其长度l =200 mm，直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为200.11 mm，亦即De=0.11 mm的铜杆3（图b）装配在与杆1和杆2对称的位置(图c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量

8、E3=100 GPa。,例题 6-3,29,1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：,(d),所以这仍然是一次静不定问题。,例题 6-3,解：,30,2. 变形相容条件(图c)为,这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。,例题 6-3,31,3. 利用胡克定律由(2)式得补充方程,例题 6-3,32,4. 联立求解(1)和(3)式得,所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和杆

9、3的装配内力为压力是正确的。,例题 6-3,33,5. 各杆横截面上的装配应力如下：,例题 6-3,34,求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。 以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。,例题 6-3,35,(2) 温度应力,也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。,36,两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。试求当温度升高Dt

10、 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。,例题 6-4,37,1. 若AB杆仅A端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长Dlt，而不会产生内力。当A、B均为固定端时， Dlt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。,(b),例题 6-4,解：,38,2. 以刚性支撑B为“多余”约束，FB为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt，由“多余”未知力FB产生的缩短变形DlF分别如图c、d所示。,例题 6-4,39,3. 变形相容条件是杆的总长度保持不变，即,例题 6-4,40,

11、4. 将(2)式代入(1)，得,例题 6-4,41,5. 由(3)式解得,例题 6-4,42,6. 杆的横截面上的温度应力为,例题 6-4,43,若该杆为钢杆。l =1.210-5/(C)， E=210 109Pa，则当温度升高Dt =40时有,（压应力）,例题 6-4,44,两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。,例题 6-5,6-3 扭转超静定问题,45,1. 有二个未知的反力偶矩MA， MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次超静定问题。,例题 6-5,解：,46,2. 以固定端B为“

12、多余”约束，反力偶矩MB为“多余”未知力。在基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB(如图c)；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角jB=0，利用叠加法可得,(c),例题 6-5,47,可由平衡方程求得为,3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程,求得,例题 6-5,48,4. 杆的AC段横截面上的扭矩为,(c),例题 6-5,49,图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,例题 6-6,50,实

13、心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。,例题 6-6,解：,51,2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等。在图b中都用j表示（设A端固定）。,例题 6-6,52,3. 利用物理关系由(2)式得补充方程为,例题 6-6,53,4. 联立求解(1)式和(3)式得：,例题 6-6,54,5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为,空心钢杆横截面上任意点的切应力为,切应力沿半径的变化情况如图c所示。,例题 6-6,55,由图c可见，在r = ra处，tatb，这是因为 Ga Gb 。在r

14、= ra处，两杆的切应变是相等的，即,说明r = ra处变形是连续的。,例题 6-6,56,6-4 简单超静定梁,.超静定梁的解法,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。,基本静定系,57,基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c、d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为,58,从而解得“多余”未知力,所得FB为正值表示原来假

15、设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为,59,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。,思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？,2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,60,试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN。梁AC和杆AD的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。,例题 6-7,61,1.梁AC共有三个未知力(图b)FN，FB，FC ，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。,例题 6-7,解：,62,2. 把AD杆视为梁AC的“多余”约束

16、，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件为梁的A截面的挠度wA等于杆的伸长量DlDA(图b)，即wA=DlDA。,例题 6-7,63,3. 求wA和DlDA,wA是由荷载产生的wAq(图c)和FN产生的wAF (图d)两部分组成，,例题 6-7,64,把图d所示外伸梁，视为由悬臂梁AB(图e)和简支梁BC(图f)两部分组成。,例题 6-7,65,4. 把wA和DlDA代入位移(变形)相容条件得补充方程：,由此求得,例题 6-7,66,试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。,例题 6-8,67,1

17、. 该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。,例题 6-8,解：,68,2. 若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束，则B截面上的一对弯矩MB为“多余”未知力，相当系统如图b。,例题 6-8,69,相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零，即,例题 6-8,3. 查关于梁位移公式的附录可得,70,4. 将qB qB代入位移相容条件补充方程，从而解得,这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反，即为MB负弯矩。,例题 6-8,71,5. 利用图b可得约束力分别为,例题 6-8,72,绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。

18、,例题 6-8,73,超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座B为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为wB=0，相当系统如图(e)所示。有如以支座C为多余约束，FC为多余未知，位移条件为wC=0，相当系统如图(f)所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。,例题 6-8,74,*II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响,超静定梁由于有“多余”约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的约束力和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。,75,(1) 支座不均匀沉陷的影响,图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷A 、B 、C，而沉陷后的

19、支点A1 、B1 、C1不在同一直线上时(即沉陷不均匀时)，支座约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。而支座均匀沉陷时梁的约束力和内力，由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的，故可认为与支座无沉陷时相同。,76,现按如图a中所示各支点沉陷B C A的情况进行分析。此时，支座B相对于支座A 、C 沉陷后的点A1 、C1 的连线有位移,77,于是，如以支座B1作为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载 q 和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是,78,于是得补充方程,由此解得,其中的wB按叠加原理有(参见图c、d):,79

20、,再由静力平衡方程可得,80,(2) 梁的上,下表面温度差异的影响,图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。,由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。,l,81,现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。,它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。,82,如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合

21、下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：,83,式中一些符号的意义见图c、d、e。,84,现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之间的物理关系。,从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为,上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。,85,将此式积分，并利用边界条件,得,根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为,86,从而有,至于温差引起轴向位移DBt则为,87,位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为,88,位移相容条件,已得出的物理关系,89,将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得,90,第六章结束,