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1、 等差、等比数列的综合问题A组大题保分练1(2018苏州期中)已知等比数列an的公比q1，满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n162成立的正整数n的最小值解：(1)a32是a2，a4的等差中项，2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，a2a420，解得或q1，数列an的通项公式为an2n.(2)bnanlogan2nlog2nn2n，Sn(12222n2n)，2Sn(122223(n1)2nn2n1)，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1.Snn2n162，
2、2n1262，n16，n5，使Snn2n162成立的正整数n的最小值为6.2已知数列an，bn均为各项都不相等的数列，Sn为an的前n项和，an1bnSn1(nN*)(1)若a11，bn，求a4的值；(2)若an是公比为q的等比数列，求证：存在实数，使得bn为等比数列解：(1)由a11，bn，知a24，a36，a48.(2)证明：因为an1bnSn1，所以当n2时，anbn1Sn11，得，an1bnanbn1an，由得，bnbn1bn1，所以bn.又bn0(否则bn为常数数列，与题意不符)，所以存在实数，使得bn为等比数列3在数列an，bn中，已知a12，b14，且an，bn，an1成等差数列
3、，bn，an，bn1也成等差数列(1)求证：anbn是等比数列；(2)设m是不超过100的正整数，求使成立的所有数对(m，n)解：(1)证明：由an，bn，an1成等差数列可得，2bnanan1，由bn，an，bn1成等差数列可得，2anbnbn1，得，an1bn13(anbn)，又a1b16，所以anbn是以6为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)知，anbn6(3)n1，得，an1bn1anbn2，得，an3(3)n11，代入，得，所以3(3)n11m3(3)m33(3)n1m3(3)m13，整理得，(m1)(3)m3(3)n0，所以m1(3)nm1，由m是不超过100的正整数，可得2(
4、3)nm1101，所以nm12或4，当nm12时，m19，此时m8，则n9，符合题意；当nm14时，m181，此时m80，则n83，符合题意故使成立的所有数对(m，n)为(8,9)，(80,83)4已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；(2)若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列解：(1)因为数列an是公差为2的等差数列，所以ana12(n1)，a1n1.因为(n2)cn(a1n1)n2，所以cn1.(2)证明：由(n1)bnan1，得n(n1)bnn
5、an1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，两式相减，并化简得an2an1(n2)bn1nbn.从而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)因为对一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn.所以(n1)an1，(n2)(an1an2)，得(an2an1)，即an2an12，故an1an2(n2)又2a2a2a1，则an1an2(n1)所以数列an是等差数列B组大题增分练1(2018盐城三模)在数列an中，已知a11，a2，满足a2n1，a2n11，a2n12，a2n是等差数列(其中n2，nN)，且当n为奇数时，公
6、差为d；当n为偶数时，公差为d.(1)当1，d1时，求a8的值；(2)当d0时，求证：数列|a2n2a2n|(nN*)是等比数列解：(1)由1，d1，所以a21，a2，a3，a4为等差数列且公差为1，所以a4a221，又a4，a5，a8为等差数列且公差为1，所以a8a443.(2)证明：当n2k1时，a22k，a22k1，a22k2，a22k1是等差数列且公差为d，所以a22k1a22k22kd，同理可得a22ka22k122k1d，两式相加，得a22k1a22k122k1d；当n2k时，同理可得a22k2a22k22kd，所以|a2n2a2n|2nd.又因为d0，所以2(n2)，所以数列|a
7、2n2a2n|(nN*)是以2为公比的等比数列2已知数列an的首项a1，an1，n1,2，.(1)求证：数列为等比数列；(2)记Sn，若Sn100，求最大的正整数n.解：(1)证明：因为，所以1，且因为10，所以10(nN*)，所以数列为等比数列(2)由(1)可求得1n1，所以2n1.Snn2n2n1，若Sn100，则n1100，所以nmax99.3已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*)(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；(2)若，求Sn.解： (1)令n1，得a2.令n2，得a2S3a3S2a
8、2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得2，因为0，所以1.(2)当时，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以2(n1)，即Sn1an，当n2时，Sn11an1，得，ananan1, 即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是常数列，且为，所以an(n2)代入得Snan1.4设数列an的前n项和为Sn(nN*)，且满足：|a1|a2|；r(np)Sn1an(n2n2)a1，其中r，pR，且r0. (1)求p的值；(2)数列an能否是等比数列？请说明理由；(3)求证：当r2时，数列an是等差数列解：(1)n1时，r(1p)S2
9、2a12a10，因为|a1|a2|，所以S20，又r0，所以p1. (2)数列an不是等比数列理由如下：假设an是等比数列，公比为q，当n2时，rS36a2，即ra1(1qq2)6a1q，所以r(1qq2)6q，当n3时，2rS412a34a1，即2ra1(1qq2q3)12a1q24a1，所以r(1qq2q3)6q22，由得q1，与|a1|a2|矛盾，所以假设不成立. 故an不是等比数列(3)证明：当r2时，易知a3a12a2.由2(n1)Sn1(n2n)an(n2n2)a1，得n2时，2Sn1，2Sn2，得，2an2， 即2(an2a1)，两边同除(n1)得，即0，所以，令a2a1d，则d(n2)所以ana1(n1)d(n2)又n1时，也适合上式，所以ana1(n1)d(nN*)所以an1and(nN*)所以当r2时，数列an是等差数列7