《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修1_120170719269.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修1_120170719269.wps（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.22.2.2 双曲线的几何性质 1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等) 2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点) 3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点) 基础初探 教材整理 双曲线的简单几何性质 阅读教材 P51P52例 1 以上部分，完成下列问题 1双曲线的简单几何性质 标准方程 x2 y2 1 a2 b2 y2 x2 1 a2 b2 (a0，b0) (a0，b0) 图形 范围 x a 或 x a y a 或 y a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 性 顶点 (a,0)，(a,0) (0，a)，(0，a) 质 轴长 实轴长2a，
2、虚轴长2b c 离心率 e 且 e1 a b 渐近线 y x a a y x b 2.等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长 的双曲线叫做等轴双曲线其方程的一般形式为 x2y2 1 (0) (2)性质：渐近线方程为：y x. 离心率为：e 2. 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)双曲线是中心对称图形( ) (2)双曲线方程中 a，b 分别为实、虚轴长( ) y2 x2 b (3)方程 1(a0，b0)的渐近线方程为 y x.( ) a2 b2 a x2 y2 (4)离心率 e 越大，双曲线 1 的渐近线的斜率绝对值越大( ) a2 b2 【答案】 (1) (2) (3) (4) 质疑
3、手记 “”预习完成后，请将你的疑问记录，并与 小伙伴们 探讨交流： 疑问 1：_ 解惑：_ 疑问 2：_ 解惑：_ 疑问 3：_ 解惑：_ 小组合作型 双曲线的几何性质 (1)双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) 1 A. B. 2 2 2 C1 D. 2 x2 y2 x2 y2 (2)(2014广东高考)若实数 k 满足 00)的一条渐近线的方程为 y2x，则 b_. b2 y2 b 【解析】 由双曲线 x2 1，得 a1， 2，b2. b2 1 【答案】 2 3 (2)求双曲线 9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程. 【导学号：256
4、50068】 x2 y2 x2 y2 【解】 将原方程转化为 1，即 1，a3，b2，c 13， 9 4 32 22 因此顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1( 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4， c 13 离心率 e ， a 3 2 渐近线方程 y x. 3 利用双曲线的几何性质求其标 准方程 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x； 2 (3)与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2) 【精彩点拨】 用待定系数法求双曲线
5、的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中 所给出的双曲线的几何性质 【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 1 或 1(a0，b0) a2 b2 a2 b2 c 5 由题意知 2b12， 且 c2a2b2， a 4 b6，c10，a8. x2 y2 y2 x2 双曲线的标准方程为 1 或 1. 64 36 64 36 b 3 9 (2)当焦点在 x轴上时，由 且 a3 得 b . a 2 2 x2 4y2 所求双曲线的标准方程为 1. 9 81 a 3 当焦点在 y轴上时，由 且 a3 得 b2. b 2 y2 x2 所求双曲线的标准方程为 1. 9 4 4 x2
6、 x2 22 (3)设与双曲线 y21 有公共渐近线的双曲线方程为 y2k将，点(2，2)代入得 k 2 2 2 (2)22. y2 x2 双曲线的标准方程为 1. 2 4 1一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定 a，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出 c 双曲线的 顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e 列关于a， a b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程 b x2 y2 2如果已知双曲线的渐近线方程为y x，那么此双曲线方程可设为 a a2 b2 (0) 再练一题 2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： 【导学号： 25650069
7、】 (1)双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( 3，0)； 10 (2)双曲线过点(3,9 2)，离心率 e . 3 x2 y2 【解】 (1)设双曲线方程为 1(a0，b0) a2 b2 由已知得 a 3，c2，再由 a2b2c2， 得 b21. x2 故双曲 线 C 的方程为 y21. 3 10 c2 10 (2)由 e2 ，得 ，设 a29k(k0)， 9 a2 9 则 c210k，b2c2a2k. x2 y2 于是，设所求双曲线方程为 1， 9k k y2 x2 或 1， 9k k 把(3,9 2)代入，得 k161 与 k0矛盾； 把(3,9 2)代入，得 k9， y2 x2
8、 故所求双曲线方程为 1. 81 9 探究共研型 5 直线与双曲线的位置关系 探究 1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？ 【提示】 判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关 于 x或 y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系这时首先要 看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时，就转化成 x或 y的一元一次方程，只有一 个解这时直线与双曲线相交只有一个交点当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断 直线和双曲线的位置关系 探究 2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？ 【提示】 直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一
9、定与双曲线相切，当直线与双曲线 的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点 已知直线 yax1 与双曲线 3x2y21. (1)如果直线与双曲线有两个公共点，求 a的取值范围； (2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求 a的取值范围； (3)如果直线与双曲线没有公共点，求 a的取值范围 【精彩点拨】 将直线与双曲线方程联立用判别式 判断方程组解的个数，并注意对二 次项系数的讨论 【自主解答】 把 yax1 代入 3x2y21， 整理得(3a2)x22ax20. (1)直线与双曲线有两个公共点， 判别式 4a28(3a2)244a20， 且 3a20，得 6a 6，且 a 3. 故当 6a
10、6，且 a 3时，直线与双曲线有两个公共点 (2)直线与双曲线只有一个公共点， Error!或 3a20， a 6或 a 3.故当 a 6 或 a 3时，直线与双曲线只有一个公共点 (3)直线与双曲线没有公共点， 3a20，且 244a20.a 6或 a 6. 故当 a 6 或 a 6时，直线与双曲线没有公共点 1研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一 元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解 2直线与双曲线有三种位置关系 (1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线 6 (2)有一个公共点，分两种情况：直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶
11、 点，且垂直于实轴；直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点 (3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点 再练一题 y2 3(1)已知过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线 x2 1 只有一个公共点，则直线 l 的斜率 k 4 的取值为_ 【解析】 设直线 l 的斜率为 k，则 l：yk(x1)1，代入双曲线方程，得到(4k2)x2 (2k2k2)xk22k50. 若 4k20，即 k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共 点； 5 若 4k20，则 (2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得 k . 2 5 综上 可得，直线 l
12、 的斜率 k 的取值为 或2. 2 5 【答 案】 或2 2 1 【解】 当 a 时，双曲线 C 的方程为 4x2y21， 2 联立Error!消去 y 得 3x22x20. 设两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2) 2 2 则 x1x2 ，x1x2 ， 3 3 于是|AB| x1x22y1y22 x1x22x2x12 2 x1x224x1x2 2 28 9 2 14 . 3 x2 将 yx1 代入双曲线 y21 中得(1a2)x22a2x2a20， a2 Error!解得 0a 2 且 a1. 1a2 1 又双曲线的离心率 e 1， a a2 6 e 且 e 2， 2 7 6 即离心
13、率 e 的取值范围是( ， 2)( 2 ， ) 2 构建体系 1双曲线 2x2y28 的实轴长是( ) A2 B2 2 C4 D4 2 x2 y2 【解析】 双曲线标准方程为 1，故实轴长为 4. 4 8 【答案】 C 6 2下列双曲线中离心率为 的是( ) 2 x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 2 4 4 2 x2 y2 x2 y2 C. 1 D. 1 4 6 4 10 x2 y2 6 【解析】 双曲线 1 中 a2，b 2，c 6，e . 4 2 2 【答案】 B 3已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲 线的标准方程为_ 【解析】 由
14、题意得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a3，焦距与虚轴长之比为 54，即 cb x2 y2 54，解得 c5，b4，双曲线的标准方程为 1. 9 16 x2 y2 【答案】 1 9 16 x2 y2 x2 y2 4已知双曲线 C1： 1(a0，b0)与双曲线 C2： 1 有相同的渐近线，且 C1 a2 b2 4 16 的右焦点为 F( 5，0)，则 a_，b_. 【解析】 由题意得Error! 8 解得 a21，b24. 又 a0，b0，故 a1，b2. 【答案】 1 2 5求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为 6 的双曲线的方程. 【导学号：25650071】 3 【解】 渐近线方程为 y x，设双曲线方程为 x23y2.将(3，2)代入求得 3 x2 3，所以双曲线方程为 y2 1. 3 9