《高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案无答案新人教A版必修4201707213.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案无答案新人教A版必修4201707213.wps（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.32.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课前预习学案 预习目标： 通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同 时也为该运算赋予其物理意义。 预习内容： 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量 的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F = m a ，位移与速度的关系 s = v t 。 这些公式都是实数与向量间的关系。 师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 a + a + a 和 (- a)+ (- a)+ (- a)向量， 并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
2、 生： 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题： 实数与向量的乘积） 课内探究学案 学习目标： 1掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的 积的运算律进行有关的计算； 2理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 3通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解 事物运动变化的辩证思想。 学习过程： 1 1、探索研究 1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合 教材思考） 可根据小学算术中3+ 3+ 3+ 3+ 3= 3 5 的解释，类比规定：实数 与向量
3、a 的积就是 a ，它还是一个向量，但要对实数 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行。 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a . 它的长度和方向规定如下： （1） . （2） . 2 2）运算律： 问：求作向量 2(3a) 和 6a （ a 为非零向量）并进行比较，向量 2(a + b) 与向量 2a + 2b 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 生： . 师：设 a 、b 为任意 向量， 、 为任意实数，则有： （1） (+ )a = a + a ； （2） (a) = (a) ； （3） (a + b) = a + b . 通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分
4、配律。 小练习 1 1： 计算：（1） (- 3) 4a ； （2）3(a + b)- 2(a- b)- a ； （3） (2a + 3b- c)- (3a- 2b+ c). 3 3）向量平行的充要条件： 请同学们观察 a = m- n ，b = - 2m+ 2n ，回答 a 、b 有何关系？ 生： . 引导：若 a 、b 是平行向量，能否得出b = a ？为什么？可得出 a = b 吗？为什么？ 生： . 师：由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一个 实数 ，使得b = a . 对此定理的证明，是两层来说明的： 其一，若存在实数 ，使b = a ，则由
5、实数与向量乘积定义中第(2)条可知 b 与 a 平行， 即b 与 a 平行. 其二，若b 与 a 平行，且不妨令 a 0 ，设 | b | r = （这是实数概念）接下来看 a 、b 方 | a | 向如何： a 、b 同向，则b = a ，若 a 、b 反向，则记b = - a ，总而言之，存在实数 （ = 或 = - ）使b = a . 小练习 2 2：如图：已知 AD = 3AB ， DE = 3BC ，试判断 AC 与 AE 是否平行 解： AE = AD + DE = 3AB + 3BC = 3(AB + BC) = 3AC AE 与 AC 平行. 4 4）单位向量： 单位向量：模为
6、 1 的向量. 向量 a （ a 0 ）的单位向量：与 a 同方向的单位向量，记作a . 0 思考：a 如何用 a 来表示 ？ 0 2 2例题与练习： A 题 1 1：如图，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， E 是 BC D 延长线上的点，且 BE = 2BC 是，根据下列要求表示向量 DE ： （1） 用 BA 、 BC 表示； （2）用CA 、CB 表示. B E C 题 1 题 2 2：如图，在 ABC 中，已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点，用向量方法证明： 1 MN/ / BC 2 A C1 M N C B1 B 题 2 B C O A 题 3 A1 题 3 3
7、：如图，已知 OA = kOA ，OB = kOB ，OC = kOC ，求 证： ABC A B C 1 1 1 1 1 1 练习： P145 1、2、3、4 3 3课堂小结： （1） 与 a 的积还是向量， a 与 a 是共线的； （2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论 主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题； （3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 4 4作业布置： 练习部分 P88-89习题 3 A 组 2、3、4、5. P89习题 3 B 组 2、3. 5 5拓展思考题： 设 a 、b 是两个不共线向量，已知 AB = 2a + mb，CB = a + 3b ，若 A 、 B 、C 三 点共线，求 m 的值。